高中数学几何画板论文实例-初高中数学有何区别
必考问题4 三角函数与三角变换
【真题体验】
?
π<
br>?
1
?
π
?
1．(2012·江苏改编)已知cos
?
x
＋
?
＝，则sin
?
－
x
?
＝________.
3
?
3
??
6
?
?
π
??
π
?
解析 sin
?
－
x
?＝cos
?
x
＋
?
3
??
6
??
1
＝.
3
1
答案
3
π
?
4
π
???
2．(2012·江苏)设α为
锐角，若cos
?
α＋
?
＝，则sin
?
2α＋
?
的值为________．
6
?
5
12
???
π
?
π
?
π
?
247
??
2?
解析 由条件可得cos
?
2α＋
?
＝2ccs
?<
br>α＋
?
－1＝，sin
?
2α＋
?
＝，
3
?
6
?
3
?
2525
???
π
?
π
?
π
?
??
?
所以sin
?
2
α＋
?
＝sin
?
?
2α＋
?
－
?
3
?
4
?
12
??
?
?
＝<
br>2
?
247
?
172
?
－
?
＝50
.
2
?
2525
?
172
50
答案
3．(2011·江苏)函数
f
(
x
)
＝
A
sin(ω
x
＋φ)，(
A
，ω，φ是常数，
A
＞0，ω＞0)的部
分图象如图所示，则
f
(0)＝________.
T
7πππ2π
解析 因为由图象可知振幅
A
＝2，＝－＝，所以周
期
T
＝π＝，解得ω
41234ω
＝2，将
?
π
?
π6
?
7π
，－2
?
代入，
?
解得一个符
合的φ＝，从而
y
＝2sin
?
2
x
＋
?
，∴
f
(0)＝.
?
3
?
32
?
12
??
6
2
答案
4．(2012·南通、泰州、扬州调研)已知角φ的终边经过点
P
(1，－2)，函数
f
(
x
)＝sin(ω
x
＋φ
)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
π
?
π
?
，则<
br>f
??
＝________.
3
?
12
?
π2π2π
解析 由图象的相邻两条对称轴之间
的距离等于，得
T
＝＝
?ω＝3，又角φ
33ω
1
－21
的终边经过点
P
(1，－2)，所以sin
φ＝，cos φ＝，所以
f
(
x
)＝sin(3
x
＋φ)
55
2
?
π
?
π
2
?
1
10
???
－
f
??
＝sin
?
＋φ
?<
br>＝
?
＝－.
?
10
?
12
??
4
?
2
?
55
?
答案 －
10
1
0
?
π
?
5．(2010·江苏)定义在区间
?
0，
?
上的函数
y
＝6cos
x
的图象与
y
＝5tan
x
的图象的
2
??
交点为
P
，过点
P
作
PP
1
⊥
x
轴于点
P
1
，直线
PP
1
与
y
＝sin
x
的图象交于点
P
2
，则线段
P
1<
br>P
2
的长为________．
解析
线段
P
1
P
2
的长即为sin
x
的值，且其中的
x
满足6cos
x
＝5tan
x
，整理得6sin
x
22
＋5sin
x
－6＝0，解得sin
x
＝.线段
P
1
P
2
的长为.
33
2
答案
3
【高考定位】
高考对本内容的考查主要有：
(1)三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)的图象与性质
是A级要求；
(2)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要
求，
应用时要适当选择公式，灵活应用．
试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档
题．
【应对策略】
三角函数既是重要知识，又是重要工具，作为知识，它与函数、平面向量有着密
不可分
的联系，三角函数的概念、基本性质及图象都是从函数的角度出发的重要基础知识，三角恒
等变换是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是三角函
数与向量的
综合更是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题．需要熟练掌握三角函
数内部知识的综合及三角
函数与向量的综合．
2
必备知识
1．三角函数的概念，如象限角、轴线
角、终边相同的角、三角函数的定义、定义域、
符号法则、弧度制等；
2．同一个角的正弦、
余弦、正切函数之间有平方关系和商数关系，平方关系：sinα
2
2
sin α
2
＋cosα＝1，商数关系：tan
α＝.根据同角三角函数的基本关系，如果已知角α
cos α
的某一个三角函数值，就可以求
出其它两个三角函数值，不过解的个数要根据角α所在的
象限或范围确定．
π
3．诱
导公式揭示的是
k
·±α(
k
∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式，记
忆口
2
诀是“奇变偶不变，符号看象限”．
4．正弦函数、余弦函数、正切函数的定
义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期
性等三角函数性质，要熟练掌握；
5．熟记两角和与差的三角函数、二倍角公式，掌握公式的常见变形，如辅助角公式
a
sin α＋
b
cos α＝
a
2
＋
b
2
sin(α＋φ)，降幂公式cos
2
α＝
1－cos
2α
等．
2
必备方法
1＋cos 2α
2
，sinα＝
2
1．解决三角函数实际应用问题的一般步骤是：(1)认真审题，找出自变量，分析出三角<
br>函数与自变量之间的函数关系，写出解析式，并且根据题意和实际意义确定函数定义域，简
单地说
，就是建立数学模型；(2)利用所学三角函数知识解决这一数学模型．
2．三角函数在代数中的应用
，一般是用换元法将三角函数看做一个整体变量，利用其
值域等性质限制函数定义域，再利用函数等代数
知识求解．
3．三角恒等变形的基本思路
(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．
“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．
(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
命题角度一 三角变换与求值
[命题要点]
①给角求值；②给值求值；③给值求角．
tan
x
?
