(人教版)高中数学必修四教案

6.探究：（1）当角
?
的终边在第二、第三、第四象限时，你能分
别 作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
（2）当
?
的终边与
x
轴 或
y
轴重合时，又是怎样的情形呢？

7.例题讲解
例1．已知
?
?
?
4
??
2
，试比较
?
,t an
?
,sin
?
,cos
?
的大小.
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.
8.练习
P
19
第1,2,3,4题
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角
?
的正弦、
余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.
【评价设计】

19

1． 作业：
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)
sin15
?
、
tan15
?
（2）
cos150
?
18
'
、
cos121
?
（3）、
tan

5
?
5
?
2．练习三角函数线的作图.




1.2任意角的三角函数
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、教学目标：
1、知识与技能
(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；( 2)已知某角的一个
三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系
式化 简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；
（5）牢固掌握同角三角函数的三个关 系式并能灵活运用于解题，提
高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
（7）掌握恒等式证明的一般 方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函
数值；利用同角三角函数关系式 化简三角函数式；利用同角三角函数

20

关系式证明三角恒等式等 .通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩
固所学知识.
3、情态与价值
通过本 节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活
运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能 力；进一步树立化归
思想方法和证明三角恒等式的一般方法.
二、教学重、难点
重点：公式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
及
sin
?
（1）已
?tan
?
的推导及运用：
c os
?
知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简
三角函数 式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方
法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:
sin
2
?
?cos
2
?
?1
及
sin< br>?
?tan
?
,并灵活应用求三角函数值,化减三角函
cos
?
数式,证明三角恒等式等.
教学用具:圆规、三角板、投影
四、教学设想
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我
们来研究同角三角函数之间关 系，弄清同角各
不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之
间的互相转化．
【探究新知】
1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标
来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
P
1
M O A(1,
x
y

21

下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线
MP,余弦线
OM
和半径
OP
三者的长构成直角三
角形,而且
OP?1
.由勾股定理由
MP
2
?OM
2
?1
, 因此
x
2
?y
2
?1
,即
sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
根据三角函数的定义,当
a?k
?
?(k?Z)
时,有
2
?
sin
??tan
?
.
cos
?
这就是说,同一个角
?
的正弦、余弦的平方等于1，商等于角
?
的
正切.
2. 例题讲评 例6.已知
sin
?
??
,求
cos
?
,ta n
?
的值.
sin
?
,cos
?
,tan
?
三者知一求二,熟练掌握.
3
5
3. 巩固练习
P
23
页第1,2,3题
4.例题讲评
例7.求证:
cosx1?sinx
.
?
1?sinxcosx
通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.
5.巩固练习
P
23
页第4,5题
6.学习小结
（1） 同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
?
sin
?
．
cos
?
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限
确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1)

作业：习题1.2A组第10,13题.
22

(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,
得到其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.







第二章 平面向量
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和 工程技术抽象出来的，是近代数学中
重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的
有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股
定理就可转化为向量的加 （减）法、数乘向量、数量积运算，从而把
图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟 通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的
实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际 背景，理解平面向
量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理
及坐标表 示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向
量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些 问题.

23

本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念 ，并说明了向量与
数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个
初步的、全面的了解.）

第1课时
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概 念和向量的几何表示；
掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线
向量等概 念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的
本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事
物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向
量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课 ，概念较多，但难度不大.学生可根据
在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区 分
平行向量、相等向量、共线向量等概念.

24

教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方
向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没
有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什
么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量

25
C
A
B
D

吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的 起点全部移到一点O，这是它们是不
是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
AB
；
④向量
AB
的大小――长度称为向量的模，记作|
AB
|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、
方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方< br>向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大

26
a
A(起点)

B
（终点）

小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一
向量平行.
说明：（ 1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量
ａ
、
ｂ
、
ｃ< br>平行，记作
ａ
∥
ｂ
∥
ｃ
.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量< br>ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ
＝
ｂ
；（2）零向量与 零
向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来
表示，并且与有向线段的起点无关.
．．．．．．．．．．
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是 因为任一组平行向量都可移到同一
直线上（与有向线段的起点无关）.
．．．．．．．．．．．

27

说明：（1）平行向量可以 在同一直线上，要区别于两平行线的位
置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的 线段
的位置关系.
（四）理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（ ） A.
ａ
与
ｂ
共线，
ｂ
与
ｃ
共线，则< br>ａ
与c也共
线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是
一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

28

D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所 以A不正确；由于数学中研
究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，
而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，
所以B不正确；向量的平行只要方向 相同或相反即可，与起点是否
相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可
从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至
少有一个是零向量，而由零向量与 任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，
不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与
向量
OA
、
OB
、
OC
相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（
CB,DO,FE
）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量
AB
与
CD
是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；

29

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
AB
＝
DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. < br>解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，
并不要求两个向量
A B
、
AC
在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，
但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正 确.如图
AC
与
BC
共
线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本88页练习
三、小结 ：
1、
2、
3、
描述向量的两个指标：模和方向.
平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业：
书本88页习题2.1第3、5题

（吴春霞）

第2课时

30

§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的
和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量
加法运算的交换律和结合律 ，并会用它们进行向量计算，渗透类
比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量
的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学 法：
数能进行运算，向量是否也能进行 运算呢？数的加法启发我们，
从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于
物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接
受向量的加法定义.结合图形掌握 向量加法的三角形法则和平行四边
形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：

31

一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向
量相等.因此，我们研究的向量是与起 点无关的自由向量，即任何
向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、 情景设置：
A B C
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

