高一数学必修4《三角函数》教案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础， 推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特
点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：
（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
? sin
?
sin
?
．
（2）
sin
?
?cos
？
（二）新课讲授
问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？
探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
cos
?
?sin
?
?
?
?
sin
?
?
2
???
2
??
2
?
?
?
2
?

?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
．
sin
?
?
?
?
?
?si n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?
?
?
?cos< br>?
sin
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?
探究2、让学生观察认识两角和与 差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

sin
?
?
?
?
?
sin
?
cos
?
?cos?
sin
?
．
tan
?
?
?
??
??
cos
?
?
?
?
?
cos?
cos
?
?sin
?
sin
?
探究3、我们 能否推倒出两角差的正切公式呢？
tan
?
?
?
?
??tan
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

?
1?tan
?
tan
?
?
?
?
1?tan
?
tan?
探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有
tan
?
、
tan
?
的形式呢？
（分式分子、分母同时除以
cos
?
cos
?
，得到
tan
?
?
?
?
??
tan
?
?tan
?
．
1?tan
?tan
?
注意：
?
?
?
?
?
2
?k
?
,
?
?
?
2
?k
?
,< br>?
?
?
2
?k
?
(k?z)

5、将
S
(
?
?
?
)< br>、
C
(
?
?
?
)
、
T
(< br>?
?
?
)
称为和角公式，
S
(
?
?
?
)
、
C
(
?
?
?
)
、
T
(
?
?
?
)
称为差角公式。
（三）例题讲解
例1、已知
sin
?
??,
?
是 第四象限角，求
sin
?
3
5
?
??
?
? ?
?
??
?
?
?
,cos
?
?
?
?
,tan
?
?
?
?
的值.
4
??
4
??
4
??
2
4
3
?
3< br>?
2
解：因为
sin
?
??,
?
是第四象限 角，得
cos
?
?1?sin
?
?1?
?
?
?
?
，
5
5
?
5
?
3
sin
?
3
tan
?
??
5
??
，
4
cos
?
4
5
?
于是有：
sin?
??
242
?
3
?
72
?
?
?

?
?
?
?sincos
?
?cossin< br>?
????
?
?
?
?
44252
?
5
?
10
?
4
?
??
242
?
3
?
72
?
?
?

cos
?
??
?
?coscos
?
?sinsin
?
?????
?
?
?
44252
?
5
?
10?
4
?
3
??1
?
??
4
?
4
tan
?
?
?
?
???7

?
3
4
??
??
1?tan
?
tan
1?
?
?
?
4
?
4
?
tan
?
?tan
思考：在本题中，
sin(
?
?
4
?
?
) ?cos(
?
4
?
?
)
，那么对任意角
?
，此等式成立吗？若成立你能否证明？
练习：教材P131面1、2、3、4题
例2、 已知
tan
?
?
?
?
?
?
3
2< br>?
?
1
?
???
（）
,tan
?
?
?
?
?,
求
tan
?
?
?
?< br>的值．
22
54
?
44
???
例3、利用和（差）角 公式计算下列各式的值：
is72cos42cos72nis42
（1）、
n?o s20cos70nis20nis70
；（2）、
c?
?
?
??
；（3）、
1?na1t5
1?na1t5
．
is72oc s42ocs72nis42n7is2?42
解：（1）、
n
os20cos70n is20nis70
（2）、
ccos20?70
ni3s0
cos900< br>?
?
?
?
?
?
?
?
1
；
2
；
（3）、
1?na1t5nat45na1t5
?
1 ?na1t51nat45na1t5?
?
?nat45
?
15?nat60 ?
?
3?
．

练习：教材P131面5题
（四）小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用.
（五）作业：《习案》作业三十。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）
一、教学目标
1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；
2、掌握两角 和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及
asin
?
?bcos
?
类 型的变换。
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：（1）基本公式
sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin
?
(?
?
)?sin
?
cos
?< br>?co
?
ssin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?

cos
?
(?
?
)?co
?< br>scos
?
?sin
?
sin
?

