高中数学人教A版必修4课时达标检测(二十七)两角和与差的正切公式 Word版含解析

课时达标检测（二十七）两角和与差的正切公式
一、选择题
1．已知tan (α＋β)＝
2
5
，tan
?
?
β－
π
4
?
?
＝
1
4
，那么tan
?
?
α ＋
π
4
?
?
等于( )
A.
13
18
B.
13
22

C.
3
22
D.
3
18

答案：C
2．已知
1－tan α
π
1＋tan α
＝2，则tan
?
?
α＋
4
?
?
的值是( )
A．2 B．－2
C.
1
2
D．－
1
2

答案：C
3．在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
答案：A
4.
tan 10°＋tan 50°＋tan 120°
tan 10°tan 50°
的值等于( )
A．－1 B．1
C.3 D．－3
答案：D
5．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
答案：C
二、填空题
6．计算：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝________.
答案：1
7．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________.
答案：kπ－
π
4
，k∈Z
8．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________.
答案：－2－3

三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系xOy中 ，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别
与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分 别为
225
，.
105

(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝
∵α，β为锐角，
∴sin α＝1－cos
2
α＝
sin β＝1－cos
2
β＝
72
，
10
225
，cos β＝.
105
5
.
5
1
因此tan α＝7，tan β＝.
2
(1)tan(α＋ β)＝
1
7＋
2
1
1－7×
2
tan α＋tan β

1－tan α·tan β
＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
tan?α＋β?＋tan β
＝＝－1，
1
1－tan?α＋β?tan β
1－?－3?×
2
1
－3＋
2
＝
又∵α，β为锐角，
3π
∴0<α＋2β<，
2
3π
∴α＋2β＝.
4
1
π
10．(四川高考)已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.
36
5π
(1)求f()的值；
4
ππ
106
( 2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
22135

1
π
解：(1)∵f(x)＝2sin(x－)，
36
5π5πππ
∴f()＝2sin(－)＝2sin＝2.
41264

ππ
106
(2)∵α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，
22135
∴2sin α＝
10
π
6
，2sin(β＋)＝，
1325
53
即sin α＝，cos β＝，
135
124
∴cos α＝，sin β＝，
135
1235416
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
13513565

11．设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
解：(1)由a与b－2c垂直，得
a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，
∴4cos αsin β＋4sin αcos β－2(4cos αcos β－4sin α·sin β)＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)
＝0，
∴tan(α＋β)＝2.
(2)证明：由tan αtan β＝16，
得sin αsin β＝16cos αcos β，
即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，
∴a∥b.