C
C A B
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

A B
C
（4）船速为
AB
，水速为
BC
，则两速度和：
AB?BC?AC

二、探索研究：
A B
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点
A
，作
AB
＝a，
BC
＝ｂ，
则向量
AC
叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ
?AB?BC?AC
，
规定： a + 0-= 0 + a

32

a
a
C
ａ
b
a+b
a
ｂ
B
a
b
a+b




ｂ
A
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量
a
与
b< br>不共线时，
a
+
b
的方向不同向，且|
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|；
（3）当
a
与
b
同向时，则
a
+
b
、
a
、
b< br>同向，且|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|，当
a
与
b
反
b
a
O
b
a
a
A
b
B
向时，若|
a
|> |
b
|，则
a
+
b
的方向与
a
相
同，且|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|；若 |
a
|<|
b
|，则
a
+
b
的方向与b
相同，且|
a
+b|=|
b
|-|
a
|.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向
量的起点，可以推广到n个 向量连加
３．例一、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b

作法：在平面内取一点，作
OA?a

AB?b
，则
OB?a?b
.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不
适应）
２）向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a


33

５．向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
证：如图：使
AB?a
，
BC?b
，
CD?c

则(
a
+
b
) +
c
=
AC?CD?AD
，
a
+ (
b
+
c
)
=
AB?BD?AD

∴(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94—95）略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|
a
+
b
| ≤ |
a
| + |
b
|，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第２、３题
六、板书设计（略）
七、备用习题
1、一艘船从A 点出发以
23kmh
的速度向垂直于对岸的方向行驶，
船的实际航行的速度的大小为< br>4kmh
，求水流的速度.

34

2、一艘船距对 岸
43km
，以
23kmh
的速度向垂直于对岸的方向行
驶，到达对 岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以
v
1
的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时
河水的流速为
v
2
，船的实际航行的 速度的大小为
4kmh
，方向与水流
间的夹角是
60?
，求
v
1
和
v
2
.
4、一艘船以5kmh的速度在行驶，同时 河水的流速为2kmh，则
船的实际航行速度大小最大是kmh，最小是kmh
５、已知两个 力F
1
，F
2
的夹角是直角，且已知它们的合力F与F
1
的 夹角是60
?
，|F|=10N求F
1
和F
2
的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

（吴春霞）
第3课时
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理
解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.

35

教学难点：减法运算时方向的确定.
学 法：减法运算是加法运算的逆运 算，学生在理解相反向量的基
础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减
向量.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中，
CB?BA?BA?
.
解：
CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD

二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向
量.记作 ?a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = ?b， b = ?a， a + b
= 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a

36
D C
A B

与b的差.
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减
法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
a
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量
b
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
B
b
a?b
O
a
作法：在平面内取一点O，
作
OA
= a，
AB
= b
则
BA
= a ? b
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终
点的向量.
注意：1?
AB
表示a ? b.强调：差向量“箭头”指向被减数
2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
B
.
a
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
B’
?
b
a+ (?b)

b
b
B
O
a
b
A




37

4． 探究：
１） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所
得向量是b ? a.






２）若a∥b
，
如何作出a ? b

？
三、 例题：
例一、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、
c?d.
解：在平面上取一点O，作
OA
= a，
OB
= b，
OC
= c，
OD
=
d，
作
BA
，
DC
， 则
BA
= a?b，
DC
= c?d




38
a
b
a
b
a
?
b
O B
A
B’
O
a
?
b
A
B
a
?
b
O
A
?
b
B
B
a
?
b
O
A
A
a
b
d
c
O
B
D
C

D C
例二、平行四边形
ABCD
中，
AB?
a，
AD?
b，
用a、b表示向量
AC
、
DB
.
解：由平行四边形法则得：

AC
= a + b
，

DB
=
AB?AD
= a?b
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a， b互
相垂直）
变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角
线方向不同）
练习：Ｐ98
四、 小结：向量减法的定义、作图法|
五、 作业：P103第4、５题
六、 板书设计（略）
七、 备用习题：
1.在△ABC中，
BC
=a，
CA
=b，则
AB
等于( )
A.a+b
D.b-a

A B

B.-a+(-b)

39
C.a-b

第３题
2.O为平行四边 形ABCD平面上的点，设
OA
=a，
OB
=b，
OC
=c，
OD
=d，则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
４、如图所示，O是四边形ABCD内任 一点，试根据图中给出的
向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=
AB< br>，c-d=
DC
，
并画出b-c和a+d.

（吴春霞）
40

2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可 以用两个不共线的向量来表示，
初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底
来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作：λ
a

（1）|λ
a
|=|λ||
a
|；（2）λ>0时λ
a与
a
方向相同；λ<0时λ
a
与
a
方

41
??
??????

向相反；λ=0时λ
a=
0

2．运算定律
??????
?
结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
；分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
， λ(
a
+
b
)=
?
?
λ
a
+λ
b
?
?
3. 向量共线定理 向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只有
?
?
一个非零实数λ，使
b
=λ
a
.
?
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果< br>e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
那么对 于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=
λ
1
e
1
+λ
2
e
2
.
探究：
(1) 我们把不共线向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ< br>1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的
数量
三、讲解范例：
例1 已知向量
e
1
，
e
2
求作向量?2.5
e
1
+3
e
2
.
例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且

42
??
?