π
?
【例1】? (2011·江苏)已知tan
?<
br>x
＋
?
＝2，则的值为________．
4
?
tan 2
x
?
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 由已知条件先确定tan
x
的值，再化简待求式，然后代入求得．
tan
x
＋11
?
π
?
解析
由tan
?
x
＋
?
＝2，得＝2，解得tan
x
＝，
4
?
1－tan
x
3
?
3
1
1－
2
9
4tan
x
tan
x
1－tan
x
所以＝＝＝＝.
tan
2
x
2tan
x
229
2
1－tan
x
4
答案
9
给角求值问题，一般方法是利用三角公式将非特殊角转化为特殊角；
给值求
值问题，要观察已知与所求的关系，注意从角、三角函数名称等几个方面观察，应用角的变
换、名称变换等寻找关系；给值求角一般要有求两个方面，一是所求角的范围，二是所求角
的某个三角
函数值，很多时候还需要缩小角的范围，使得所求三角函数在该区间上单调．
1
【突破训练1】 (2012·江西改编)若tan θ＋＝4，则sin
2θ＝________.
tan θ
解析 已知某个角的正切值，求关于正弦、余弦的齐次
分式时，常将正弦、余弦转化为
正切，即弦化切，以达到简解的目的．
11＋tanθ
2
∵tan θ＋＝＝4，∴4tan θ＝1＋tanθ，
tan θtan θ
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝
1
答案
2
命题角度二 三角函数的图象与性质
[命题要点]
已知函数图象求函数解析式；三角函数性质的简单应用．
2sin θcos θ2tan
θ2tan θ1
＝＝＝.
222
sinθ＋cosθ1＋tanθ4tan
θ2
2
π
??
【例2】? 函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)
?
A
＞0，ω＞0，|φ|＜
?
的一段图象(如图所示)，
2
??
求其解析式．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由
关键点求φ，最后将
(0，2)代入求
A
的值．
4
解 设函数的周期为
T
，
37ππ3
则
T
＝－＝π，
4884
2π
∴
T
＝π，∴ω＝＝2.
T
πππ
又∵2×＋φ＝2
k
π＋(
k
∈Z)，∴φ＝2
k
π＋(
k
∈Z)，
824
ππ
又∵|φ|＜，∴φ＝.
24
π
??
∴函数解析式为
y
＝
A
sin
?
2
x
＋
?
.
4
??
π
又图象过点(0，2)，∴
A
sin＝2，
4
∴
2
A
＝2，∴
A
＝2.
2
π
??
∴所求函数的解析式为
y
＝2sin
?
2
x
＋
?
.
4
??
(1)已知函数
y<
br>＝
A
sin(ω
x
＋φ)(
A
＞0，ω＞0)的图象
求解析式时，常采用
待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求
A
；由函数的周
期确定ω；由图象上的关
键点确定φ.
(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点
与最低点的横坐标之差的绝对值为
1
半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝
对值为个周期．
4
π
??
【突破训练2】 已知函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)
?
A
＞0，|φ
|＜，ω＞0
?
的图象的一部分
2
??
如图所示．
(1)求
f
(
x
)的表达式；
(2)试写出
f
(
x
)的对称轴方程．
解
(1)观察图象可知：
A
＝2且点(0,1)在图象上，
所以1＝2sin(ω·0＋φ)，
5
1ππ
即sin φ＝，因为|φ|＜，所以φ＝.
226
1111ππ
又因为π是函数的一个零点，且是图象上升穿过
x
轴形成的零点，所以ω
＋＝
12126
π，所以ω＝2.
故
f
(
x
)＝
2sin
?
?
π
?
2
x
＋
6
?<
br>?
?
.
(2)设2
x
＋
ππ
6
＝
B
，则函数
y
＝2sin
B
的对称轴方程为
B<
br>＝
2
＋
k
π，
k
∈Z，
即2
x<
br>＋
π
6
＝
π
2
＋
k
π(
k
∈Z)，
解上式得
x
＝
k
π
2
＋
π
6
(
k
∈Z)，
所以
f
(
x
)＝2sin
?
?
π
?
2
x
＋
6
?
?
k
π
?