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?

tan

?
(?
?
)?
1?tan
?
?tan
?< br>1?tan
?
?tan
?
（2）练习：教材P132面第6题。
思考：怎样求
asin
?
?bcos
?
类型？
（二）新课讲授
例1、化简
2cosx?6sinx

解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
?
1
?
3
2cosx?6sinx?22
?
?
2< br>cosx?
2
sinx
?
?
?22
?
sin 30cosx?cos30sinx
?
?22sin
?
30?x
?< br>??
思考：
22
是怎么得到的？
22?
????
2
2
?6
2
，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于
1
3
和的.
2
2
归纳：
asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)tan
?
?
a

b
例2、已知：函数
f(x)?2sinx?23cosx,x?R

（1） 求
f(x)
的最值。（2）求
f(x)
的周期、单调性。
例3．已 知A、B、C为△ABC的三內角，向量
m?(?1,3)
，
n?(cosA,sin A)
，且
m?n?1
，
（1） 求角A。（2）若
?
?< br>?
?
1?2sinB?cosB
??3
，求tanC的值。
cos
2
B?sin
2
B
练习：（1）教材P132面7题
（2）在△ABC中，
sinAsinB?cosAcosB
，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
（2）
3cos
?
12
?sin
?
12
的值为
（ ）
A． 0 B．2 C．
2
D．
?
思考：已知
2

?
2
?
?
?
3
?
123
，
cos(
?
?
?
)?
，
sin(
?
?
?
)??
，求
sin 2
?

4135
三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及
asin
?
?bcos
?
类型的变换
四、作业：《习案》作业三十一的1、2、3题。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导 二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌
握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?< br>sin
?

sin
?
(?
?
) ?sin
?
cos
?
?co
?
ssin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?

cos
?
(?
?
)?co
?
scos
?
?sin
?
sin
?

tan(
?
?
?
)?
tan< br>?
?tan
?
tan
?
?tan
?
?
(?
?
)?

tan

1? tan
?
?tan
?
1?tan
?
?tan
?练习：（1）在△ABC中，
sinAsinB?cosAcosB
，则△ABC为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

（2）
3cos
?
12
?sin
?
12
的值为
（ ）
A． 0 B．2 C．
2
D．
?2

思考：已知
?
2
?
?
?
3
?
123
，
cos(
?
?
?
)?，
sin(
?
?
?
)??
，求
sin2
?

4
135
我们由此能否得到
sin2
?
,c os2
?
,tan2
?
的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中
?
看成
?
即可），
（二）公式推导：
sin2
?
?sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos< br>?
?cos
?
sin
?
?2sin
?
cos
?
；
cos2
?
?cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
s in
?
?cos
2
?
?sin
2
?
； < br>思考：把上述关于
cos2
?
的式子能否变成只含有
sin
?
或
cos
?
形式的式子呢？
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?sin
2
??sin
2
?
?1?2sin
2
?
；
cos 2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?(1?cos
2
?
)?2cos
2
?
?1
．
tan2
?
?tan
?
?
?< br>?
?
?
注意：
2
?
?
tan
??tan
?
2tan
?
?
．
1?tan
?< br>tan
?
1?tan
2
?
?
2
?k
?
,
?
?
?
2
?k
?

?
k?z
?

（三）例题讲解
例1、已知
sin 2
?
?
解：由
5
??
,?
?
?,
求
sin4
?
,cos4
?
,tan4
?
的值．
1342
?
4
?
?
?
?
2
,得
?
2
?2
?
?
?
．
2
1 2
5
?
5
?
,
cos2
?
??1?sin
2
2
?
??1?
??
??
． 又因为
si n2
?
?
13
13
?
13
?
于是
sin4
?
?2sin2
?
cos2
?
?2?
5< br>?
12
?
120
；
?
?
?
???
13
?
13
?
169
2
120
s in4
?
120
?
5
?
119
；
tan4
?
?
．
?
169
??
cos4
?
?1?2sin
2
2
?
?1?2?
??
?
119
cos4
?
119
?
13
?
169
169
?

