最新高一数学必修四综合试题及详细答案

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2009—2010学年度下学期
高一数学期末测试
[新课标版]

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，用时120分钟。
第Ⅰ卷
（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在 每小题给出的四个选项中，选择
一个符合题目要求的选项.）
1．下列命题中正确的是 （ ）
A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同
3m
?
，
?
m?0
?
，则
2sin
?
?cos
?
的值是 2．已知角
?
的终边过点
P
?
?4m，
A．1或－1
3．下列命题正确的是


?
（ ）
B．

222
或
?
C．1或
?

555

?
D．－1或

??
2

5
（ ）
A．若
a
·
b
=
a·
c
，则
b
=
c

??????
????
B．若
|a?b|?|a?b|
，则
a
·
b=0
????
C．若
a

b
，
b
< br>c
，则
a

c
D．若
a
与
b
是单位向量，则
a
·
b
=1
??
4．计算下列几个式子，①
tan25?tan35?
1?tan15< br>1?tan15
?
3tan25
?
tan35
?
,
tan
?
6
2
②2(sin35?cos25?+sin55?co s65?), ③
?
, ④
1?tan
?
6
，结果为
3
的是（ ）
A．①② B．③ C．①②③ D．②③④
?
－2x)的单调递增区间是 （ ）
4
53
??
A．[kπ＋，kπ＋
π] B．[kπ－π，kπ＋
]
88
88
53
??
C．[2kπ＋，2kπ＋
π] D．[2kπ－π，2kπ＋
]（以上k∈Z）
88
88
5．函数y＝co s(
22
6．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程
x?xcosAco sB?cos
C
?0
有一
2
根为1，则△ABC一定是 （ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
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7．将函数
f(x)?sin(2x?
?
3
)
的图像左移
?
，再将图像上各点横坐标压缩到原来的
1
，则
3
2
所得到的图象的解析式为


A．
y?sinx

C．
y?sin(4x?
2
?
)

3
（ ）
?
B．
y?sin(4x?)

3
D．
y?sin(x?

?
3
)

（ ）
（ ）
8. 化简
1?sin10
+
1?sin10
，得到
A．－2sin5 B．－2cos5 C．2sin5 D．2cos5
9．函数f(x)=sin2x·cos2x是
A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数
C．周期为
?
的偶函数
2
D．周期为
?
的奇函数.
2
10．若|
a|?
A．
2
，
|b|?2
且（
a?b
）⊥
a
，则
a
与
b
的夹角是
B．
（ ）
?

6
?

4
??
?
C．
??
?

3
??
?
D．
5
?

12
11． 正方形ABCD的边长为1，记
AB
＝
a
，则下列结论错误的是（ ）
BC
＝
b
，
AC
＝
c
，
．． A．(
a
－
b
)·
c
＝0
?????
?
???
B．(
a
＋
b
－c
)·
a
＝0
???
????
C．(|
a
－
c
| －|
b
|)
a
＝
0
D．|
a
＋
b
＋
c
|＝
2

12．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，
它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正
方形，若直角三角形中较小的锐角为
?
，大正方形的面积是1，
小正方形的面积是
A．1
1
,则sin
2
?
?cos
2
?
的值等于（ ）
25
2477
B．
?
C． D． －
252525
?
, 4)，
8
二、填空题（本大题共4小题，每小题 4分，共16分。请把正确答案填在题中的横线上）
13．已知曲线y=Asin(?x＋?)＋k （A>0,?>0,|?|<π）在同一周期内的最高点的坐标为(
最低点的坐标为(
5
?
, －2)，此曲线的函数表达式是 ．
8
1
1< br>14．设sin?－sin?=，cos?+cos?=,则cos(?+?)= ．
2

3
15．已知向量
OP?(2,1),OA?(1,7),OB ?(5,1),设X是直线OP
上的一点（O为坐标原
点），那么
XA?XB
的最小值是___________．
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16． 关于下列命题：①函数
y?tanx
在第一象限是增函数；②函数
y?cos2(?
?x)
是偶函
4
?
数； ③函数
y?4sin(2 x?)
的一个对称中心是（，0）；④函数
3
6
在闭区间
[?
??
?
y?sin(x?
?
4
)
,]
上是增函数 ; 写出所有正确的命题的题号： 。
22
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知
?
?
?
?
3< br>?
，
0???
?
，
cos(
?
?
?
)??
3
，
sin(
3?
??)?
5
，求
sin
?
?
?
?
?
的值.
44
4
45
413



18．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?sinx?3cosx
。
（I）求
f(x)
的周期和振幅；
（II）用五点作图法作出
f(x)
在一个周期内的图象;
（III）写出函数
f(x)
的递减区间.