?
??
?
AB
=
a
，
AD
=
b< br>，用
a
，
b
表示
MA
，
MB
，MC
和
MD

例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD
交于E，O是任意一点，求证：
OA+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE
例4（1）如图，
OA
，
OB
不共线，
AP
=t
AB
(t?R)
用
OA
，
OB
表示
OP
.
uuuruur
OB
不共线，点P在O、A、B所在的 （2）设
OA、uuuruuuruuur
平面内，且
OP?(1?t)OA?tOB(t?R)
.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e
1
-3e
2
，b= 2e
1
+3e
2，其中e
1
，e
2
不共线，向量c=2e
1
-9e2
，
urrr
问是否存在这样的实数
?
、
?
, 使d?
?
a?
?
b
与c共线.
四、课堂练习：
1.设e
1
、e
2
是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e
1
、e
2
一定平行
B.e
1
、e
2
的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =
λ
e
1
+
μ
e
2
(
λ
、
μ
∈R)
D.若e
1
、e
2
不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =< br>λ
e
1
+ue
2
(
λ
、
u∈R)
2.已知矢量a = e
1
-2e
2
，b =2e
1
+e
2
，其中e
1
、e
2
不共线，则a+b与c =6e
1
-2e
2
的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

43

3.已知向量e
1
、e
2
不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1
+(2x-3y)e
2
=6e
1
+3e
2
，
则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =
λ
1
a+
λ
2
b(
λ
1
，
λ
2
∈R) ，若c与b共线，
则
λ
1
= .
5.已知
λ
1
＞0，
λ
2
＞0，e
1
、e
2
是一组 基底，且a =
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
，则
与e
1
_____，a与e
2
_________ (填共线或不共线).
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：
第5课时
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型：新授课

44
a

教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果
e
1
，
e< br>2
是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=
λ
1
e
1
+λ
2
e
2

(1)我们把不共线 向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量
ａ
在给出基底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a< br>，
e
1
，
e
2
唯一确定的
数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别 取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个
单位向量
i
、j
作为基底.任作一个向量
a
，由平面向量基本定理知，
有且只有一对实 数
x
、
y
，使得
1

a?xi?yj
… ………○
我们把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
2

a?(x,y)
…………○

45
???

其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐 标，
y
叫做
a
在
y
轴上的坐
2
式叫做向量 的坐标表示.与标，○
．
a
相等的向量的坐标
．．．．．．．．
也为
．．
(x,y)
.
特别地，
i?(1,0)
，
j ?(0,1)
，
0?(0,0)
.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起 点作
OA?a
，则点
A
的位置
由
a
唯一确定. < br>设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是点
A
的坐标；反过来，点
A
的
坐标
(x,y)
也就是向量
OA
的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个
平面向量都是可以用一对 实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y< br>2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为
i
、
j
，则
a?b
?(x
1
i?y
1
j)? (x
2
i?y
2
j)?(x
1
?x
2
)i ?(y
1
?y
2
)j

即
a?b
?(x< br>1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，同理可 得
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y2
)

（2） 若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?< br>
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的
坐标.
AB
=
OB
?
OA
=( x
2
，

y
2
) ? (x
1
，y
1
)= (x
2
? x
1
， y
2
? y
1
) < br>（3）若
a?(x,y)
和实数
?
，则
?
a?(?
x,
?
y)
.

46

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为i
、
j
，则
?
a
?
?
(xi?yj) ?
?
xi?
?
yj
，即
?
a?(
?
x,
?
y)

三、讲解范例：
uuur
例1 已知A( x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，求< br>AB
的坐标.
rrrrrr
例2 已知
a
=(2，1)，
b
=(-3，4)，求
a
+
b
，
a
-b
，
rr
3
a
+4
b
的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3，
4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由
AB?DC
得D
1
=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D
2
=(4， 6)，当平行四边形为DACB
时，得D
3
=(?6， 0)
例4已知三个力
F
1
(3， 4)，
F
2
(2， ?5)，
F
3
(x， y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
，求
F
3
的坐标.
解：由题设
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
得：(3， 4)+ (2， ?5)+(x， y)=(0， 0)
即：
?
?
3?2?x?0
?
x??5
∴
?
∴
F
3
(?5，1)
?
4?5?y?0
?
y?1
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且
MP?
1
MN
， 求P点的坐标
2
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则
AB
?2
BC
= .

47

3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求
证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：


第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪

48
（王海）

教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示 < br>分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
、< br>j
作为基底.任作
一个向量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对
实数
x
、
y
，使得
a?xi?yj

把< br>(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
a?(x,y)

其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上的坐标， 特别地，
i?(1,0)
，< br>j?(0,1)
，
0?(0,0)
.
2．平面向量的坐标运算 若
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
?
a?(
?
x,
?
y)
.
若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

二、讲解新课：
?
??
a
∥
b
(
b
?
0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2
y
1
= 0
??
??
设
a
=(x
1
， y
1
) ，
b
=(x
2
， y
2
) 其中
b
?
a
.
?
?
x?
?
x< br>2
?
由
a
=λ
b
得， (x
1
， y
1
) =λ(x
2
， y
2
)
?
?
1
消去λ，
?
y
1
?
?
y
2
x
1
y
2
-x
2
y1
=0
?
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y
1
， y
2
有可能为0， ∵
b
?
0
∴

49

x
2
， y
2
中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成
y
1
y
2
?
∵x
1
， x
2
有可能为0
x
1
x
2< br>?
?
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：
a
∥
b
?
(
b
?
0
)
?
a?
?< br>b
x
1
y
2
?x
2
y
1
? 0

