高一数学必修4： 二倍角的正弦、余弦、正切公式

能 力 提 升
一、选择题
cos2α2
1．(2013·长沙模 拟)若
π
＝－
2
，则cosα＋sinα的值为
sin?α－
4
?
)
A．－
7
2
B．－
1
2

C.
1
2
D.
7
2

[答案] C
[解析]
cos2α
cos
2
α－sin
2
α
sin?α－
π
＝
2

4
?
2
?sinα－cosα?
＝
?cos α＋sinα??cosα－sinα?
2

2
?sinα－cosα?＝－2(cosα＋sinα)＝－
2
2
.
∴sinα＋cosα＝
1
2
.
2．已知sinθ＝
4
5
，sinθcosθ<0，则sin2θ的值为(
A．－
24
25
B．－
12
25

C．－
4
5
D.
24
25

[答案] A
[解析] ∵sinθ＝
4
5
>0，sinθcosθ<0，
∴cosθ<0.
)
(

∴cosθ＝－1－sin
2
θ＝－
3
5
.
∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－
24
25
.
3．若x＝< br>π
12
，则cos
2
x－sin
2
x的值等于( )
A.
1
4
B.
1
2

C.
2
2
D.
3
2

[答案] D
[解析] 当x＝
π
12
时，cos
2
x－sin
2
x＝cos2x
＝cos(2×
π
)＝cos
π
3126
＝
2
.
4．(2013·济南模拟)已知cos2θ＝
2
3
，则sin
4
θ＋cos
4
θ的值为(
A.< br>13
18
B.
11
18

C.
7
9
D．－1
[答案] B
[解析] si n
4
θ＋cos
4
θ＝(sin
2
θ＋cos
2< br>θ)
2
－2sin
2
θcos
2
θ
＝1－
1
2
sin
2
2θ＝1－
1
2
(1－co s
2
2θ)＝
11
18
.
5．已知向量a＝
?< br>?
?
cosθ，
1
?
2
?
2
?的模为
2
，则cos2θ等于( )
A.2－
3
2
B．－
1
4

C．－
1
2
D.
1
2

[答案] C
)

[解析] |a|＝
121
2
cos
θ＋
4
＝
2
，则cos
θ＝
4
，
2
1
所以cos2θ＝2cos
2
θ－1＝－
2
.
2
π
6．(2013·新课标Ⅱ文)已知sin2α＝
3
，则cos
2
(α＋
4
)＝( )
1
A.
6

1
C.
2

[答案] A
[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．
π
2
1＋cos?2α＋
2
?1－
3
1－sin2α
π
2
由倍角公式可得，cos(2＋
4< br>)＝＝＝
2
＝
22
1
6
，故选A.
二、填空题
5
7．在△ABC中，cosA＝
13
，则sin2A＝________.
120
[答案]
169

12
[解析] ∵013
.
2
1
B.
3

2
D.
3

120
∴sin2A＝2sinAcosA＝
169
.
π
1
8．(2013山东师大附中模拟)若α∈(0，
2
)，且sin
2
α＋cos2α＝
4
，
则tanα的值等于________．
[答案] 3
2
1
[解析] 由sin
α＋cos2α＝
4
得sin
2
α＋1－2sin
2
α＝1－sin
2
α＝cos
2
α

1
π
1
＝
4
.∵α∈(0，
2
)，∴cosα＝
2
，
ππ
∴α＝
3
，∴tanα＝tan
3
＝3.
9 ．2002年北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学
家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由 四个全等直角三角形与一个小
正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等
于________．

7
[答案]
25

?
1
?
[解析] 设直角三角形的两直角边长分别为a，b，则有4×
?
2
ab
?
??
＋1＝25，∴ab＝12.
又a
2
＋b
2
＝25，即直角三角形的斜边c＝5.
?
?
ab＝12，
解方程组
?
22

?< br>a＋b＝25，
?
??
?
a＝3，
?
a＝4，
得
?
或
?

??
?
b＝4
?
b＝3，