19．（本小题满分12分）
2
已知关于x的方程
2 x?(3?1)x?m?0
的两根为
sin
?
和
cos
?< br>，
?
∈（0，π）.
求：
（I）m的值；
（II）tan
?
sin
?
cos
?
的值；
?
tan
?
?11?tan
?
（III）方程的两根及此时
?
的值.








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20．（本小题满分12分） 已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(
（I）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值；
?
3
?
,).
2
2
2sin
2
?
?sin2
?
BC
=-1，求（II）若
AC
·的值.
1?tan
?




21．（本小题满分12分）
某港口海水的深度
y
（米）是时间
t
（时）（
0?t?24
）的函数，记为：
y?f(t)

已知某日海水深度的数据如下：
t
（时）
0 3
13.0
6
9.9
9
7.0
12
10.0
15
13.0
18
10.1
21
7.0
24
10.0

10.0
y
（米）
经长期观察，
y ?f(t)
的曲线可近似地看成函数
y?Asin
?
t?b
的图象
（I）试根据以上数据，求出函数
y?f(t)?Asin
?
t?b
的振幅、最小正周期和表达
式；
（II）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5
米或
5
米以上时认为是安全的（船
舶停靠时，船底只需不碰海底即可） 。某船吃水深度（船底离水面的距离）为
6.5
米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问 ，它至多能在港内停留多长时间
（忽略进出港所需时间）？




22．（本小题满分14分）
?
?
已知向量
a?
?
2cos(?
?
),2sin(?
?
)
?
,b?cos( 90
?
?
?
),sin(90
?
?
?
)< br>
??
?
?
（I）求证：
a?b
；
?????
?
??
2
（II）若存在不等于
0
的实数k
和
t
，使
x?a?(t?3)b,y??ka?tb
满足x?y
。试
k?t
2
求此时的最小值。
t

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参考答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.B 8.A 9.D 10.B 11.D 12.D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．
y?3sin(2x?
?
4
)?1
14．
?
59
15．－8 16．③
72
三、解答题：
17．（本小题满分12分）
?3???
∴
?????
---------------1分
???
4424
?3?4
又
cos(??)??
∴
sin(??)?
---------------3分
45
45
?3?3?
∵
0???
∴
?????
-------------4分
444
3?53?12
又
sin(??)?
∴
cos(??)??
----------6分
413413
解：∵
∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] ----------------8分
=
?sin[(??)?(
?3?
??)]

44
?3??3?
??[sin(??)cos(??)?cos(??)sin(??)]
------10分
4444
4123563
-----------12分
??[?(?)??]?
51351365

















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18．（本小题满分12分）
??
13
解：（I）
y?2(sinx?cosx)
＝
2(sinxco s?cosxsin)

22
33
＝
2sin(x?
?
)
-----------2分
3
函数
f(x)
的周期为T＝
2
?
，振幅为2。 ----------------4分
（II）列表：

x



?
x?

3


?
y?2sin(x?)

3


?
?

3
?

6
?

2
2
?

3
7
?

6
3
?

2
5
?

3
0

?

2
?

0 2 0 -2 0


-----------------7分










图象如上。 ----------------9分
（III）由
2k
?
?

?
2
?x?
?
3
?2k
?
?
3< br>?
(k?Z)
解得： ---------10分
2
2k
?
?

?
6
?x?2k
?
?
7
?
(k?Z)
6

所以函数的递减区间为
[2k
?
?
19．（本小题满分12分） < br>?
6
,2k
?
?
7
?
],(k?Z)
-------12分
6
（I）由韦达定理得：
sin
?
? cos
?
?

