高中数学人教A版必修4阶段质量检测(一) Word版含解析

阶段质量检测(一)
(A卷 学业水平达标)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( )
A．330°
C．150°
答案：B
π
2．若－<α<0，则点P(tan α，cos α)位于( )
2
A．第一象限
C．第三象限
答案：B
3．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin 120°，cos 120°)，则α可以
是( )
A．60°
C．150°
答案：B
4．若sin
2
θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( )
1
A．1 B.
2
1
C．－
2
答案：D
π
x＋
?
的单调增区间为( ) 5．函数f(x)＝tan
?< br>?
4
?
ππ
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z A.
?
22
??
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
3ππ
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z C.
?
44
??
π3π
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z D.
?
44
??
答案：C
π3π
3
＋α
?
＝，则sin
?
－α
?
的值为( ) 6．已知sin
?
?
4
?
2
?
4
?
D．－1
B．330°
D．120°
B．第二象限
D．第四象限
B．210°
D．30°

1
A.
2
C.
3

2
1
B．－
2
D．－
3

2
答案：C
ππ
－≤x≤
?
的最大值与最小值之和为( ) 7．函数y＝cos
2
x＋sin x
?
6
??
6
3
A.
2
答案：A
3
B．2 C．0 D.
4

π5π
－，
?
上的图象，为了得到这个函数的8．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间
?
?
66
?
图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点( )
π
1
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
32
π
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不 变
3
π
1
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 ，纵坐标不变
62
π
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变
6
答案：A
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0，|φ|<π)的一段图象如
图所示，则函数的解析式为( )
π
2x－
?
A．y＝2sin
?
4
??
π3π
2x－
?
或y＝2sin
?
2x＋
?
B． y＝2sin
?
4
?
4
???
3π
2x＋
?
C．y＝2sin
?
4
??
3π
2x－
?
D．y＝2sin
?
4
??
答案：C
1119
x－
?
＝f
?
x＋
?
，且f
?
－
?
＝－a，那么f
??
10．函数f(x)＝Asin ωx(ω>0)，对任意x有f
?
?
2
??
2
??
4
??
4
?< br>等于( )

A．a
C．3a
答案：A
B．2a
D．4a
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
π
2
－，0
?
，则tan(2π－α)＝________. 11 ．已知sin(π－α)＝－，且α∈
?
?
2
?
3
2
解析：sin(π－α)＝sin α＝－，
3
π
－，0
?
， ∵α∈
?
?
2
?
∴cos α＝1－sin
2
α＝
答案：
25

5
sin α
255
，tan(2π－α)＝－tan α＝－＝.
3cos α5
π
4
0＜θ＜
?
，则sin θ－cos θ的值为________． 12．已知sin θ＋cos θ＝
?
4
?
3
?
4
解析：∵sin θ＋cos θ＝，
3
16
∴(sin θ＋cos θ)
2
＝1＋2sin θcos θ＝，
9
7
π
∴2sin θcos θ＝.又0＜θ＜，∴sin θ＜cos θ.
94
∴sin θ－cos θ＝－?sin θ－cos θ?
2

＝－1－2sin θcos θ＝－
答案：－
2

3
2
.
3
?
?
a?a≤b?，
13．定义运算a*b为a*b＝
?
例如1] .
?
b?a>b?，
?

解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自 定义函数，结合函数的图象可得其值域为
?
－1，
2
?
.
2
??
答案：
－1，
?
?
2
?

2
?
π
14．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜， y＝f(x)的部分图象如
2
π
?
图，则f
?
?
2 4
?
＝________.
3ππ2ππ
解析：由图象可知，此正切函数的 半周期等于－＝＝，即周期
8884

