浙江省高中数学教师资格证面试真题-高中数学必修二活页作业
南方有鸟焉,名曰蒙鸠,以羽为巢,而编之以发,系之苇苕,风至苕折,卵破子死。巢非不完也,
所系者然也。西方有木焉,名曰射干,茎长四寸,生于高山之上,而临百仞之渊,木茎非能长也,所立者然也。蓬
生麻中,不扶而直;白沙在涅,与之俱黑。
【创新设计】(浙江专用)2016-2017高中数学
章末检测卷(三)新
人教版必修4
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题
cos 2α2
1.若=-,则cos α+sin α的值为( )
π
?
2
?
sin
?
α-
?
4??
A.-
7
2
1
B.-
2
22
1
C.
2
D.
7
2
cos 2αcosα-sinα2
解析 ==-2(cos α+sin
α)=-,
π
?
2
2
?
sin
?
α-<
br>?
4
?
2
(sin α-cos
α)
?
1
∴cos α+sin α=,选C.
2
答案 C π
?
π
???
π
???
π
?
2.函数
y
=sin
?
2
x
+
?
·cos
?
x
-
?
+cos
?
2
x
+
?<
br>·sin
?
-
x
?
的图象的一条对称轴方程是
3?
6
?
3
?????
6
?
( )
π
A.
x
=
4
C.
x
=π
π
B.
x
=
2
3π
D.
x
=
2
π
??
π
?????
π
?
解析
y
=sin
??
2
x
+
?
-
?
x
-
??
=sin
?
+
x
?
3
??
6
?????
2
?
=cos
x
,当
x
=π时,
y
=-1.
答案 C
π
3.已知函数
f
(
x
)=
a
sin
x
-
b
cos
x
(
a
,
b为常数,
a
≠0,
x
∈R)的图象关于直线
x
=对称,
4
则函数
y
=
f
?
?
3π
-x
?
是( )
?
?
4
?
?
3π
,0
?
对称
?
?
2
?
?
3π
,0
?
对称
?
?
2
?
A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
B
.偶函数且它的图象关于点
?
C.奇函数且它的图象关于点
?
D.奇函数且它
的图象关于点(π,0)对称
南方有鸟焉,名曰蒙鸠,以羽为巢,而编之以发,系之苇
苕,风至苕折,卵破子死。巢非不完也,所系者然也。西方有木焉,名曰射干,茎长四寸,生于高山之上,而临百
仞之渊,木茎非能长也,所立者然也。蓬生麻中,不扶而直;白沙在涅,与之俱黑。
??
22<
br>解析
f
(
x
)=
a
sin
x
-
b
cos
x
=
a
+
bsin(
x
-φ)
?
其中tanφ=
?
,
?
πππ
-φ=+2
k
π,φ=--2
k
π,
k∈Z,
424
b
a
?
????
f
(
x
)=
a
2
+
b
2
sin
?
x<
br>+
?
,
f
?
-
x
?
=
a<
br>2
+
b
2
·sin(π-
x
)=
a
2
+
b
2
sin
x
,
π3π
?
4
??
4
?
选D.
答案 D
4.
y
=sin
?
?
?
2
x
-<
br>π
3
?
?
?
-sin
2
x
的一个单调递增区间是( )
A.
?
?
ππ
?
-,
?
?
?
π
63
?
B.
?
?
,
7π
?
1212
?
?
C.
?
?
5π
?
12
,
13π
1
2
?
?
?
D.
?
?
π
?
3
,
5π
6
?
?
?
解析
y=sin
?
?
?
2
x
-
π
3
?
?
?
-sin 2
x
=sin
2
x
cos
π
3
-cos 2
x
sin
π
3
-sin 2
x
=-
13
π
?
2
sin
2
x
-
2
cos 2
x
=-sin
?
?<
br>?
2
x
+
3
?
?
.
y
=
-sin
?
?
2
x
+
π
?
3
?<
br>?
?
的递增区间是
y
=sin
?
?
2
x
+
π
?
3
?
?
?