3?1
----------1分
2
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∴
1?2sin
?
cos
?
?

23?43
∴
2sin
?
cos
?
?
---------2分
42
由韦达定理得
sin
?
?cos?
?
3
3
m
= ∴
m?
--------3分
2
2
4
（II）∵
1?2sin
?
cos
?
?(
1?3
2
3?1
)
∴
sin
?
?cos
?
??
---4分
2 2
∵
tan
?
sin
?
tan
?
?1?
cos
?
1?tan
?
=
sin
2
?
sin
?
?cos
?
?
cos
2
?cos
?
?sin
?


sin
2
=
?
?cos
2
?
sin
?
?cos
??sin
?
?cos
?
---------6分
∴原式=
sin
?
?cos
?
?
3?1
2 -----------------------7分
（III）
2sin
?
cos
?
?
3
2
>0
∵sin
?
与
cos
?
同号，又∵
sin
??cos
?
>0
∴
sin
?
与
cos
?
同正号 -------------------------8分
∵
?
∈（0，π） ∴
?
∈（0，
?
2
） ------------------9分
∵
sin
?
?cos
?
?
3?1
2
，且
sin
?
?cos
?
??
3?1
2

∴
sin
?
=
3
2
，
cos
?< br>=
11
3
2
；或
sin
?
=
2，
cos
?
=
2
--------11分
∴?
=
?
6
或
?
=
?
3
. ---------------------------12分
20．（本小题满分12分） < br>解：（I）∵
AC
=(cosα-3,sinα)，
BC
=(cosα ,sinα-3), --2分
∴|
AC
|=
(cos
?
?3)
2
?sin
2
?
?10?6cos
?
, < br>|
BC
|=
cos
2
?
?(sin
?
?3)
2
?10?6sin
?
. --------------4分
由|
AC
|=|
BC
|得sinα=cosα.
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又∵α∈(
5
?
?
3
?
,)，∴α=. ----------------------6分
4
2
2
BC
=-1, （II）由
AC
·
得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=
由上式两边 平方得1+2sinαcosα=
∴2sinαcosα=
?
2
---8分
3
4
,
9
5
. ----------------------------10分
9
2
2sin
?
?sin2
?
2sin
?
(sin
?
? cos
?
)
=2sinαcosα.
又
?
sin
?
1?tan
?
1?
cos
?
2sin
2
?
?sin2
?
5
??
. -------------------------12分
1?tan
?
9
21．（本小题满分12分）
解：（I）依题意有：最小正周期为： T=12 --------1分
∴
振幅：A=3，b=10，
?
?
2
??
?
---------2分
T6
y?f(t)?3sin(?t)?10
----------------------4分
6
（II）该船安全进出港，需满足：
y?6.5?5

?
?
1
?t)?10?11.5

sin(?t)?
---------6分
662
??
5
?
∴
2k
?
???t?2k
?
?k?Z

666
即：
3sin(
?
12k?1?t?12k?5k?Z
-----------------------8分
又
0?t?24

?1?t?5
或
13?t?17
------------10分
依题意：该船至多能在港内停留：
17?1?16
（小时） ----12分
22．（本小题满分14分）
?
?
解：由诱导公式得：
a??
2cos
?
,?2sin
?
?
,b?
?sin
?
,cos
?
)
?
-------2分
?

a?2
?
b?1
-------------------------3分
?
?
?
?（I）
a?b?2cos
?
?sin
?
?(?2sin
?
)?cos
?
?0
则
a?b
---------5分
?
????
?
2
（II）
x?a?(t?3)b,y??ka?tb


?
x
?
y

?x?y?0
-------------------------6分
??
??
?
? ?
?
2
即：
[a?(t?3)b]?[?ka?tb]?0

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?
2
?
2
?
?
22
?ka?[t?(t?3)(?k)]a?b?(t?3)tb?0

(t
2
?3)t
∴
?4k?(t?3)t?0
-----------------------9分
k?
4
k?t
2< br>t
2
?4t?3117
∴
f(t)???[(t?2)
2?7]?(t?2)
2
?
------12分
t4444
2
k?t
2
7
即当
t??2
时，的最小值为
?< br>. ---------------14分
t
4
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