高中向量公式组合数公式说课讲解

组合数公式
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组合数公式
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组合数公式是指从m个不同元素中，任取n(n≤m)个元素并成一组，叫做< br>从m个不同元素中取出n个元素的一个组合；从m个不同元素中取出n(n≤m)
个元素的所有组 合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。用
符号c(m,n) 表示。
中文名
组合数公式
公式写法
c(m,n)=p(m,n)n!
递推公式
c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)
应用领域
数学等
目录
1. 1 公式
2. 2 性质
3. 3 递推公式
4. 4 算法举例
组合数公式公式
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有时候也表示成：

（在旧版本里，排列数的字母写作P）
组合公式的推 导是由排列公式去掉重复的部分而来的，排列公式是建立一
个模型，从n个不相同元素中取出m个排成一 列（有序），第一个位置可以有
n个选择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置 ），则
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同理 可知第三个位置可以有n-2个选择，以此类推第m个位置可以有n-m+1个
选择，则排列数为

，而组合公式对应另一个模型,取出m个成为一组（无序）,由于m个元素
组成的一 组可以有m!种不同的排列（全排列

）,组合的总数就是

组合数公式性质
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组合数公式递推公式
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c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)
等式左边表示从m个元素中选取n 个元素，而等式右边表示这一个过程的
另一种实现方法：任意选择m中的某个备选元素为特殊元素，从m 中选n个
元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况，即n个被选择元素包含了
特殊元素 和n个被选择元素不包含该特殊元素。前者相当于从m-1个元素中选
出n-1个元素的组合，即c(m -1,n-1)；后者相当于从m-1个元素中选出n个元
素的组合，即c(m-1,n)。
组合数公式算法举例
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1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件 ，求得到次品数
的期望和方差？
2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使 用的射击次
数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
这两题都要用到一些技巧。我先列 出几个重要公式，证明过程中提供变换
技巧，然后把这两个题目作为例题。
先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到
K=N求和。
公式1：
C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）
公式1 证明：
方法1、可直接利用组合数的公式证明。
方法2、（更重要的思路）。
从 M个元素中任意指定一个元素。则选出N个的方法中，包含这一个元素
的有C（M-1，N-1）种组合 ，不包含这一个元素的有C（M-1，N）种组合。
因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）
公式2：
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N） （M》=N）
证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。
从M个物品中任意指定M- N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其
余的还有N个。
则选出N个的方法可分类为：
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包含1号的有C（M-1，N-1）种；
不包含1号，但包含2号的有C（M-2，N-1）种；
。。。。。。
不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C（K-1，N-1）种
。。。。。。
不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C（N，N-1）种不包含1到M-
N号的有C （N，N）种，而C（N，N）=C（N-1，N-1）
由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）
公式3：
S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N） （P，Q）=N）
证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选
法为C（P+Q，N）。而公式 里面的K表示选法中正品数量，
C（P，K）*C（Q，N-K）表示N件产品中有K件正品，N-K 件次品的选
法。K从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。
因此，S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）
公式4（一种变换技巧）：
S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）
证明：
S（K=0，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*M！K！（M-K）！
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