3π
?
3π
π< br>，0
，所以0＝Atan
?
2×＋φ
?
， 为，所以ω＝2. 由题意可知，图象过定点
?
8
?
8
???
2
即3π3π
＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，
44
ππ
又|φ|＜，所以φ＝.再由图象过定点(0,1)，
24
π
2x＋
?
. 所以A＝1.综上可知f(x)＝tan
?
4
??
π
??
2×
π
＋
π
?
＝tan
π
＝3. 故有f
?
＝tan
?
24< br>??
244
?
3
答案：3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知
sin α－3cos α
(1)；
sin α＋cos α
(2)sin
2
α＋sin αcos α＋2.
解：由
tan α
1
＝－1，得tan α＝.
2
tan α－1
tan α
＝－1，求下列各式的值：
tan α－1
1
－3
sin α－3cos αtan α－3
2
5
(1)＝＝＝－.
3
sin α＋cos αtan α＋1
1
＋1
2
(2)sin
2
α＋sin αcos α＋2
＝sin
2
α＋sin αcos α＋2(cos
2
α＋sin
2
α)
3sin
2
α＋sin αcos α＋2cos
2
α
＝
sin
2
α＋cos
2
α
3tan
2
α＋ tan α＋2
＝
tan
2
α＋1
1
?
2
1
3
?
?
2
?
＋
2
＋2
＝ < br>?
1
?
2
＋1
?
2
?
＝
1 3
.
5
16．(本小题满分12分)已知α是第二象限角，
π3π
α－
?
cos
?
＋α
?
tan?π－α?sin
?
?
2
??
2
?
且f(α)＝.
tan?－α－π?sin?－π－α?
(1)化简f(α)；

3π
3
α＋
?
＝，求f(α)的值． (2)若cos
?
2
?
5
?
－cos αsin α?－tan α?
解：(1)f(α)＝
－tan αsin α
＝－cos α.
3π
3
α＋
?
＝sin α＝， (2)∵cos
?
2
??
5
3
∴sin α＝.又∵α是第二象限角，
5
∴cos α＝－
3
?
2
4
1－
?
＝－.
?
5
?
5
4
4
－
?
＝. ∴f( α)＝－
?
?
5
?
5
π
17．(本小题满分12分 )已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象在y轴上的
2
截 距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x
0,
2)和(x
0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
1
(2)将y＝f(x)的图 象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得的
3
π
图象沿x轴向 右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式，并
3
用“ 五点法”作出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解：(1)∵f(x)＝Asin( ωx＋φ)在y轴上的截距为1，最大值为2，∴A＝2,1＝2sin φ，∴sin φ
1
＝.
2
ππ
又∵|φ|<，∴φ＝.
26
∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x
0,
2)和(x
0
＋3π，－2) ，
∴T＝2[(x
0
＋3π)－x
0
]＝6π，
2π2π
1
∴ω＝
T
＝＝.
6π
3
x< br>π
?
∴函数的解析式为f(x)＝2sin
?
?
3
＋
6
?
.
1
(2)将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原 来的，纵坐标不变，得函数的解析式为y
3
ππππ
π
x＋
?
，再向右平移个单位后，得g(x)＝2sin
?
x－＋
?
＝2sin?
x－
?
. ＝2sin
?
?
6
??
36
??
6
?
3
列表如下：
π
x－
6
0
π

2
π
3π

2
2π

x
π2π7π5π13π
6

3

6

3

6

g(x)
0 2 0
－2
0

描点并连线，得g(x)在一个周期的闭区间上的图象如下图．

18.(本小题满 分14分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)x∈R，
ω>0,0≤θ≤
π
2的图象与y轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
( 2)已知点A
?
π
?
2
，0
?
?
，点P是 该函数图象上一点，点Q(x
0
，y
0
)是PA
的中点，当y
3
0
＝
π
2
，x
0
∈
?
?2
，π
?
?
时，求x
0
的值．
解：(1)把(0，3)代入y＝2cos(ωx＋θ)中，
得cos θ＝
3
2
.
∵0≤θ≤
ππ
2
，∴θ＝
6
.
∵T＝π，且ω>0，
∴ω＝
2π2π
T
＝
π
＝2.
(2)∵点A?
π
?
2
，0
?
?
，Q(x是PA的中点，y
3
0
，y
0
)
0
＝
2
，
∴点P的坐标为
?
?
2x－
π
0
2
，3
?
?
.
∵点P在y＝2cos
?
?
2x＋
π6
?
?
的图象上，
且
π
2
≤x
0
≤π，
∴cos
?
?
4x
5π
?
3
7π5π19π
0
－
6
?
＝
2
，且
6
≤4x
0
－
6≤
6
.
∴4x
0
－
5π
6
＝
11π
6
或4x－
5π13π
0
6
＝
6
.
∴x
2π3π
0
＝
3
或x
0
＝
4
.