三、讲解范例：
?
??
?
例1已知
a
=(4，2)，
b
=(6， y)，且
a
∥
b
，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点
之间的位置关系.
例3设点P是线段P
1
P
2
上的一点， P
1
、P
2
的坐标分别是(x
1
，y
1
)，
(x
2
，y
2
).
(1) 当点P是线段P
1
P
2
的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P
1
P
2
的一个三等分点时，求点P的坐标.
?
?
例4若向量
a
=(-1，x)与
b
=(-x， 2)共线且方向相同，求x
?
?
解：∵
a
=(-1，x)与
b
=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x?(-x)=0
?
?
∴x=±
2
∵
a
与
b
方向相同 ∴x=
2

例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量
AB
与
CD
平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵
AB
=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，
CD
=(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴
AB
∥
CD


50

又 ∵
AC
=(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，
AB
=(2， 4)，2×4-2
×6?0 ∴
AC
与
AB
不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥
CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若
AB
=i+2j，
DC
=(3-x)i+(4-y )j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方
向相同且为单位向量).
AB
与
DC
共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .
五、小结 （略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：

51

（王海）



§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问
题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积
的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定

52

义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深
学生对于平面向量数量积的认识. 主要知识点：平面向量数量积的定
义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的< br>运算律.
教学过程：
一、复习引入：
?
?
1． 向量共线定理 向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只
?
?
有一个非零实数λ，使
b
=λ
a
.
2．平面向 量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向 量，
那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=
λ
1
e
1
+λ
2
e
2

3．平面向量的坐标表示
分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为基底.任作 一
个向量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
a?xi?yj

??
把
(x,y)
叫 做向量
a
的（直角）坐标，记作
a?(x,y)

4．平面向量的坐标运算
b?(x
2
,y
2
)
， 若
a?(x
1
,y
1
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
?
a?(
?
x,
?
y)
.
若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

?
??
5．
a
∥
b
(
b
?0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2
y
1
=0

53

6．线段的定比分点及λ
P
1
， P
2
是直线l上的两点，P是l上不同于P
1
， P
2
的任一点，存
在实数λ，
使
P
1
P
=λ
PP
2
，λ叫做点P分
P
1
P
2
所 成的比，有三种情况：

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<
λ<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点P
１
(x
1
，y
1
) ，
Ｐ
２
(x
2
，y
2
)，
λ
为实数，且
P1
P
＝
λ
PP
2
，则点
P的坐标为（
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
,
），我们称
λ
为点P分
P
1
P2
所成的比.
1?
?
1?
?
8. 点P的位置与
λ
的范围的关系：
①当
λ
＞０时，
P
1
P
与
PP
2
同向共线，这时称点P为
P
1P
2
的内分点.
②当
λ
＜０(
?
??1)时，
P
1
P
与
PP
2
反向共线，这时称点P 为
P
1
P
2
的外
分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设
OP
1< br>＝
ａ
，
OP
2
＝
ｂ
，
可得
OP
=
a?
?
b1
?
?a?b
.
1?
?
1?
?
1?
?
10．力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角.
二、讲解新课：

54

1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作
OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝
θ
（０
≤
θ
≤
π
）叫< br>ａ
与
ｂ
的夹角.
说明：（1）当
θ
＝０时，
ａ
与
ｂ
同向；
（2）当
θ
＝
π
时，
ａ
与
ｂ
反向； < br>（3）当
θ
＝时，
ａ
与
ｂ
垂直，记
ａ
⊥
ｂ
；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?
≤?≤180?
?
2
C

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它
们的夹角是
θ
，则数量|a||b|c os?叫
ａ
与
ｂ
的数量积，记作a?b，即有
a?b = |a||b|cos?，
（０≤
θ
≤
π
）.并规定0与任何向量的数量积为0.
?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号
所决定.
（ 2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的
外积a×b，而a?b是两个向量 的数量的积，书写时要严格区分.符号

55

“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a?0，且a?b =0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，
且a?b=0，不能推出b=0.因为其中cos?有可 能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc
?
a=c.但是a?b =
b?c a = c
如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? =
|b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线
的向量，而一般a与c不共线.
3．“投影”的概念：作图


定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当?为 锐角时投影为正值；当?为钝角
时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? =
180?时投影为 ?|b|.

56

4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?
2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特
别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4? cos? =
a?b

|a||b|
5? |a?b| ≤ |a||b|
三、讲解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120
o
，求a·b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60
o
求(a+2b)·(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb
与a-kb互相垂直.
例4 判断正误，并简要说明理由.
①
ａ
·0＝0；②0·
ａ
＝０；③0 －
AB
＝
BA
；④｜
ａ
·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜；⑤若
ａ
≠0，则对任一非零
ｂ
有< br>ａ
·
ｂ
≠０；⑥
ａ
·
ｂ
＝０，则
ａ
与
ｂ
中至少有一个为0；⑦对任意向量
ａ
，
ｂ
，< br>с
都有
（
ａ
·
ｂ
）
с
＝
ａ
（
ｂ
·
с
）；⑧
ａ
与
ｂ
是两个单 位向量，则
ａ
２
＝
ｂ

57

２
.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向 量的数量积是一个实数，应有0·
ａ
＝０；对于
②：应有０·
ａ
＝0 ；
对于④：由数量积定义有｜
ａ
·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜ ·｜
ｂ
｜·｜cos
θ
｜≤｜
ａ
｜｜
ｂ
｜ ，这里
θ
是
ａ
与
ｂ
的夹角，只有
θ
＝０或
θ
＝
π
时，才有｜
ａ
·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜·｜
ｂ
｜；
对于⑤：若非零向量
ａ
、
ｂ垂直，有
ａ
·
ｂ
＝０；
对于⑥：由
ａ
·ｂ
＝０可知
ａ
⊥
ｂ
可以都非零；
对于⑦：若
ａ
与
с
共线，记
ａ
＝
λс
.
则
ａ
·
ｂ
＝（
λс
）·
ｂ
＝
λ
（< br>с
·
ｂ
）＝
λ
（
ｂ
·
с
） ，
∴（
ａ
·
ｂ
）·
с
＝
λ
（< br>ｂ
·
с
）
с
＝（
ｂ
·
с
）
λс
＝（
ｂ
·
с
）
ａ