的递减区间, 由
π
2
+2
k
π≤2
x
+
π
3
≤
3π
2
+2
k
π,
k
∈Z,
∴
π
12
+
k
π≤
x
≤
7π
1
2
+
k
π,
k
∈Z,
令
k
=0,得x
∈
?
?
π7π
?
12
,
12
?
?
?
.故选B.
答案 B
5.已知θ是锐角,那么下列各值中,sin θ+cos θ能取得的值是(
A.
4
B.
3
34
C.
5
3
解析 ∵0<θ<
ππ
?
π3π
?
2
,∴θ+
4
∈
?
?
4
,
4
?
?
,
又sin θ+cos θ=2sin
?
?
π
?
θ+
4
?
?
?
,
所以
2
π
?
2
?
?
θ+
4<
br>?
?
≤1,所以1
)
1
2
D.
南方有鸟焉,名曰蒙鸠,
以羽为巢,而编之以发,系之苇苕,风至苕折,卵破子死。巢非不完也,所系者然也。西方有木焉,名曰射干,茎
长四寸,生于高山之上,而临百仞之渊,木茎非能长也,所立者然也。蓬生麻中,不扶而直;白沙在涅,与之俱黑
。
6.在△
ABC
中,已知tan
A.正三角形
C.直角三角形
A
+
B
2
=sin
C
,则△
ABC
的形状为( )
B.等腰三角形
D.等腰直角三角形
解析 在△
ABC
中,ta
n
∴2cos
2
A
+
B
2
=sin
C<
br>=sin(
A
+
B
)=2sin
A
+
B2
cos
A
+
B
2
,
A
+
B
π
=1,∴cos(
A
+
B
)=0,从而
A+
B
=,△
ABC
为直角三角形.
22
答案 C
7.函数
f
(
x
)=3sin 2
x
-cos
2
x
的图象可以由函数
g
(
x
)=4sin
x
cos
x
的图象________得到
( )
π
A.向右移动个单位
12
π
C.向右移动个单位
6
π
B.向左移动个单位
12
π
D.向左移动个单位
6
π
??
解析 ∵
g
(
x
)=4sin
x
cos
x
=2sin
2
x
,
f
(
x
)=3sin
2
x
-cos
2
x
=2sin
?
2
x
-
?
6
??
π
?
π
?
=2sin 2
?
x
-
?
,∴
f
(
x
)可以由
g
(
x
)向右移动个单位得到.
12
?
12
?
答案
A
8.已知α∈R,sin α+2cos α=
4
A.
3
3
B.
4
10
,则tan 2α等于( )
2
3
C.-
4
4
D.-
3
53
22
解析 (sin α+2cos
α)=,展开得3cosα+4sin α·cos
α=,再由二倍角公式得
22
3
cos 2α+2sin 2α=0,
2
3
2
sin 2α3
故tan 2α==-=-.故选C.
cos 2α24
答案 C
二、填空题
(sin
x
-cos
x
)sin 2
x
9.已知函数
f<
br>(
x
)=.则函数定义域为________,周期为________.
sin
x
解析 由sin
x
≠0得
x
≠
k
π(
k
∈Z),故
f
(
x
)的定义域为{x
∈R|
x
≠
k
π,
k
∈Z}.因为
f
(
x
)
(sin
x
-cos
x
)sin 2
x
==2cos
x
(sin
x
-cos
x
)=sin 2
x
-cos
2
x
-1
sin
x
南方有鸟焉,名曰蒙鸠,以羽
为巢,而编之以发,系之苇苕,风至苕折,卵破子死。巢非不完也,所系者然也。西方有木焉,名曰射干,茎长四
寸,生于高山之上,而临百仞之渊,木茎非能长也,所立者然也。蓬生麻中,不扶而直;白沙在涅,与之俱黑。<
br>π
??
=2sin
?
2
x
-
?
-1
,所以
f
(
x
)的最小正周期为π.
4
??
答案
{
x
∈R|
x
≠
k
π,
k
∈Z} π
10.