的对称轴方程为
x
＝
π2
＋
6
(
k
∈Z)．
6
2
命题角度三 三角函数的图象和性质的综合应用
[命题要点]
①三角函数的值域；②三角函数的最小正周期；③三角函数的单调区间；
④三角函数的对称性．
1
2
【例3】?
(2012·南京、盐城模拟)已知函数
f
(
x
)＝3sin
x
cos
x
－cos
x
＋(
x
∈R)．
2
(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期；
?π
?
(2)求函数
f
(
x
)在区间
?
0，
?
上的函数值的取值范围．
4
??
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点]
将三角函数化为标准型，利用周期公式求解，再利用三角函数的性质求值
域．
解 (1)因为
f
(
x
)＝
π
?
31
?
sin
2
x
－cos 2
x
＝sin
?
2
x
－<
br>?
，故
f
(
x
)的最小正周期为π.
6
?
22
?
π
?
ππ
?
3
??
1?
π
?
(2)当
x
∈
?
0，
?
时，2
x
－∈
?
－，
?
，故所求的值域为
?－，
?
.
4
?
6
?
63
??
?
22
?
求解三角函数的周期，一般是化为标准型后，再利用周期公式
求解，或者利
用三角函数图象求周期．三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为标准型的，利用三
角函数图象求解；二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围．
π
???
π
?
【突破训练3】 (2012·苏州期中)已知函数<
br>f
(
x
)＝cos
?
2
x
－
?＋2sin
?
x
－
?
3
?
4
???<
br>?
π
?
sin
?
x
＋
?
.
4
??
(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期； <
br>?
π
?
(2)求函数
f
(
x
)在区间
?
0，
?
上的值域．
2
??
π
???
π
??
π
?
解
(1)∵
f
(
x
)＝cos
?
2
x
－?
＋2sin
?
x
－
?
·sin
?
x
＋
?
3
?
4
?
4
????
13
＝cos
2
x
＋sin 2
x
＋(sin
x
－cos
x
)(sin
x
＋cos
x
)
22
13
22
＝cos 2
x
＋sin
2
x
＋sin
x
－cos
x
22
π
?
13
?
＝cos 2
x
＋sin
2
x
－cos
2
x
＝sin
?
2
x
－
?
.
6
?
22
?
7
2π
∴
T
＝＝π.
2
π
?
π5π
??
π
?
(2)∵
x
∈
?
0，<
br>?
，∴2
x
－∈
?
－，
?
2?
6
?
6
?
6
?
π
?
π?
1
??
∴sin
?
2
x
－
?
max
＝1，sin
?
2
x
－
?
min
＝－
6
?
6
?
2
??
π
???
1
?
即
f
(
x
)＝sin
?
2
x
－
?
的值域为
?
－，1
?
.
6
???
2
?
4．解决三角函数需注意的两个问题
一、要充分挖掘题中隐含条件
【例1】?
在△
ABC
中，如果4sin
A
＋2cos
B
＝1,2sin
B
＋4cos
A
＝33，则∠
C
的大
小是________．
11π5π
解析
两式平方相加并化简得sin(
A
＋
B
)＝，所以sin
C
＝，得∠
C
＝或，检验：
2266
当∠
C
＝
5π
π
?
3
?
?
π
??
1
?
时，A
＋
B
＝，则
A
，
B
∈
?
0
，
?
，sin
A
∈
?
0，
?
，cos
B
∈
?
，1
?
，4sin
A
6
?
66
??
2
?
?
2
?
5ππ
＋
2cos
B
∈(3，4)与4sin
A
＋2cos
B
＝1矛盾，所以∠
C
＝舍去，即∠
C
＝.
66
答案
π
6
老师叮咛：在三角恒等式中，如果不充分
挖掘题中条件，又没有对结果检验，很容易产
生增根，如本题两式平方相加并化简得si
5π<
br>产生了增根.
6
二、给值求角时要注意缩小所求角的范围
11
【例2】? 若tan(α－β)＝，tan
β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β的值
27
为________．
1
?
π
?
解析 由上面解得tan α＝，α∈(0，π)，所以α
的范围可以缩小为
?
0，
?
，同
4
?
3
?
1
?
π
?
理，由tan β＝－以及β∈(0，π)，β的范围可以
缩小为
?
，π
?
，所以2α－β∈(－
7
?
2?
A
＋
B
＝，所以sin
C
＝，得∠
C＝或
1
2
1
2
π
6
5π
，
6
8
π，0)，又tan(2α－β)＝1，所以2α－β的值为－
3π
答案 －
4
3π
.
4
老师叮咛：题中角的
范围太大，使得正切函数在该区间上不单调，如有同学求出2α－
2π3ππ5π
β∈，得2α
－β的值为－或 或，这种错误主要是没有对2α－β的范围进行
4444
缩小而产生了增根，
所以尽可能缩小角的范围很重要.
9