若
ａ
与
с
不共线，则(
ａ
·
ｂ
)
с
≠（
ｂ
·
с
）
ａ
.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、
运算律.
例6 已知 ｜
ａ
｜＝３，｜
ｂ
｜＝６，当①
ａ
∥
ｂ
， ②
ａ
⊥
ｂ
，③
ａ
与
ｂ
的夹角是60°时， 分别求
ａ
·
ｂ
.
解：①当
ａ
∥
ｂ
时，若
ａ
与
ｂ
同向，则它们的夹角
θ
＝０°，
∴
ａ
·
ｂ
＝｜
ａ
｜·｜
ｂ
｜cos0°＝ 3×6×1＝18；

58

若
ａ
与
ｂ< br>反向，则它们的夹角
θ
＝180°，
∴
ａ
·
ｂ＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当
ａ
⊥
ｂ
时，它们的夹角
θ
＝90°，
∴
ａ
·
ｂ
＝０；
③当
ａ
与
ｂ
的夹角是60°时，有
ａ
·
ｂ
＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两 个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，
180°］，因此，当
ａ
∥ｂ
时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知|a|=1，|b|=
2
，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为
（ ）
A.2 B.2
3
C.6 D.12
3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= .
5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴< br>正方向上的单位向量，那么a·b= .

59
1< br>2
?
3
?
3

6.已知a⊥b、c与a、b的夹 角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)
２
＝_____ _.
7.已知|a|=1，|b|=
2
，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、 b的夹角为６０°，
求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
8.设m、 n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与
b=2n-3m的夹角.
9.对 于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与
a+tb的夹角.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、教学后记：

（王海）


第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问

60

题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以
及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的
运算律，引导学生注意数量积性质的相关 问题的特点，以熟练地应用
数量积的性质.
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作< br>OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝
θ
（０
≤
θ
≤
π
）叫
ａ
与
ｂ
的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它
们的夹角是
θ
，则数量|a||b|cos?叫< br>ａ
与
ｂ
的数量积，记作a?b，即有
a?b = |a||b|cos?，
（０≤
θ
≤
π
）.并规定0与任何向量的数量积为0.

61

3．“投影”的概念：作图
C


定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向 量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角
时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? =
180?时投影为 ?|b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特
别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4?cos? =
a?b
；5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律

62

1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?
∴a ? b = b ? a
2．数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证：若
?
> 0，(
?
a)?b =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，a?(
?
b)
=
?
|a||b|cos?，
若
?
< 0，(
?
a)?b =|
?
a||b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?.
3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
OC
= c， 在平面内取一点O，作
OA
= a，
AB
= b， ∵a + b （即
OB
）
在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? =
|a| cos?
1
+ |b| cos?
2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?
1
+ |c| |b| cos?
2
， ∴c?(a + b) = c?a + c?b
即：(a + b)?c = a?c + b?c
说明 ：（1）一般地，(
ａ
·
ｂ
)
с
≠
ａ
（< br>ｂ
·
с
）
（2）
ａ
·
с
＝
ｂ
·
с
，
с
≠0
ａ
＝
ｂ
（3）有如下常用性质：
ａ
２
＝｜
ａ
｜
２
，
（
ａ
＋
ｂ
）（
с
＋
ｄ
）＝
ａ
·
с
＋
ａ
·
ｄ
＋
ｂ
·
с
＋
ｂ
·
ｄ


63

(
ａ
＋
ｂ
)
２
＝
ａ
２
＋２
ａ
·
ｂ
＋
ｂ
２

三、讲解范例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a ? 5b垂直，a ? 4b与
7a ? 2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a
2
+ 16a?b ?15b
2
= 0 ①
(a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a
2
? 30a?b + 8b
2
= 0 ②
两式相减：2a?b = b
2

代入①或②得：a
2
= b
2

a?bb
2
1
设a、b的夹角为?，则cos? = ∴? = 60?
??
2
|a||b|
2|b|
2
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，
AB?DC
，
AD?BC
，
AC
=
AB?AD

∴|
AC
|=
|AB?AD|?AB?AD?2AB?AD

2
2
22
而
BD
=
AB?AD
， ∴|
BD
|
2
=
|AB?AD|
2
?AB?A D?2AB?AD

∴|
AC
|+ |
BD
|= 2
AB?2AD
=
|AB|
2
?|BC|
2
?| DC|
2
?|AD|
2

BC
＝
ｂ
，CD
＝
с
，
AB
＝
ａ
，
DA
＝
ｄ
，例3 四边形ABCD中，且
ａ
·
ｂ
2 2
22
22
＝
ｂ
·
с
＝
с
·
ｄ< br>＝
ｄ
·
ａ
，试问四边形ABCD是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、
推算该四边形的边角量.

