「精品」高中数学课下能力提升二十新人教A版必修4

精品资料 值得拥有
课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]
题组1 平面向量数量积的坐标运算
1．已知向量
a
＝(1，－1)，b
＝(2，
x
)．若
a
·
b
＝1，则
x
＝( )
1
A．－1 B．－
2
1
C. D．1
2
2．已知向量
a
＝(0，－23)，
b
＝(1， 3)，则向量
a
在
b
方向上的投影为( )
A.3B．3
C．－3 D．－3
3．已知向量
a
＝(3，1)，
b是不平行于
x
轴的单位向量，且
a
·
b
＝3，则
b
＝( )
A.
?
3
??
31
??
1
，
?
B.
?
，
?

?
22??
22
?
?
133
?
C.
?
，?
D．(1，0)
?
44
?
题组2 向量模的问题 4．已知平面向量
a
＝(2，4)，
b
＝(－1，2)，若
c< br>＝
a
－(
a
·
b
)
b
，则|
c
|等于( )
A．42B．25C．8 D．82
5．设平面向量
a
＝(1，2)，
b
＝(－2，
y
)，若
a
∥< br>b
，则|3
a
＋
b
|等于________．
6． 已知在直角梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
AD C
＝90°，
AD
＝2，
BC
＝1，
P
是腰
DC
上的动
点，则||的最小值为________．
题组3 向量的夹角与垂直问题
?
11
?
7．设向量
a
＝(1，0 )，
b
＝
?
，
?
，则下列结论中正确的是( )
?
22
?
A．|
a
|＝|
b
| B．
a
·
b
＝
C．
a
－
b
与b
垂直 D．
a
∥
b

8．已知向量
a＝(1，2)，
b
＝(2，－3)，若向量
c
满足(
c
＋
a
)∥
b
，
c
⊥(
a
＋
b)，则
c
等
于( )
7
??
77
??7
A.
?
，
?
B.
?
－，－
?

9
??
93
??
3
7
??
77
??
7
C.
?
，
?
D.
?
－，－
?

3
??
39
??
9
9．以原点
O
和点
A
(5，2)为顶点作等腰直角三 角形
OAB
，使∠
B
＝90°，求点
B
和向量
1

2

2

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的坐标．
10．已知
a
，
b
，
c
是同一 平面内的三个向量，其中
a
＝(1，2)．
(1)若|
c
|＝25 ，且
c
∥
a
，求
c
的坐标；
(2)若|
b
|＝
5
，且
a
＋2
b
与2
a
－
b
垂直，求
a
与
b
的夹角θ.
2
[能力提升综合练]

33
A.B．－
22
C．4 D．－4
2．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在
x
轴上有一点
P
，使有最小值，
则点
P
的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
3．< br>a
，
b
为平面向量，已知
a
＝(4，3)，2
a＋
b
＝(3，18)，则
a
，
b
夹角的余弦值等于( )
A.
C.
88
B．－
6565
1616
D．－
6565
4．已知
a
＝ (1，2)，
b
＝(
x
，4)，且
a
·
b
＝10，则|
a
－
b
|＝________.
5．如图，已知点< br>A
(1，1)和单位圆上半部分上的动点
B
，若
坐标为_______ _．
⊥，则向量的

6．已知
a
＝(λ，2λ)，
b＝(3λ，2)，若
a
与
b
的夹角为锐角，则λ的取值范围是_____ ___．
7．已知
O
为坐标原点，
是否存在点
M
，使得



答 案
[学业水平达标练]
1. 解析：选D < br>a
·
b
＝(1，－1)·(2，
x
)＝2－
x
＝1?
x
＝1.
2

＝(2，5)，＝(3，1)，＝ (6，3)，则在线段
OC
上
？若存在，求出点
M
的坐标；若不存在 ，请说明理由．

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2. 解析：选D 向量
a
在
b
方向上的投影为
a
·
b
－6
＝＝－3 .选D.
|
b
|2
3. 解析：选B 法一：设
b
＝(
x
，
y
)，其中
y
≠0，
则
a
·
b
＝3
x
＋
y
＝3. < br>?
由
?
3
x
＋
y
＝
?
y< br>≠0，
x
2
＋
y
2
＝1，
3
， < br>1
x
＝，
?
?
2
3
??
1
解得
?
即
b
＝
?
，
?
.故选B.
?
22
?
3
?
?
y
＝
2
，法二：利用排除法．D中，
y
＝0，
?
133
?
∴D 不符合题意；C中，向量
?
，
?
不是单位向量，
?
44< br>?
∴C不符合题意；A中，向量
?
∴A不符合题意．故选B.
4. 解析：选D 易得
a
·
b
＝2×(－1)＋4×2＝6，
所以
c
＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，
所以|
c
|＝8＋（－8）＝82.
5. 解析：
a
∥
b
，则2×(－2)－1·
y
＝0，
解得
y
＝－4，从而3
a
＋
b
＝(1，2)，|3
a
＋
b
|＝5.
答案：5
6. 解析：建立如图所示的平面直角 坐标系，设
DC
＝
h
，则
A
(2，0)，
B
(1，
h
)．设
P
(0，
22
?
31
?
，
?
使得
a
·
b
＝2，
?
22
?
y
)(0≤
y
≤
h
)，则＝(2，－
y
)，＝(1，
h
－
y
)，