(B卷 能力素养提升)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知cos θ tan θ<0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限象
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
解析：选C 若cos θtan θ<0，
则cos θ>0，tan θ<0，或cos θ<0，tan θ>0.
当cos θ>0，tan θ<0时，角θ是第四象限角；
当cos θ<0，tan θ>0时，角θ是第三象限角．
π
2x－
?
的最小正周期是( ) 2．(陕西高考)函数f(x)＝cos
?
6
??
π
A.
2
C．2π
解析：选B ∵T＝
B．π
D．4π
2π2π
＝＝π，∴B正确．
|ω|2
3．函数y＝cos x·tan x的值域是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．[－1,1]
C．(－1,1)
D．[－1,0]∪(0,1)
解析：选C 化简得y＝sin x，由cos x≠0，得sin x≠±1.故得函数的值域(－1,1)．
4．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
解析：选B 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.
5π
5．已知α＝，则点P(sin α，tan α)所在的象限是( )
8
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限

π5π
解析：选D ∵<
<π，∴sin α>0，tan α<0，∴点P在第四象限．
28
π
2x－
?
的图象( ) 6．函数y＝2sin
?
6
??
A．关于原点成中心对称
B．关于y轴成轴对称
π
?
C．关于点
?
?
12
，0
?
成中心对称
π
D．关于直线x＝成轴对称
12
解析：选C 由形如y＝Asin(ωx＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别 将各选
π
??
π
，0
?
成中心对称． 项代入检验即可，由 于f
?
＝0，故函数的图象关于点
?
12
??
12
?
π3π
?
7．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间
?
?
2
，
2
?
内的图象是( )

π3π
解析：选D 当22
tan x>sin x，y＝2sin x．故选D.
ππ
8．已知角α的终边上一点的坐标为sin，cos，则角α的最小正值为( )
66
11π5π
A. B.
66
ππ
C. D.
36
π
6
解析：选C 由题意知，tan α＝＝3.
π
sin
6
cos
π
所以α的最小正值为.
3
π
?
9．函数y＝cos
?
?
4
－2x
?
的单调递增区间是( )

π5π
kπ＋，kπ＋
?
A.
?
88
??
3ππ
kπ－，kπ＋
?
B.
?
88
??
π5π
2kπ＋，2kπ＋
?
C .
?
88
??
3ππ
2kπ－，2kπ＋
?
(以上 k∈Z) D.
?
88
??
ππ
解析：选B 函数y＝cos－2x ＝cos2x－，根据余弦函数的增区间是[2kπ－π，2kπ]，
44
π3ππ
k ∈Z，得2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故选B.
488
π2π
?
10．函数y＝3cos
2
x－4cos x＋1，x∈
?
?
3
，
3
?
的最大值是( )
13
A. B.
44
115
C. D.
54
2
π2π
11
1
cos x－
?
2
－.∵x∈
?
，
?
，∴cos x∈
?
－，
?
，解析：选D y＝3cos
2
x－4cos x＋1＝3
?
3
?
3
??
33
??
22< br>?
1
2π
15
∴当cos x＝－，即x＝时，y
max
＝.
234
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．sin
2
1°＋sin
2
2°＋sin
2
3°＋…＋sin
2< br>88°＋sin
2
89°＋sin
2
90°的值为________．
解析：∵sin
2
1°＋sin
2
89°＝sin
2
1°＋cos
2
1°＝1，
sin
2
2°＋sin
2< br>88°＝sin
2
2°＋cos
2
2°＝1，
sin
2
x°＋sin
2
(90°－x°)＝sin
2
x°＋cos2
x°＝1，(1≤x≤44，x∈N)，
∴原式＝(sin
2
1°＋ sin
2
89°)＋(sin
2
2°＋sin
2
88°)＋ …＋(sin
2
44°＋sin
2
46°)＋sin
2
90 °＋sin
2
45°
＝45＋
?
2
?
2
＝
91
.
?
2
?
2
91

