高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总(教师版)

任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：一条射线OA由原来的位置，绕着 它的端点O按一定的方向旋转到另一
位置OB，就形成了角
?
，
记作：角?
或
?
?
可以简记成
?
。

注意：
（1）“旋转”形成角，突出“旋转”
（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于
x
轴正半轴
（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
??
例1、若
90?
?
?
?
?135
，求
?
?
?
和
?
?
?
的范围。（0,45） （180,270）
2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、
零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960
（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是
3、 “象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标
原 点，角的始边合于
x
轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限
角
585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=
④
（填序号）.
?
3
．

①{小于90°的角}
③ {第一象限的角}


②{0°～90°的角}
④以上都不对
（2）已知A={第一象 限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关
系是（B）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．A
?
C D．A=B=C
例3、写出各个象限角的集合：
例4、若
?
是第二象限的角，试分别确定2
?
,
?
的终边所在位置.
2
解 ∵
?
是第二象限的角，
∴k·360°+90°＜
?
＜k·360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k·360°+180°＜2
?
＜2k·360°+360°（k∈Z），
∴2
?
是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.
（2）∵k·180°+45°＜
当k=2n（n∈Z）时，
n·360°+45°＜
?
＜k·180°+90°（k∈Z），
2
?
＜n·360°+90°；
2
当k=2n+1（n∈Z）时，
n·360°+225°＜
∴
?
＜n·360°+270°.
2
?
是第一或第三象限的角.
2
3
拓展：已知
?
是第三象限角，问
?
是哪个象限的角？
∵
?
是第三象限角 ，∴180°+k·360°＜
?
＜270°+k·360°（k∈Z），
60°+k·120°＜
?
＜90°+k·120°.
3
①当k=3m(m∈Z)时，可得
60°+m·360°＜
故
?
＜90°+m·360°（m∈Z）.
3
?
的终边在第一象限.
3
②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得
180°+m·360°＜
故
?
＜210°+m·360°（m∈Z).
3
?
的终边在第三象限.
3
③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得
300°+m·360°＜
?
＜330°+m·360°（m∈Z）.
3

故
?
的终边在第四象限.
3
?
是第一、第三或第四象限的角.
3
综上可知，
4、常用的角的集合表示方法
1、终边相同的角：
（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与
k(k?Z)
个周角的和。
（2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合

S?
?
?
|
?
?
?
?k?360
?
,k?Z
?

即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和
注意：
1、
k?Z

2、
?
是任意角
3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角
有无数个，它们相差360° 的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若
?角的终边与
8
?
?
角的终边相同，则在
?
0,2
?
?
上终边与的角终边相
54
同的角为 。
若θ角的终边与8π5的终边相同
则有：θ=2kπ+8π5 (k为整数)
所以有：θ4=(2kπ+8π5)4=kπ2+2π5
当：0≤kπ2+2π5≤2π
有：k=0 时，有2π5 与θ4角的终边相同的角
k=1 时，有9π10 与θ4角的终边相同的角

（2）若
?
和
?
是终 边相同的角。那么
?
?
?
在 X轴正半轴上
例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）
?210
?
； （2）
?1484
?
37
?
．
1260
?
． 例3、求
?
，使
?
与
?9 00
?
角的终边相同，且
?
??180
?
，
??< br>2、终边在坐标轴上的点：

终边在x轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
,k?Z
?

终边 在y轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
? 90
?
,k?Z
?

终边在坐标轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?90
?
,k?Z
?

3、终边共线且反向的角：
终边在y=x轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

4、终边互相对称的角：
若角
?
与角
?
的终边关于x轴对 称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?

若角
?
与角
?
的终边关于y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?18 0
?
?
?

若角
?
与角
?
的终边 在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：
?
?180
?
k?
?

角
?
与角
?
的终边互相垂直， 则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?
?90
?

例1、若
?
?k?360
?
?
?
，
?
?m?360
?
?
?
( k,m?Z)
则角
?
与角
?
的中变得位置关
系是（ ）。
A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称
例2、将下列各角化成0到
2
?
的角加上
2k
?
(k?Z)
的形式
（1）
19
?
（2）
?315
?

3
例3、设集合
A?
?
x|k?360
?
?60
?
?x?k?360
?
?300
?
,k?Z
?
,
B?x|k?360
?
?21 0
?
?x?k?360
?
,k?Z
,求
A?B
,< br>A?B
.
??
二、弧度与弧度制
1、弧度与弧度制：
弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

B

C

l=2r



o
r
1rad
A
o
2rad
r
A

如图：?AOB=1rad ，?AOC=2rad ， 周角=2?rad
注意：
1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2、角?的弧度数的绝对值
?
?
l
r
（
l
为弧长，
r
为半径）
3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算
弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度
角度与弧度的互换关系：∵ 360?= rad 180?= rad
∴ 1?=
?
180
rad?0.01745rad


1rad?
?
?
180
?
?
??
?
?
?
?
?57.30?5718'

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
例1、 把
67
?
30'
化成弧度
?
解：
67
?
30'?
?
?
1
?
?
?
13< br>?
67
2
?
?
∴
6730'?
18 0
rad?67
2
?
8
?
rad

例2、 把
3
5
?
rad
化成度
解：
3?
rad?
3
?
55
?180?108
?