例2．在△ABC中，
cosA?
4
，
t anB?2,求tan(2A?2B)的值
。

5
例3．已知
tan 2
?
?,
求
tan
?
的值．
解：
tan 2
?
?
1
3
2tan
?
1
2
?< br>，由此得
tan
?
?6tan
?
?1?0

2
1?tan
?
3
解得
tan
?
??2?5
或
tan
?
??2?5
．
例4．已知
tan
?
?
11
,tan
?
?,求tan(
?
?2
?
)的值

73
（四）练习：教材P135面1、2、3、4、5题
（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善
于 发现规律，学会灵活运用.
（六）作业：《习案》作业三十二。

3.2简单的三角恒等变换（一）
一．教学目标
1、通过二倍角的变形公式推导半 角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公
式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生 形成对解题过程中如何选
择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向 使用公式等数学
思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
二、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差 化积、半角公式的推导作
为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会 三角变换的特点，提
高推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想 方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上
把握变换过程的能力．
三、教学设想：
（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式
（二）新课讲授：
1、由二倍角 公式引导学生思考：
?
与
?
2
有什么样的关系？
学习和（ 差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思
路和方法更加丰富 ，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．

例1、试以
cos
?
表示
sin
2
?
2
,cos
2
?
2
,tan
2
2
?
2
．
解：我们可以通过二倍 角
cos
?
?2cos
因为
cos
?
?1?2si n
因为
cos
?
?2cos
2
2
?
22
?1
和
cos
?
?1?2sin
2
?
1?cos
?
；
2
?
2
来做此题．
?
2
，可以得到
sin
?
2
?
2
?1
，可 以得到
cos
2
?
2
?
1?cos
?
．
2
又因为
tan
2
?
2
?
2
?< br>1?cos
?
．
?
1?cos
?
cos
2
2
sin
2
?
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结
构形式方 面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等
变换常常首先 寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
例2．已知
sin
?
?
例3、求证：
（１）、
s in
?
cos
?
?
5
?
，且
?
在 第三象限，求
tan
的值。
132
1
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
??
?
?
；
2
?
（２）、
sin
?< br>?sin
?
?2sin
?
?
?
2
cos?
?
?
2
．
证明：（１）因为
sin
??
?
?
?
和
sin
?
?
?
?
?
是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos?
sin
?
；
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
．
两式相加得
2sin
?
cos
?
?sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
??
?
；
即
sin
?
cos
?
?1
sin
?
?
?
?
?
?sin
??
?
?
?
??
；
??
2
（２）由（ １）得
sin
?
?
?
?
?
?sin
??
?
?
?
?2sin
?
cos
?
①； 设
?
?
?
?
?
,
?
?
?
?
?
，
那么
?
?
?
?
?
2,
?
?
?
?
?
2
．
把
?< br>,
?
的值代入①式中得
sin
?
?sin
?
?2sin
思考：在例3证明中用到哪些数学思想？
?
?
?
2cos
?
?
?
2
．
例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，

（２）式是和差化积 的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
三．练习：P142面1、2、3题。
四．小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
五．作业：《习案》三十三。

3.2简单的三角恒等变换（二）
一、教学目标
1、通过三角恒等变形，形如
asinx?bcosx
的函数 转化为
y?Asin(x?
?
)
的函数；
2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。
二、教学重点与难点
重点：三角恒等变形的应用。
难点：三角恒等变形。
三、教学过程
（一）复习：二倍角公式。

（二）典型例题分析
5
?
4
sin
2
?
?sin2
?
(2)求 tan(
?
?)的值
．
的值
例1：
已知0?
?
?,sin
?
?.

