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高中向量公式组合数公式说课讲解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 13:12
tags:组合数公式

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组合数公式
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组合数公式
编辑 锁定
组合数公式是指从m个不同元素中,任取n(n≤m)个元素并成一组,叫做< br>从m个不同元素中取出n个元素的一个组合;从m个不同元素中取出n(n≤m)
个元素的所有组 合的个数,叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。用
符号c(m,n) 表示。
中文名
组合数公式
公式写法
c(m,n)=p(m,n)n!
递推公式
c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)
应用领域
数学等
目录
1. 1 公式
2. 2 性质
3. 3 递推公式
4. 4 算法举例
组合数公式公式
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有时候也表示成:

(在旧版本里,排列数的字母写作P)
组合公式的推 导是由排列公式去掉重复的部分而来的,排列公式是建立一
个模型,从n个不相同元素中取出m个排成一 列(有序),第一个位置可以有
n个选择,第二个位置可以有n-1个选择(已经有1个放在前一个位置 ),则
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同理 可知第三个位置可以有n-2个选择,以此类推第m个位置可以有n-m+1个
选择,则排列数为

,而组合公式对应另一个模型,取出m个成为一组(无序),由于m个元素
组成的一 组可以有m!种不同的排列(全排列

),组合的总数就是

组合数公式性质
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组合数公式递推公式
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c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)
等式左边表示从m个元素中选取n 个元素,而等式右边表示这一个过程的
另一种实现方法:任意选择m中的某个备选元素为特殊元素,从m 中选n个
元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况,即n个被选择元素包含了
特殊元素 和n个被选择元素不包含该特殊元素。前者相当于从m-1个元素中选
出n-1个元素的组合,即c(m -1,n-1);后者相当于从m-1个元素中选出n个元
素的组合,即c(m-1,n)。
组合数公式算法举例
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1、设15000件产品中有1000件次品,从中拿出150件 ,求得到次品数
的期望和方差?
2、设某射手对同一目标射击,直到射中R次为止,记X为使 用的射击次
数,已知命中率为P,求E(X)、D(X)。
这两题都要用到一些技巧。我先列 出几个重要公式,证明过程中提供变换
技巧,然后把这两个题目作为例题。
先定义一个符号,用S(K=1,N)F(K)表示函数F(K)从K=1到
K=N求和。
公式1:
C(M-1,N-1)+C(M-1,N)=C(M,N)
公式1 证明:
方法1、可直接利用组合数的公式证明。
方法2、(更重要的思路)。
从 M个元素中任意指定一个元素。则选出N个的方法中,包含这一个元素
的有C(M-1,N-1)种组合 ,不包含这一个元素的有C(M-1,N)种组合。
因此,C(M-1,N-1)+C(M-1,N)=C(M,N)
公式2:
S(K=N,M)C(K-1,N-1)=C(M,N) (M》=N)
证明:C(M,N)是从M个物品中任选N个的方法。
从M个物品中任意指定M- N个,并按次序编号为第1到第M-N号,而其
余的还有N个。
则选出N个的方法可分类为:
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包含1号的有C(M-1,N-1)种;
不包含1号,但包含2号的有C(M-2,N-1)种;
。。。。。。
不包含1到M-K号,但包含M-K+1号的有C(K-1,N-1)种
。。。。。。
不包含1到M-N-1号,但包含M-N号的有C(N,N-1)种不包含1到M-
N号的有C (N,N)种,而C(N,N)=C(N-1,N-1)
由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法,因此
S(K=N,M)C(K-1,N-1)=C(M,N)
公式3:
S(K=0,N)C(P,K)*C(Q,N-K)=C(P+Q,N) (P,Q)=N)
证明:一批产品包含P件正品和Q件次品,则从这批产品中任选N件的选
法为C(P+Q,N)。而公式 里面的K表示选法中正品数量,
C(P,K)*C(Q,N-K)表示N件产品中有K件正品,N-K 件次品的选
法。K从0到N变化时,就包含了所有不同正品、次品数的组合。
因此,S(K=0,N)C(P,K)*C(Q,N-K)=C(P+Q,N)
公式4(一种变换技巧):
S(K=0,N)K*C(M,K)=S(K=0,N-1)M*C(M-1,K)
证明:
S(K=0,N)K*C(M,K)
=S(K=1,N)K*C(M,K)
=S(K=1,N)K*M!K!(M-K)!
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