3tan 15°+1
3-tan 15°
的值是________.
解析 ∵
tan 60°-tan 15°
==tan 45°=1,
3tan 15°+1
1+tan 60°tan 15°
=1.
3-tan 15°
∴
3tan 15°+1
3-tan
15°
答案 1
1π3π
11.已知sin θ+cos θ=且≤θ≤,则cos
2θ=____________.
524
124π3π3π
解析 由sin
θ+cos θ=可得sin 2θ=-,又≤θ≤得π≤2θ≤,∴cos
525242
2
θ=-
7
?
24
?
1-
?
-
?
=
-.
25
?
25
?
2
7
答案 -
25
1+cos 2
x
?
π
?
2
12.设
f
(
x
)=+sin
x
+
a
sin?
x
+
?
的最大值为2+3,则常数
a
=______
__.
4
??
?
π
?
2sin
?
-x
?
?
2
?
2
1+2cos
x
-1<
br>?
π
?
2
解析
f
(
x
)=+sin
x
+
a
sin
?
x
+
?
4
?
2cos
x
?
?
π
?
2
=cos
x
+sin
x
+
a
sin
?
x
+
?
4
??
?
π
?
2
?
π
??
π<
br>?
2
=2sin
?
x
+
?
+
asin
?
x
+
?
=(2+
a
)sin
?
x
+
?
.
4
?
4
?
4
????
依题意有2+
a
=2+3,∴
a
=±3.
答案
±3
π1
13.已知-<
x
<0,sin
x
+cos
x
=.则
25
(1)sin
x
-cos
x
的值为________;
sin
2
x
+2sin
x
(2)的值为________.
1-tan
x
124
解析 sin
x
+cos
x
=
?2sin
x
cos
x
=-
.
525
49
2
(1)(sin
x
-cos
x
)=1-2sin
x
cos
x
=.
25<
br>2
2
南方有鸟焉,名曰蒙鸠,以羽为巢,而编之以发,系之苇苕,风至苕
折,卵破子死。巢非不完也,所系者然也。西方有木焉,名曰射干,茎长四寸,生于高山之上,而临百仞之渊,木
茎非能长也,所立者然也。蓬生麻中,不扶而直;白沙在涅,与之俱黑。
π7
又-<
x
<0,∴sin
x
-cos
x
<0,∴sin
x
-cos
x
=-.
25
3424
(2)由(1),得sin
x
=-,cos
x
=,sin 2
x
=-,
5525
3sin
2
x
+2sin
x
24
∴tan
x
=-,∴=-.
41-tan
x
175
724
答案 (1)- (2)-
5175
π<
br>?
4
π
???
14.设α为锐角,若已知cos
?
α
+
?
=,则sin
?
2α+
?
的值为________.
6
?
5
12
???
πππππ2π
解析
因为α为锐角,即0<α<,所以<α+<+=.
266263
π
?
4π
?
3
??
α+α+
因为cos
?
=,所以s
in
?
=.
6
?
6
?
??
5
?
?
5
π
?
π
?
π
?
3424
??
?
所以sin
?
2α+
?
=2sin
?
α+
?
·cos
?
α+
?
=2××=
3
?
6
?
6
?
5525
???
π
?
π
?
7
?
2
?
.所以cos
?
2α+
?
=2cos
?
α+
?
-1=.
3
?
6
?
25
??
π
?
ππ
???
所以sin
?
2α+
?
=sin
?
2α+-
?
12
?
34
???
π
?
π
π
?
π
??
=sin
?
2α+
?
cos-cos
?<
br>2α+
?
sin
3
?
3
?
44<
br>??
2427217
=·-·=2.
25225250
答案
17
2
50
2
2
15.设
a
∈R,f
(
x
)=cos
x
(
a
sin
x
-cos
x
)+cos
?
间
?
?π
-
x
?
满足
f
?
-
π
?<
br>=
f
(0).函数
f
(
x
)在区
??
3
?
?
2
???
?
π
,
11π
?
上的最大值为________;最小值为________.
24
?
?