(1)求
；
25
4
cos
2
?
?cos2
?
?
解：（1）由
0?
?
?
?
2
,sin
?
?
43
,
得
cos
?
?,
55
sin
2
?
?sin2
?
sin
2
?
?2sin
?
cos
?
???20.
cos
2
?
?cos2
?
3cos
2
?
?1
（2）
?tan
?
?
sin
?
45
?
tan
?
?11
?,tan(
?
?)??.
< br>cos
?
341?tan
?
7
（?1?
例2．
利用三角公式化简sin503tan10?）.

13
2(cos10??sin 10?)
3sin10?
2
?sin50??
2
解：
原式? sin50

（?1?）
cos10?
cos10?
sin30?c os10??cos30?sin10?sin40?

?2cos40??


cos10?cos10?
sin80?cos10?
??1
.
?
cos10?cos10?
?2sin50??
例３．已知函数
f (x)?cosx?2sinxcosx?sinx

（1） 求
f(x)
的 最小正周期，（2）当
x?[0,
44
?
2
]
时，求
f(x)
的最小值及取得最小值时
x
的集合．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数
y? Asin
?
?
x?
?
?
的性质研究得到延伸，体现了三角变 换在化简三角函数式中的作用．
例4．若函数
f(x)?3sin2x?2cos
2
x?m在区间[0
，
]
上的最大值为6，求常数m的值及此函
2?
数当
x?R
时的最小值及取得最小值时
x
的集合。
（三）练习：教材P142面第4题。
（四）小结：
(1) 二倍角公式：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
,
cos2< br>?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos< br>2
?
?1?1?sin
2
?
,

2tan< br>?
tan2
?
?.
1?tan
2
?
(2)二 倍角变式：
2cos
2
?
?1?2cos2
?
,2sin
2
?
?1?cos2
?

(3)三角变形技巧和代数变形技巧
常见的三角变形技巧有
①切割化弦；
②“1”的变用；
③统一角度，统一函数，统一形式等等．
（五）作业：《习案》作业三十四

3.2简单的三角恒等变换（三）
教学目标
（一） 知识与技能目标
熟练掌握三角公式及其变形公式．
（二） 过程与能力目标
抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．
（三） 情感与态度目标
培养学生观察、分析、解决问题的能力．
教学重点
和、差、倍角公式的灵活应用．
教学难点
如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．
教学过程

例1：教材P141面例4
例1. 如图，已知
OPQ
是半 径为1，圆心角为
?
3
的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形
的内接 矩形.记∠COP＝
?
，求当角
?
取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求 出这个最大面积.

Q





< br>例2：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯
法能使横截面的面积最大？（分别 设边与角为自变量）
解：（1）如图，设矩形长为
l
，则面积
S?l4R< br>2
?l
2
，
4R
2
?2R
2
,
所以
S?l(4R?l)?? (l)?4Rl,
当且仅当
l?
2
22222222
2
D< br>O
A
C
?
B
P
θ
即
l?2R时，
S
2
取得最大值
4R
4
，此时
S
取得最大值
2R
2
，矩形的宽为
2R
2
?2R
即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.
2R
（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为
?
，矩形长与宽分别为
2Rsin
?
、
2Rcos
?
，所以面积
S?2R cos
?
?2Rsin
?
?2R
2
sin2
?.
而
sin2
?
?1
，所以
S?2R
2，当且仅当
sin2
?
?1
时，
S
取最大值
2 R
2
，所以当且仅当
2
?
?90?
即
?
? 45?
时，
S
取最大值，此时矩形为内接正方形.
变式：已知半径为1的 半圆，
PQRS
是半圆的内接矩形如图，问
P
点在什么位置时，矩
Q

P

形的面积最大，并求最大面积时的值．
R

O

S

解：设
?SOP?
?,
则
SP?sin
?
,OS?cos
?
,
< br>故S
四边形
PQRS
?sin
?
?2cos
?
?sin2
?

故
?
为
45?
时，
S
max
?1


课堂小结
建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.

课后作业
1. 阅读教材P.139到P.142; 2.



. 《习案》作业三十五