全国高中数学观摩课-高中数学题做过就忘
学 习 资 料 专 题
1.6 三角函数模型的简单应用
自主广场
我夯基 我达标
1.如图1-6-8所示，有一广告气球，直径为6
m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心
的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为2β=2°
，若θ很小时，可取sinθ≈θ，试估算
该气球的高BC的值约为（ ）
图1-6-8
A.70 m B.86 m
C.102 m D.118 m
思路解析：1°=
CD
?
,在Rt△ACD中，AC=.
sin
?
180
在Rt△ABC中，AC=
BC
，
sin?BAC
∴
CD
BC
=.
sin
?
sin?BAC
∴BC=
CD?sin?BAC3sin30?
1
180<
br>?
=3××≈86 m.
?
sin
?
?
2
sin
180
答案：B
2.如图1-6-9是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是_______________.
图1-6-9
思路解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)，
则A=2，由图象可知T=2×(0.5-0.1)=
∴ω=
4
,
5
2
?
5
?
=.
2
T
唐玲
5
?
?
×0.1+φ=.
2
2
?
∴φ=.
4
∴
∴函数的解析式为y=2s
in(
答案：y=2sin(
5
?
?
x+).
2
4
5
?
?
x+)
2
4
3.甲
、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，
则甲、乙两
楼的高度分别为_____________.
思路解析：如图，甲楼的高度AC=AB=60米，
在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×
3
=
20
3
.
3
∴乙楼的高度为BD=BE-DE=60-
203
米.
答案：60米,60-
203
米
4.一树干被台风拦腰折断，两树干折成6
0°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原
来的高度为_____________.
思路解析：如图，BC=20tan30°=
203
，
3
AB=
AC403
?
，
sin60?3
所以树干原来的高度为AB+BC=
203
（米）.
答案：
203
米
5.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至9
00，其总量在此两值之间依正弦曲线
变化,且最小正周期为12.
（1）画出种群数量关于时间变化的图象；
（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.
思路分析：根据给出的数据要计算出要求函数的周期、振幅等数据.
唐玲
解：（1）种群数量关于时间变化的图象如图所示：
（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+k.
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，
2002
?
?
=100，即ω==,k=800.
2126
?
?
2
?
又7月1日种群数量达到最高，所以×7+φ=.而φ=-.
623
?
所以种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin
(t-4)+800.
6
所以振幅A=
6.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下
，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设
计如图1-6-10：图(1)的过水断面为等腰△AB
C，AB=AC，过水湿周l
1
=AB+AC；图(2)的过水
断面为等腰梯形ABC
D，AB=CD,AD∥BC,∠BAD=60°，过水湿周l
2
=AB+BC+CD.若△A
BC与等腰
梯形ABCD的面积都为S.
图1-6-10
22
（1）分别求l
1
与l
2
的最小值（a+b≥2ab)；
（2）为使流量最大，给出最佳设计方案.
思路分析：解答此题首先要分别求出两个变量的函
数表达式，然后可利用三角函数及不等式
的性质求最值.
解：在图（1）中，设∠ABC=θ
,AB=AC=a，则S=
1
2
asinθ，由于S,a,sinθ皆为正值，可2
解得a=
2S
?2S
，当且仅当sinθ=1时，即θ=90°时，取
等号.所以l
1
=2a≥
22S
.
sin
?
在图(2)中，设AB=CD=m,BC=n,由∠BAD=60°，可求得
AD=m+n,S=
3
2Sm
1
?
. (n+m+n)·
m,解得n=
2
2
3m
2
l
2
=2m+n=2m+
2S
m
2S
3m
?2
=+
22
3m3m<
br>-
=
3S?2
4
3S
.
当且仅当
2S
3m
4S
,即m=时，取等号.
2
3m
33
通过比较，可得l
1
min＞l
2
min,所以最
佳方案应该是图(2)所示的方案.
唐玲
我综合 我发展
7.游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O距地面40.5 m，半径40
m，若从最低点处登上摩
天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5
min后到达最高点，在你登上摩天轮时开始记
时.你能完成下面的问题吗？
（1）当你登上摩天轮2 min后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，请求出你的朋友
与地面的距离y关于时间t的函数关系式；
(2)你和你的朋友与地面的距离差何时最大？最大距离差是多少？
(sinα-sinβ=2
cos
?
?
?
2
sin
?
?
?
2
)
(3)如果规定每位游客乘坐摩天轮观景的时间是每次20
min，从你的朋友登上摩天轮的时间
算起，什么时候你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离？ <
br>解：根据已知，可求得你与地面距离y与时间t的函数关系式为y=40sin(
?
?<
br>t
?
)+40.5.
2
5
(1)你的朋友比你晚2
min登上摩天轮，即沿时间轴向右平移2个单位，得出你的朋友与地
面距离y关于t的函数关系式为：
?