2
答案：
π
12．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0) 得到的图象恰好关于x＝对称，则φ
6
的最小值是________．
解析：y＝sin 2x向右平移φ个单位得
f(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)．
π
??
π< br>－2φ
?
＝±由f
?
＝sin
?
6
??3
?
1，
ππ
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
32

π5π
∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝，
66
π
5π5ππ
－
?
＝. ∴φ＝或作出y＝sin 2 x的图象观察易知φ＝－
?
126
?
4
?
12
答案 ：
5π

12
3
5π
π－α
?
·sin( π－α)的值为________．
13．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·co s＋α＋sin
?
?
2
?
2
解析：∵tan(π－α)＝2 ，∴tan α＝－2，
∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α
2sin
2
α－sin αcos α
2tan
2
α－tan α
＝2sin
α－sin αcos α＝
＝
sin
2
α＋cos
2
α
1＋tan2
α
2
2×?－2?
2
－?－2?
10
＝＝＝ 2.
5
1＋?－2?
2
答案：2
14．已知函数y＝2sin( ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为
x
1
，x
2
，若|x
1
－x
2
|的最小值为π，则ω＝______ __，θ＝________.
π
解析：由已知T＝π，∴ω＝2，θ＝kπ＋(k∈Z)．
2
答案：2
π

2
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1
15．(本小题满分12分)已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
5
(1)求sin Acos A；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
1
解：(1)∵sin A＋cos A＝ ①，
5
∴①式两边平方得1＋2sin Acos A＝
12
∴sin Acos A＝－.
25
(2)由(1)sin Acos A＝－
是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)
2
＝1－2sin Acos A＝1＋
2449
＝，又sin A>0，cos A<0，
2525
12
，且A∈(0，π)，可得sin A>0，cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC
25
1
，
25
743
∴sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝ ②，∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan
555

4
A＝－.
3
π
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋2·sin2x－.
4
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
ππ
－，
?
上的图象． (2)画出函数y＝f(x)在区间
??
22
?
解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝
2π
＝π ，
2
π
2x－
?
＝1时，f(x)取得最大值1＋2. 当sin
?
4
??
(2)由(1)知：
x
y
π
－
2
2
－
3π

8
π
－
8
1－2
π

8
1
3π

8
1＋2
π

2
2 1
ππ
－，
?
上的图象如图所示． 故函数y＝f(x)在区间
?
?
22
?

π
π17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝3sinωx＋，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小
62
正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
α
π
?
9
(3)已知f
?
?
4
＋
12
?
＝
5
，求sinα的值．
π
3
解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝.
62
π
(2)∵f(x)的最小正周期为，
2
∴ω＝
2π
＝4.
π
2
π
4x＋
?
. ∴f(x)＝3sin
?6
??
απ
?
ππ
9
＋
＝3sin
?
α＋
＋
?
＝3cos α＝， (3)由f
?
?
4 12
??
36
?
5
3
∴cos α＝.
5

4
∴sin α＝±1－cos
2
α＝±
.
5
π
18．(本小题满分1 4分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，且ω>0,0<φ<的部分图象如图
2
所示．

(1)求A，ω，φ的值；
5π
0，
?
上有两个不同的实根，试求a的取值范围． (2)若方程f(x )＝a在
?
3
??
解：(1)由图象易知A＝1，函数f(x)的周期为 < br>7π2π
?
T＝4×
?
?
6
－
3
?
＝2π，∴ω＝1.
2ππ
∵π－＝，
33
ππ
∴此函数的图象是由y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度得到的，故φ＝.
33
π
x＋
?
. (2)由(1)知函数解析式为f(x)＝sin
?
?
3
?
5π
5
0，
?
上有两个 不同的实根等价于y＝f(x)，x∈
?
0，
π
?
与y＝a有两个< br>∴方程f(x)＝a在
?
3
???
3
?
交点．
当x＝0时，f(x)＝
∴a∈
3
，
2
?
3
，1
?
时，y＝a与y＝f(x)有两个交点；
?
2
?
5
当x＝
π时，f(x)＝0，
3
∴a∈(－1,0)时，y＝a与y＝f(x)也有两个交点，
故所求a∈

?
3
，1
?
∪(－1,0)．
?
2
?