高一数学必修4： 周期函数

能 力 提 升
一、选择题
1．定义在R上的函数f(x)，存在无数个实 数x满足f(x＋2)＝f(x)，
则f(x)( )
A．是周期为1的周期函数
B．是周期为2的周期函数
C．是周期为4的周期函数
D．不一定是周期函数
[答案] D
?
π
?
2．函数y＝2cos
?
3
－ωx
?
的最小正周期是4π，则ω等于( )
??
A．2
C．±2
[答案] D
2π
1
[解析] 4π＝，∴ω＝±.
|ω|2
1
B.
2
1
D．±
2
3．(2013山师附中期中)函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为
( )
π
A.
2
C．2π
[答案] A
?
π
??
π
?
[解析] ∵
?
sin?x ＋
2
?
?
＋
?
cos?x＋
2
?
?
＝|sinx|＋|cosx|.∴原函数的
????
B．π
D．4π
π
最小正周期为.
2

??
π< br>??
4．函数y＝
?
7sin
?
3x－
5
? ?
的周期是( )
????
A．2π
π
C.
3
[答案] C
1
2ππ
[解析] T＝·＝.
233
B．π
π
D.
6
k
π
5． 函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k
43
的最小值应是( )
A．10
C．12
[答案] D
2π8π
[解析] T＝
k
＝
k
≤2 ∴k≥4π又k∈N*
4
∴k最小为13，故选D.
6．定义在R上的函数f(x )既是偶函数，又是周期函数，若f(x)
?
π
??
5π
?
的最小正周期为π，且当x∈
?
0，
2
?
时，f(x)＝sinx， 则f
?
3
?
等于( )
????
B．11
D．13
1
A．－
2
C．－
3

2
B．1
D.
3

2
[答案] D
?
5π
??
5π
??
2π
?
????
－ π
[解析] f
3
＝f
3
＝f
?
3
?

??? ???
?
2
??
π
??
π
?
＝f
?
3
π－π
?
＝f
?
－
3
?
＝f
?
3
?

??????

π
3
＝sin＝.
32
二、填空题
π
7．(2013·江苏)函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期为________．
4
[答案] π
2π
[解析] 本题考查三角函数的周期．T＝＝π. < br>2
π
8．若函数f(x)＝2cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为T，且T∈< br>3
(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
[答案] 6
2π2π
[解析] T＝
ω
，又1ω
<3.
113
2π
∴<
ω
<.∴<ω<2π.
2π2π
3
则正整数ω的最大值为6.
ππ
9．设函数f(x)＝ 3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为
62
?
α
π?
9
最小正周期．若f
?
4
＋
12
?
＝，则sinα的值为________．
??
5
4
[答案] ±
5
π
[解析] ∵f(x)的最小正周期为，ω>0，
2
?
π
?
2π
??
4x＋
∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin
6
?
.
π
?
2
?
α
π
??ππ
?
9
由f
?
4
＋
12
?
＝3sin
?
α＋
3
＋
6
?
＝3cosα＝，
5
????
3
∴cosα＝.
5

4
∴sinα＝±1－cos
α＝±
.
5
2
三、解答题
10．求下列函数的周期．
(1)y＝sin2x；
π
(2)y＝－cos(x＋)；
4
(3)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)．
[解析] 由周期函数的定义求．
(1)令f(x)＝sin2x，
∵f(x＋π)＝sin2(x＋π)＝sin2x＝f(x)．
∴函数y＝sin2x的周期为π.
π
(2)令f(x)＝－cos(x＋)， < br>4
ππ
∵f(x＋2π)＝－cos[(x＋2π)＋]＝－cos(x＋)＝f(x) ．
44
π
∴函数y＝－cos(x＋)的周期为2π.
4
(3)令f(x)＝sin(ωx＋φ)，
2π2π
∵f(x＋
ω
)＝sin[ω(x＋
ω
)＋φ]＝sin(ωx＋φ＋2π)＝sin(ωx＋φ )＝
f(x)，
2π
∴函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期为
ω
.
11
11．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
22
(1)画出函数的简图．
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．

11
[解析] (1)y＝sinx＋|sinx|
22
?
?
sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]?k∈Z?，
＝
?

?
0，x∈[2kπ－π，2kπ??k∈Z?.
?

函数图象如图所示．

(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函
数的周期是2π.
?
2k＋1
π
?
12．已知函数y＝5cos
?
πx－< br>?
(其中k∈N)，对任意实数a，
36
??
5
在区间[a， a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，
4
求k值．
2k＋1
π
5
[解析] 由5cos(
πx－
)＝，
364
2k＋1
π
1
得cos(
πx－
)＝. < br>364
1
∵函数y＝cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间
4< br>1
[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4
4