高中数学必修4《平面向量》知识点讲义

v1.0 可编辑可修改
第二章 平面向量
一、基本概念
1、数量：只有大小没有方向的量称为数量，例如温度、时间、质量、面积等。
2、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，例如速度，位移，加速度，力等。注意：向量没有位置。
3、有向线段：带有方向的线段。
a
。 4、向量的模：向量的长度（大小），记作
5、零向量：长度为0的向量叫零向量，记为
0
，零向量的方向任意。
6、单位向量：长度等于1个单位的向量。
7、相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a与-a
互为相反向量。 8、相反向量：长度相等但方向相反的向量，
0a
?
任意向量
?
。 9、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。规定
二、表示与运算

表示
代数 几何 坐标
(x，y）
a
或
AB


若A(x
1
,y
1
),B（x
2
,y
2
）

则AB=（x
2
-x
1
，y
2
-y
1
）

加法（减法）
“化减为加”
a?b

?
三角形法则：首尾相连法则
?
?
平行四边形法则




?
x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
?

说明：1、向量加法满足：
(1)交换律
a?b?b?a

(a?b)?c?a?(b?c)
(2)结合律

2、
a

?b?a?b当且仅当a与b同向时，取等号。

1

v1.0 可编辑可修改
3、
?ABC中，常见结论




4、
a?(?a)?(?a)+a,?(?a)?a

5、
a

?b?a?(?b)

6、
OA

?a,OB?b,则BA=a?b

7、常用结论：




数乘
代数



?
a

说明：1、运算律（1）
?

(
?
a)?(
??
)a

几何 坐标



（1）AB?BC?AC
（2 ）AB?BC?CA?0
（3）G为?ABC重心，则GA?GB?GC?0
AB?BA?0< br>AB?AC?CB
?
?
?
=0，0方向任意
?
??
方向
?
?
?
?0,
?
a与a同向
?
?
a
?
?
?
?
?
?0，
?
a与a反向
?
?
大小：
?
a?
?
a
?< br>?

?
?
x,
?
y
?

?
（2）
(a?b)?
?
a?
?
b

（3）
?

(a?b)?
?
a?
?
b

如果a(a?0)与b 共线，当且仅当有惟一一个实数
?
，使b?
?
a
2、

3、
0

?a?0,不能写成0?a?0

2
1
?ABC中，M为BC中点，则AM=（AB+AC）
2

v1.0 可编辑可修改
4、

a?0,则
5、

a
a
是与a同向的单位向量。
6、
若

A、B、C三点共线，则存在唯一实数
?
，使AC=
?
AB.

7、
若

A、B、C 三点共线，O为平面内任一点，则OC?
?
AB?
?
OB，其中
?< br>+
?
=1.

8、


x
1
?x
2
y
1
?y
2
1
P(x,y)、P（x,y）,P为线段PP中点，则OP?(OP?OP)?(,).
111222 1212
222
?
?
PP
2
,P（
9、
PP
11
(x
1
,y
1
),P
2< br>x
2
,y
2
）,则OP=



数量积（内积）
说明：
代数

a?b


OPx?
?
x
2
y
1
?< br>?
y
21
?
?
OP
2
?(
1
,)
1+
?
1?
?
1?
?
几何 坐标


a?b?a?b?cos
?
x
1
x
2
?y
1
y
2

?cos
?
称为a在向量b方向上的投影
， 1、
a



b?cos
?
称为b在向量a方向上的投影
求夹角cos
?
?
2、


3、运算定律
a? b
ab
求模长a=a?a=a
2
（1）a?b?b?a;





3
（2）(
?
a)?b?
?(a?b)?a?(
?
b);
（3）a?(b?c)?a?b?a?c