4
?
a
3
a
?
π
?
解析
f
(
x
)=
a
sin
x
cos
x
-cos
2
x
+sin
2
x
=sin
2
x
-cos 2
x
.由
f
?
-
?
=
f
(0),得-·
222
?
3
?
1
+
=-1,解得
a
=23.
2
π
??
因此
f
(
x
)=3sin
2
x
-cos
2
x
=2sin
?
2
x
-
?
.
6
??
π
?
ππ
??
ππ
?
当
x
∈
?
,
?
时,2
x
-∈
?
,?
,
f
(
x
)为增函数,
6
?
32
??
43
?
南方有鸟焉,名曰蒙鸠,以羽为巢,而编之以发,
系之苇苕,风至苕折,卵破子死。巢非不完也,所系者然也。西方有木焉,名曰射干,茎长四寸,生于高山之上,
而临百仞之渊,木茎非能长也,所立者然也。蓬生麻中,不扶而直;白沙在涅,与之俱黑。
?
π
11π
?
时,2
x
-
π
∈
?
π
,
3π
?
,
f
(
x
)为减函数. 当
x∈
?
,
???
24
?
4
?
6
?
2
?
3
?
π11π
?
上的最大值为
f<
br>?
π
?
=2. 所以
f
(
x
)在区间
?
,
?
3
?
24
?
?
4
???
?
π
??
11π
?
=2, 又因为
f
??
=3,
f
??
?
4
??
24
?
?
π11π
?
上的最小值为
f
?
11π
?
=
2. 所以
f
(
x
)在区间
?
,
??
24
?
24
??
4
??
答案 2
三、解答题
16.函数
f
(
x
)=sin(ω
x
+φ)(ω>0,0
≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻最高点、最低点
间的距离为4+π.
(1)求函数
f
(
x
)的表达式;
sin 2
x
-2sin
x
?
π
?
3
(2)若
f
?
+
x
?
=,求的值.
1-tan
x
?
4
?
5
解 (1)因为
f
(
x
)为偶函数,所以可得sin(-ω
x
+φ)=sin(ω
x
+φ
),
π
即2sin ω
x
cos φ=0恒成立,所以有cos φ=0.
又0≤φ≤π,所以φ=.又相邻最高
2
点、最低点间的距离为4+π,图象上相邻对称轴之间
的距离为π,所以
T
=2π,所以ω
=1,所以
f
(
x)=cos
x
.
2
2
2
2
?
π
?
3
?
π
?
3
(2)由
f
?+
x
?
=知cos
?
x
+
?
=,
4
?
5
?
4
?
5
?
sin
2
x
-2sin
x
cos
x
·2sin
x
(cos
x
-sin
x
)
∴==sin
2
x
1-tan
x
cos
x
-sin x
π
?
π
?
97
?
2
?
=-
cos
?
2
x
+
?
=-2cos
?
x+
?
+1=-2×+1=.
2
?
4
?
252
5
??
π
??
2
17.已知函数
f
(
x<
br>)=-2·sin
?
2
x
+
?
+6sin
x
cos
x
-2cos
x
+1,且
x
∈R.
4
??
(1)求
f
(
x
)的最小正周期;
2
?
π
?
(2)求
f
(
x
)在区间?
0,
?
上的最大值和最小值.
2
??
ππ
解
(1)因为
f
(
x
)=-2sin
2
x
·cos-2cos 2
x
·sin+3sin
2
x
-cos 2
x
=2sin
2
x
44
π
??
-2cos 2
x
=22sin<
br>?
2
x
-
?
,所以函数
f
(
x)的最小正周期为π.
4
??
πππ3π
(2)由0≤
x≤可得-≤2
x
-≤,
2444
南方有鸟焉,名曰蒙鸠
,以羽为巢,而编之以发,系之苇苕,风至苕折,卵破子死。巢非不完也,所系者然也。西方有木焉,名曰射干,
茎长四寸,生于高山之上,而临百仞之渊,木茎非能长也,所立者然也。蓬生麻中,不扶而直;白沙在涅,与之俱
黑。
故-
π
?