64

解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面： ∵
ａ
＋
ｂ
＋
с
＋
ｄ
＝0，∴
ａ< br>＋
ｂ
＝－（
с
＋
ｄ
），∴(
ａ
＋< br>ｂ
)
２
＝（
с
＋
ｄ
）
２

即｜
ａ
｜
２
＋２
ａ
·
ｂ
＋｜ｂ
｜
２
＝｜
с
｜
２
＋２
с
·
ｄ
＋｜
ｄ
｜
２

由于
ａ
·
ｂ
＝
с
·
ｄ
，∴｜
ａ
｜
２
＋｜
ｂ
｜
２
＝｜
с
｜
２
＋｜
ｄ
｜
２
①
同理有｜
ａ
｜
２
＋｜
ｄ
｜
２
＝｜
с
｜
２
＋｜
ｂ
｜
２< br>②
由①②可得｜
ａ
｜＝｜
с
｜，且｜
ｂ
｜ ＝｜
ｄ
｜即四边形ABCD
两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由
ａ
·
ｂ
＝< br>ｂ
·
с
，有
ｂ
（
ａ
－
с
） ＝０，而由平行
四边形ABCD可得
ａ
＝－
с
，代入上式得
ｂ
·(2
ａ
)＝０，即
ａ
·
ｂ
＝０，∴
ａ
⊥
ｂ
也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述 ：(1)在四边形中，
AB
，
BC
，
CD
，
DA< br>是顺次首尾相接向量，
则其和向量是零向量，即
ａ
＋
ｂ
＋с
＋
ｄ
＝0，应注意这一隐含条件
应用；
(2)由已知条件产 生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的
定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习：

65

1.下列叙述不正确的是（ ）
A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A.72 B.-72 C.36 D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)
２
＝ .
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= .
6.设|a|=3，|b|=5，且a+
λ
b与a－
λ
b垂直， 则
λ
＝ .
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）


第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
?
3
3
4
3
4

66

教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公
式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作< br>OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝
θ
（０
≤
θ
≤
π
）叫
ａ
与
ｂ
的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它
们的夹角是
θ
，则数量|a||b|cos?叫< br>ａ
与
ｂ
的数量积，记作a?b，即有
a?b = |a||b|cos?，
C
（０≤
θ
≤
π
）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.

67

4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特
别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4? cos? =
a?b
；5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a ? b = b ? a
数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量
a? (x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，试用
a
和
b
的坐标表示
a?b
.
设
i
是
x
轴上的单位向量，
j
是
y
轴上的单位向量，那么
a?x
1
i?y
1
j
，
b ?x
2
i?y
2
j

所以
a?b?(x
1
i?y
1
j)(x
2
i?y
2
j)
?x< br>1
x
2
i
2
?x
1
y
2
i ?j?x
2
y
1
i?j?y
1
y
2
j2

又
i?i?1
，
j?j?1
，
i?j?j ?i?0
，所以
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即

68

a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

2. 平面内两点间的距离公式
八、 设
a?(x,y)
，则< br>|a|
2
?x
2
?y
2
或
|a|?x
2
?y
2
.
（2）如果表示向量
a
的有向线段的起点和 终点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
，那么
|a|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
(平面 内两点间的距离公式)
九、 向量垂直的判定
设

a?(x
1< br>,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)< br>，则
a?b
?
x
1
x
2
?y
1y
2
?0

十、 两向量夹角的余弦（
0?
?
?
?
）
cos? =< br>a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22

十一、 讲解范例：
十二、 设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b间的夹角
θ(精确到1
o
)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，
并给出证明.
例3 已知a = (3， ?1)，b = (1， 2)，求满足x?a = 9与x?b = ?4的向
量x.
解：设x = (t， s)，
?
3t?s?9
?
t?2
由 ∴x = (2， ?3)
?
?
?
?
x?b??4
?
t?2s??4
?
s??3
x?a?9

69

例4 已知a＝（１ ，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－１），则a与b的夹
角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角
θ
的范围确定其值.
解：由a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－１）
有a·b＝
3
＋１＋
3
（
3
－１）＝４，｜a｜＝ ２，｜b｜＝２
2
．
记a与b的夹角为
θ
，则ｃｏｓ
θ< br>＝
又∵０≤
θ
≤
π
，∴
θ
＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，
求点B和向量
AB
的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则
OB
= (x， y)，
AB
= (x?5， y?2)
∵
OB
?
AB
∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x
2
+ y
2
?5x ? 2y = 0
又∵|
OB
| = |
AB
| ∴x
2
+ y
2
= (x?5)
2
+ (y?2)
2
即：10x + 4y = 29
?
73
?
x?x?
?
1
2< br>?
x?y?5x?2y?0
?
?
2
2
?
?< br>或
?
由
?

37
?
10x?4y?29?
y
1
??
?
y
2
?
?
2< br>?
2
?
22
a?b2

?
a?b2
?
4
∴B点坐标
(,?)
或
(,)
；
AB
=
(?,?)
或
(?,)

例6 在△ABC中，
AB
=(2， 3)，
AC
=(1， k)，且△ABC的一个内角
为直角，

70
7
2
3< br>2
37
22
3
2
7
2
73
22

求k值.
解：当A = 90?时，
AB
?
AC
= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
?

当B = 90?时，
AB
?
BC
= 0，
BC
=
AC
?
AB
= (1?2， k?3) = (?1， k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11

3
3?13

2
3
2
当C = 90?时，
AC
?
BC
= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =
十三、 课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|
２
－４a·b＝（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角
形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.
(,)
或
(,)
C.
(,?)
或
(?,)
3
5
4
5
43
55
34
55
43
55 B.
(,)
或
(?,?)