例2、将下列各角从弧度化成角度
（1）
?
3
36
rad （2）2.1 rad （3）
5
?
rad

例3、
用弧度制表示：1?终边在
x
轴上的角的集合 2?终边在
y
轴上的角的集合
终边在坐标轴上的角的集合
解：1?终边在
x
轴上的角的集合
S
1
?
?
?< br>|
?
?k
?
,k?Z
?

3?

2?终边在
y
轴上的角的集合
S< br>2
?
?
?
|
?
?k
?
?
?
?
?
?
,k?Z
?

2
?
3?终边在坐标轴上的角的集合
S
3
?
?< br>?
|
?
?
?
?
k
?
?
,k ?Z
?

2
?

三、弧长公式和扇形面积公式

l?
?
r
；
S?
11
lR?
?
r
2

22
2
例1、已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm，则扇形的中心角的弧度数是
1或4
.

例2、若 两个角的差为1弧度，它们的和为
1
?
，求这连个角的大小分别
为 。
例3、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴
解：
r?10cm
⑴：
l?
?
?r?
4
?
?
⑵
165

3
4
?
40
?
?10?(cm)

33< br>?
11
?
11
?
55
?
?
⑵：
165??165(
rad
)?
rad
∴
l??10?(cm)

18012126
例4、（1）一个半径为r的扇 形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形
的圆心角是多少弧度？是多少度？扇
形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角
?
等于多少弧度时，这个扇形的
面积最大？
解 （1）设扇形的圆心角是
?
rad，因为扇形的弧长是r
?
,
所以扇形的周长是2r+r
?
.
依题意，得2r+r
?
=
?
r,
?
?
1 80
?
∴
?
=
?
-2=(
?
-2)×??

?
?
?
≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为S=
1
2
1
2
r
?
=（
?
-2）r.
22
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,
即l=20-2r (0＜r＜10)
扇形的面积S=
S=
①
1
lr，将①代入，得
2
1
22
(20-2r)r=-r+10r=-(r-5)+25,
2
所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时

l=20-2×5=10,
?
=
l
=2.
r
所以当
?
=2 rad时，扇形的面积取最大值.
例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
（2）已知扇形的 周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的
面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形半径为R，中心角为
?
，所对的弧长为l.
?
1
2
?
?
R?4,
（1）依题意，得
?
2

?
?
R?2R?10,
?
∴2
?
-17
?
+8=0, ∴
?
=8或
∵8＞2π,舍去,∴
?
=
1
.
2
2
1
.
2
(2)扇形的周长为40,∴
?
R+2R=40，
1
?
?
R?2R
?
111
2
S=lR=
?
R=
?
R·2R≤
??
?100
.
224
4
?
2
?
2
当且仅当
?
R =2R,即R=10,
?
=2时面积取得最大值，最大值为100.

（七）任意角的三角函数（定义）
1． 设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的 ）一点P（x,y），则P与原点的距离
r?x?y
22
?x
2
?y
2
?0

2．比值
yxx
y
叫做?的正弦 记作：
sin
?
?
；比值叫做?的余弦 记作：
cos
?
?

rrr
r
x
y
y
叫做?的正切 记作：
tan
?
?
；比值叫做?的余切 记作：
y
x
x
x

y
r
rr
叫做?的正割 记作：
sec
?
?
；比值叫做?的余割 记作：
y
xx
r

y
比值
cot
?
?< br>比值
csc
?
?
注意突出几个问题：①角是“任意角”，当?=2k? +?(k?Z)时，?与?的同名三角函数值应该是
相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。③三角函数是以“比值”为函数值的
函数

④
r?0
，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号 应由象限确定
三角函数在各象限的符号：
⑤定义域：
y?sin
?
y?tan
?
4.
?
是第二象限角，P（x，
5
）为其终边上一点，且cos
?
=
. 已知角
?
的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
y?cot
?
y?csc
?
2
10
.
x
,则sin
?
=
4
4
?
2 .

y?cos
?

y?sec
?


例8、 已知?的终边经过点P(2,?3)，求?的六个三角函数值
y
解：
x?2,y??3,r?2
2
?(?3)
2
?13


o x
∴sin?=?
313213
cos?=
1313
tan?=? cot?=?
P(2,-3)
23
sec?=
例9、 求下列各角的六个三角函数值
⑴ 0 ⑵ ? ⑶
32
1313
csc?=?
23
3
?
2
⑷
?

2
解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17
?
时
x?0,y?r

2
????
∴sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0
2222
??
sec不存在 csc=1
22
⑷ 当?=
例10、 ⑴ 已知角?的终边经过P(4,?3),求2sin?+cos?的值
⑵已知角?的终边经过P(4a,?3a),(a?0)求2sin?+cos?的值
342
cos?= ∴2sin?+cos?=?
555
342
⑵若
a?0

r?5a
则sin?=? cos?= ∴2sin?+cos?=?
555
342
若
a?0

r??5a
则sin?= cos?=? ∴2sin?+cos?=
555
解：⑴由定义 ：
r?5
sin?=?