π
?
2
??
≤sin
?
2
x
-
?
≤1,-2≤22sin
?
2
x
-
?
≤22,
4
?
4
?
2
??
所以
f
(
x
)的最小值为-2,最大值为22.
44
18.已知
A
,
B
,
C
为△
ABC
的三个内角,且
A
<
B
<
C
,sin
B
=,cos(2
A
+
C
)=-,求cos
2
A
55
的值.
ππ
解 ∵
A
<
B<
C
,
A
+
B
+
C
=π,∴0<B
<,
A
+
C
>,0<2
A
+
C<π.
22
43
∵sin
B
=,∴cos
B
=.
55
43
∴sin(
A
+
C)=sin(π-
B
)=,cos(
A
+
C
)=-.
55
43
∵cos(2
A
+
C
)=-,∴sin(
2
A
+
C
)=.
55
∴sin
A
=s
in[(2
A
+
C
)-(
A
+
C
)] <
br>3
?
3
??
4
?
47
=×
?
-
?
-
?
-
?
×=.
5
?
5
??
5
?
525
527
2
∴cos
2
A
=1-2sin
A
=.
625
π
??
19.已知函数
f
(
x
)=4cosω
x
·sin
?
ω
x
+
?
(ω>0)的最小正周期为π.
4
??
(1)求ω的值;
?
π
?
(2)讨论f
(
x
)在区间
?
0,
?
上的单调性.
2
??
解 (1)
f
(
x
)=22cos
ω
x
(sin ω
x
+cos ω
x
)
π
??
=2(sin 2ω
x
+cos 2ω
x
+
1)=2sin
?
2ω
x
+
?
+2
4
?
?
π
?
2π
?
因=π?ω=1.所以
f
(
x
)=2sin
?
2
x
+
?
+2,ω=1. 4
?
2ω
?
π
??
π5
??
π
??
(2)当
x
∈
?
0,
?
时,
?2
x
+
?
∈
?
,π
?
,
2
?
4
??
44
???
πππ
令2
x
+=解得
x
=;
428
?
π
??
ππ
?
所以
y
=
f
(
x
)在
?
0,<
br>?
上单调递增;在
?
,
?
上单调递减.
8
???
82
?
20.已知函数
f
(
x
)=2sin
cos -23sin+3.
444
(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期及最值; xx
2
x
南方有鸟焉,名曰蒙鸠,以羽为巢,而编之以发,系之苇
苕,风至苕折,卵破子死。巢非不完也,所系者然也。西方有木焉,名曰射干,茎长四寸,生于高山之上,而临百
仞之渊,木茎非能长也,所立者然也。蓬生麻中,不扶而直;白沙在涅,与之俱黑。
?
π
?
(2)令
g
(
x
)=
f
?
x
+
?
,判断函数
g
(
x
)的奇偶性,并说明理由.
3
??
xxx
2
x
???
x
π
?
解 (1)∵
f
(
x
)=sin
+3
?
1-2sin
?
=sin +3cos
=2sin
?
+
?
.
4
?
222
??<
br>23
?
2π
∴
f
(
x
)的最小正周期
T
==4π.
1
2
?
x
π
?
当sin
?
+
?
=-1时,
f
(
x
)取得最小值-
2;
?
23
?
?
x
π
?
当sin
?
+
?
=1时,
f
(
x
)取得最大值2. ?
23
?
?
x
π
??
π
?
(
2)由(1)知
f
(
x
)=2sin
?
+
?
,又
g
(
x
)=
f
?
x
+
?<
br>,
3
??
23
??
x
?
1
?π
?
π
?
?
x
π
?
∴
g(
x
)=2sin
?
?
x
+
?
+?
=2sin
?
+
?
=2cos .
3
?<
br>3
?
2
?
22
?
?
2
?
∵
g
(-
x
)=2cos
?
-
?
=2cos
=
g
(
x
),∴函数
g
(
x
)是偶函数.
2
?
2
?
?
x
?
x