D.
(,?)
或
(?,)

3
5
4
534
55
34
55
3
5
4
5
4.a= (2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= .
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则
x= .
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=
BC
，b=
CA
，则a与b的夹
角为 .
1
2

71

十四、 小结（略）
十五、 课后作业（略）
十六、 板书设计（略）
十七、 课后记：
（王海）


第12课时
复习课
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向
量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾
相接）。
4. 了解向量形式的 三角形不等式：||
a
|-|
b
|≤|
a
±
b|≤
|
a
|+|
b
|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形 式的平行四边形定
理：2(|
a
|
2
+|
b
|2
)=|
a
－
b
|
2
+|
a
+
b
|
2
.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

72

8. 数量积（点乘或内积）的概念，
a
·
b
=|< br>a
||
b
|cos
?
=x
1
x
2< br>+y
1
y
2
注
意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法 ”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的
应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，
能与中学数学教学内容的许多主干 知识综合，形成知识交汇点，所以
高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；
③判垂直
三、典型例题
例1.对于任意 非零向量
a
与
b
，求证：｜｜
a
｜-｜
b
｜｜≤｜
a
±
b
｜
≤｜
a
｜+｜
b
｜
证明：(1)两个非零向量
a
与
b
不共线时，
a+
b
的方向与
a
，
b
的
方向都不同，并且｜< br>a
｜-｜
b
｜＜｜
a
±
b
｜＜｜
a
｜+｜
b
｜
(3)两个非零向量
a
与
b
共线时，①
a
与
b
同向，则
a
+
b
的方向 与
a
.
b
相同且｜
a
+
b
｜=｜
a
｜＋｜
b
｜.②
a
与
b
异向时，则
a< br>+
b
的方向
与模较大的向量方向相同，设|
a
|＞|
b
|，则|
a
+
b
|=|
a
|-|
b|.同理
可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150 °，∠BOC=90°，设
OA
=
a
，
OB
=
b< br>，
OC
=
c
，
且|
a
|=2，|
b
|=1，|
c
|=3，用
a
与
b
表示
c

i

j

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中
i
,
j
是单位正交基底向量,
则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°

73

-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3
），也就是
a
=
i
－
3
j
,
b
=
j
，
c
=-3
i
所以-3
a
=3
3
b
+
c
|即
c
=3
a< br>－3
3
b

例3.下面5个命题：①|
a
·
b
|=|
a
|·|
b
|②(
a
·
b
)
2
=
a
2
·
b
2
③
a
⊥(
b
－
c
)，则
a
·
c
=
b
·
c
④
a
·
b
=0，则|
a
+
b
|=|
a
－
b
|⑤
a
·
b< br>=0，则
a
=
0
或
b
=
0
，其中真 命题是（ ）
A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤
四、 巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）
c
=
b
·
c；
c
=
b
·
c
?
a
=
b；
c
+
b
·
c
；①
a
=
b< br>?
a
· ②
a
·③
a
·（
b
+c
）=
a
·
④
a
·（
b
·
c
）=（
a
·
b
）·
c
； ⑤
a?b
a
2
?
a
b
.
A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③
2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）
①若
a
与
b
是非零向量 ，且
a
与
b共线时，则
a
与
b
必与
a
或
b
中之一
a
·
a
=|
a
|
3
④方向相同；②若
e
为单位向量，且
a
∥
e
则
a
=|
a
|
e
③
a
·
若
a
与
b< br>共线，
a
与
c
共线，则
c
与
b
共线 ；⑤若平面内四点A.B.C.D，
必有
AC
+
BD
=
BC
+
AD

A 1 B 2 C 3 D 4
3.下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q和向量a
,若p
a
=q
a
则p=q②对于向量
a
与< br>b
，若
|
a
|
a
=|
b
|
b
则
a
=
b
③对于两个单位向量
a
与
b< br>，若|
a
+
b
|=2则
a
=
b
④对
于两个单位向量
a
与
b
，若k
a
=
b，则
a
=
b

4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1 )，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),

74

求证：四边形ABCD为正方形。




第三章 三角恒等变换

一、课标要求：
本章学习的主要内容是两角 和与差的正弦、余弦、和正切公式，
以及运用这些公式进行简单的恒等变换.
三角恒等变换位 于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学
习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过 程中，发展
推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会
它们在数学中的 一些应用.
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体
会向量方法的作用；
2. 理 解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公
式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系；
3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，
积化 和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进
一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉 性，体会一般与特殊的

75

思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应
用.
二、编写意图与特色
1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，
“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知
识，因此作者的意图是选择 两角差的余弦公式作为基础，运用向量的
知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；
2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；
3. 本章在内容的安排上有 明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，
暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上 ，特别
注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分
析、处理问题，强化 运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；
4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为 技巧化的难题
和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其
应用的繁、难 程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公
式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变 换的基本练习.
三、教学内容及课时安排建议
本章教学时间约8课时，具体分配如下：
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课
时
3.2简单的恒等变换 约3课

76

时
复习 约2
课时


§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、课标要求：
本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步
应用 ，体会和认识公式的特征及作用.
二、编写意图与特色
本节内容可分为四个部分，即引入， 两角差的余弦公式的探索、
证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探
索、证明及初步应用.
三、教学重点与难点
1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流 ，导出两角和差的三角
函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简
单的 恒等变换打好基础；
2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.

3.1.1 两角差的余弦公式

77

一、教学目标
掌握 用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生
初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和 （差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅 有学习积极
性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用
已学知识和方法 的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道
cos45
o
?
3
2
，
cos30
o
?
，由 此我
2
2
们能否得到
cos15
o
?cos
?45
o
?30
o
?
??
大家可以猜想，是不是等于cos45
o
?cos30
o
呢？
根据我们在第一章所学的知 识可知我们的猜想是错误的！下面我
们就一起探讨两角差的余弦公式
cos
?
?
?
?
?
??