∴|
故|
答案：5
7. 解析：选C 由题意知|
a
|＝ 1＋0＝1，|
b
|＝
22
|＝25＋（3
h
－4
y
）≥25＝5.
|的最小值为5.
2
?
1
?
＋
?
1
?
＝
2
，
a
·
b
＝1×
1
＋
?
2
??
2
?
22
? ???
22
1111
2
0×＝，(
a
－
b
)·
b
＝
a
·
b
－|
b
|＝－＝0，故< br>a
－
b
与
b
垂直．
2222
3

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8. 解析：选D 设
c
＝(
m
，
n
)，
则
a
＋< br>c
＝(1＋
m
，2＋
n
)，
a
＋
b
＝(3，－1)，
由(
c
＋
a
)∥
b
，
得－3(1＋
m
)＝2(2＋
n
)，
又
c
⊥(
a
＋
b
)，得3
m
－
n
＝0，
77
故
m
＝－，
n
＝－.
93
9. 解：设点
B
坐标为(
x
，
y
)，
则
∵
＝(
x
，
y
)，
⊥，
＝(
x
－5，
y
－2)．
∴
x
(
x
－5)＋
y
(
y
－2)＝0，
即
x
＋
y
－5
x
－2
y
＝0.
又∵|
22
22
|＝|
2
|，
2
∴x
＋
y
＝(
x
－5)＋(
y
－2)，
即10
x
＋4
y
＝29.
?
?
x
＋
y
－5
x
－2
y
＝0，
由
?

?
?
10
x
＋4
y
＝29，
22
73
x
＝，
x
＝，
??
?
2
?
2
解得
?
或
?

37
?
?
y
＝－
2
，
?
?
y
＝
2
.
3??
37
??
7
∴点
B
的坐标为
?
， －
?
或
?
，
?
.
2
??
22< br>??
2
7
??
73
??
3
＝
?
－，－
?
或
?
－，
?
.
2
??
22
??
2
10. 解：(1)设
c
＝(
x
，
y
)，
∵|
c
|＝25，∴
x
＋
y
＝25，
∴
x
＋
y
＝20.
由
c
∥
a
和|
c
|＝25，
?
1·
y
－2·
x
＝0，
?
可得
?
2

2
?
x
＋
y
＝20，
?
?
?
x
＝2，
?
?
x
＝－2，
?
解得或
?

?
y
＝4，
?
?
y
＝－4.
?
22
22
故
c
＝(2，4)或
c
＝(－2，－ 4)．
(2)∵(
a
＋2
b
)⊥(2
a
－
b
)，
∴(
a
＋2
b
)·(2
a
－< br>b
)＝0，
4

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即2
a
＋3
a
·
b
－2
b
＝0，
5
∴2×5＋3
a
·
b
－2×＝0，
4
5
整理得
a
·
b
＝－，
2
∴cos θ＝
22
a
·
b
＝－1.
|
a
||
b
|
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
[能力提升综合练]
1.

解得
m
＝4.
2. 解析：选C 设
P
(
x
，0)，则
2
＝(< br>x
－2，－2)，
2
＝(
x
－4，－1)，∴
＝(< br>x
－2)(
x
－4)＋2＝
x
－6
x
＋10 ＝(
x
－3)＋1，故当
x
＝3时，
AP
―→·
B P
―→最小，此时点
P
的坐标为(3，0)．
3. 解析：选C 设
b
＝(
x
，
y
)，
则2
a
＋
b
＝(8＋
x
，6＋
y
)＝(3，18)，
?
?
8＋
x
＝3，
所以
?

?< br>?
6＋
y
＝18，
?
?
x
＝－5，
解得
?

?
y
＝12，
?
故
b
＝(－5，12)，
a
·
b
16
所以cos〈
a
，
b
〉＝＝ .
|
a
||
b
|65
4. 解析：由题意，得
a
·
b
＝
x
＋8＝10，
∴
x
＝2，∴
a
－
b
＝(－1，－2)，
∴|
a
－
b
|＝5.
答案：5
5. 解析：依题意设
B
(cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，

5

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即cos θ＋sin θ＝0，
3π
解得θ＝，
4
所以＝
?
－
?
?22
?
，
?
.
22
?
答案：
?－
?
?
22
?
，
?

22
?
6. 解析：因为
a
与
b
的夹角为锐角，
a
·
b
所以0<<1，
|
a
||
b
|
即0<<1，
5λ×9λ＋422
3λ＋4λ
2
411
解得λ<－或0<λ<或λ>.
33 3
4
??
1
??
1
??
答案：
?
－∞，－
?
∪
?
0，
?
∪
?
，＋∞
?

3
??
3
??
3
??
7. 解：假设存在点
M
，

∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ－48λ＋11＝0，
111
解得λ＝或λ＝.
315

2
?
2211
?
∴存在
M
(2，1)或
M
?
，
?
满足题意．
?
55
?

6