??
9
?
(t-2)
?
］+40.5,即y=4
0sin(t-)+40.5.
2
55
10
?
?
?
9
?
(2)距离差为|y
1
-y
2
|=40|sin(t
?
)-sin(t-)|
2
55
10
?
7
?
??
7
?
?
7
?
=80cos(t-)sin
.当cos(t-)=1,即t-=0,
5105510510
y=40sin［
t=3.5
min时，h达到最大，最大值距离差约为47 m.
(3)令h＜0，即sin(
????
t-)＜0，故(2k+1)π＜t-＜(2k+2)π(k∈Z)，因为两位游客
5
555
乘坐摩天轮的时间是每次20
min，因此从你登上摩天轮开始计时到两人都下摩天轮为止，
需经过22
min，即t的取值范围是0＜t＜22，故取k=0或1，6＜t＜11或16＜t＜22.
从你朋友登上摩天轮的时间算起，第4 min到第9 min，以及第14 min到第20
min为止，
你的朋友与地面的距离大于你与地面的距离.
8.已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ).
图1-6-11
（1）图1-6-11是I=Asin(ωt+φ)(ω＞0,|φ|＜
求I=Asin(ωt
+φ)的解析式；
（2）如果t在任意一段
?
)在一个周期内的图象，根据图中数据
2
1
秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值，那么ω
1
50
的最小正整数值是多少？
思路分析：三角函数是重要的初等函数,它是描述周期现象的重
要数学模型,在数学和其他领
域中有着重要的作用，在物理课程中的力学、光学、电学，特别是对震动过
程的研究，也都
唐玲
用到三角函数的知识.利用三角函数的图象和性质，如正
、余弦的有界性、单调性、周期性，
可以解决相应的综合应用问题.
解：（1）因为周期T=2（
I=300sin(150πt+φ).
112
2
?
+)=,ω==150π，又A=300，所以
180900150
T
1
???
,0)代入上式得sin(φ-)=0,所以φ-=0,φ=.故所求的解析
式为
900
666
?
I=300sin(150πt+).
61
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大，必满足区间
长
150
11
2
?
度至少包含一个周期，即≥，ω≥300π＞94
2,所以ω的最小正整数值是943.
150150
?
将(-
9.烟筒上的正弦函数
烟筒弯头是由两个圆
柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯
头（两个圆柱呈垂直状），如图1
-6-12所示，若烟筒的直径为12 cm，最短母线为6
cm，应
将铁皮如何剪裁，才能既省工又省料呢？
图1-6-12
思路分析：如何构造三角函数是本题的关键.
解：如图（1）所示，两个圆柱形烟筒的截面与
水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的
交点，过O作水平面，它与截面的交线为CD，它与圆柱的
交线是以O为圆心的圆，CD是此
圆的直径，又设B是这个圆上任意一点，过B作BE垂直CD于E，作
圆柱的母线AB，交截平
面与圆柱的交线于A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE.
x
.又设AB=y，由Rt△BOE
6
BE
x
中，sinα=，故BE
=6sinα，从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin.
BO
6
设BD
弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α，根据弧长公式，知α=
唐玲
所以，铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin
x
(0≤x≤12π)，其图象如图
（2），因为
6
将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工
的裁剪方式
如图（3）.
10.
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）.
日期
1月1日
2月28日
3月21日
4月27日
5月6日
6月21日
8月13日
9月20日
10月25日
12月21日
日期位置序号
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼时间y（小时）
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标
系中画出
这些数据的散点图；
（2）试选用一个形如y=Asin（ωx＋φ）＋t的函数来
近似描述一年中白昼时间y与日期位
置序号x之间的函数关系.（注：①求出所选用的函数关系式；②一
年按365天计算）
思路分析：此题是一个实际应用性的问题，其数学模型是已知图象，求解析式.
首先观察图
形确定出函数的最大值和最小值，以及函数的周期，进而解出待定系数A、B、ω.再将一个
关键点的坐标代入解析式求出φ.注意因为所求的解析式是来源于实际问题的，所以函数的
定义
域受实际问题的约束，这一点不可疏漏.
解：（1）散点图如下图所示：
（2）若y=Asin（ωx＋φ）＋B（A＞０），
又y
max
=19.4,y
min
=5.4,
∴
?
?
A?B?19.4,
?
?A?B?19.4.
∴
?
?
A?7,
?
B?12.4.
2
?
又T=
?
=365,∴ω=
2
?
.
365
唐玲
∴y=7sin（
2
?
x+φ）＋12.4.
365
2
?
×172＋φ）=1,
365
将点（172,
19.4）代入上式得sin（
2
?
?
×172＋φ=,
365
2
323
?
φ=
?
.
730
∴
∴所求函数关系为y=7sin（
2
?
323
?
+
）＋12.4(1≤x≤365,x∈N).
?
365730
唐玲