（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角
?
的终边与单位

78

cos
?
等于角
?
与单位圆交点的横 坐标，圆的交点为
P
1
，也可以用角
?
的
余弦线来表示，大 家思考：怎样构造角
?
和角
?
?
?
？（注意：要与它
们的正弦线、余弦线联系起来.）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探< br>索
cos
?
?
?
?
?
与
cos?
、
cos
?
、
sin
?
、
sin< br>?
之间的关系，由此得到
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
，认识两 角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差
余 弦公式我们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作
用与便利之处.
思考：
cos
?
?
?
?
?
??
，
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，再利用两角差的余弦
公式得出
cos
?
?
?
?
?
?cos< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?cos
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求
cos75
o
、
cos15
o
的值.
解：分析：把
75
o
、
15
o
构造成两 个特殊角的和、差.
cos75
o
?cos
?
45
o?30
o
?
?cos45
o
cos30
o
?s in45
o
sin30
o
?

79
23216?2
????
22224

cos15
o
?cos
?
45
o
?30
o
?
?cos45
o
cos30
o
?sin45
o
sin30< br>o
?
23216?2
????
22224

点评：把 一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方
法，例如：
cos15
o?cos
?
60
o
?45
o
?
，要学会灵活运 用.
?
,
?
例2、已知
sin
?
?
，< br>?
?
?
??
,cos
?
??,
?
是 第三象限角，求
213
5
??
4
?
5
cos
?
?
?
?
?
的值.
3
?
?
4
?
4
?
2
,
?
cos
?
??1? sin
?
??1???
解：因为
?
?
?
，由此得
sin
?
?
????
2
55
5
??
??
2
又因为
cos
?
??
5
,
?13
是
2
第三象限角，所以
12
?
5
?
sin
?
??1?cos
2
?
??1?
?
??
??

13
?
13
?
3
??
5
?
4
?
12
?
33
????????
所以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
?

????? ?
51351365
??????
点评：注意角
?
、
?的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结< br>构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.
在解题过程中注意角
?
、
?
的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
（五）作业：
P
150
.T
1
?T
2

（胡仕伟）

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式


80

一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推 导两角和、差正弦和正切公
式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应
用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?
；
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正
弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互
化，这对我们解决今天的问题有帮助 吗？
让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
?
?
?
??
?
???
?
??
?
?
sin
??
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?cos
?
?
?
?
cos< br>?
?sin
?
?
?
?
sin
?
?< br>2
???
2
??
2
?
?
?
2
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
．

81

sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?
?
?
?cos
?
sin
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切
公式.（学生动手）
t an
?
?
?
?
?
?
sin
?
?< br>?
?
?
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
．
?
cos
?
?
?
?
?
cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有
tan
?
、
t an
?
的形式
呢？（分式分子、分母同时除以
cos
?
co s
?
，得到
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
．
1?tan
?
t an
?
注意：
?
?
?
?
?
2
?k
?
,
?
?
?
2
?k
?
,
?
?
?
2
?k
?
(k?z)

以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式
呢？
tan?
?tan
?
?
?
?
tan
?
?ta n
?

tan
?
?
?
?
?
?ta n
?
?
??
?
??
?
??
??
1 ?tan
?
tan?
?
1?tan
?
tan
???
注意：
?
?
?
?
?
2
?k
?
,
?
?
?
2
?k
?
,
??
?
2
?k
?
(k?z)
．
（二）例题讲解
?????
例1、已知
sin
?
??,
?
是第四象 限角，求
sin
?
?
?
?
?
,cos
?< br>?
?
?
,tan
?
?
?
?
444< br>5
??????
3
???
的值.
3
?
4< br>3
??
解：因为
sin
?
??,
?
是第四象 限角，得
cos
?
?1?sin
2
?
?1?
?，
??
55
5
??
2
3
sin
?< br>3
tan
?
??
5
??
，
4
cos
?
4
5
?

82

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于是有
sin
?

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?< br>?sincos
?
?cossin
?
????
???
?
?
?
444252510
????
???
242372< br>??
242
?
3
?
72
?
?
?
cos
?
?
?
?
?coscos
?
?sinsin
?
????
?
?
?
?
44252< br>?
5
?
10
?
4
?
两结果一样，我们能否用 第一章知识证明？
3
??1
?
??
4
?
4
tan
?
?
?
?
???7

?
3
4
??
??
1?tan
?
tan
1?
?
?
?
4
?
4
?
tan
?
?tan
?
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、
sin72
o< br>cos42
o
?cos72
o
sin42
o
；（2） 、
cos20
o
cos70
o
?sin20
o
si n70
o
；（3）、
1?tan15
o
．
o
1? tan15
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们
所学的两角和与 差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
（1）、
sin72
o
cos42< br>o
?cos72
o
sin42
o
?sin
?
72
o
?42
o
?
?sin30
o
?
；
（2）、
cos20
o
cos70
o
?sin20
o
sin70
o
?cos
?
20
o
?70
o
?
?cos90
o
?0
；
1?tan15
o< br>tan45
o
?tan15
o
ooo
??tan45?15? tan60?3
． （3）、
??
ooo
1?tan151?tan45ta n15
1
2
例3、化简
2cosx?6sinx

解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但
我们能否发现规律呢？
?
1
?
3
ooo
2cosx?6sinx?22
?
cosx?sinx?22sin30cosx?cos30sinx?22sin30?x
? ???
?
?
2
?
2
??

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