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高中数学必修4第一章三角函数知识点总结
文献编辑者——周俞江
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时
针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则<
br>称
?
为第几象限角.
第一象限角的集合为
?
?
k?
360?
?
?k?360?90,k??
?
第二象限角的集合为<
br>?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
第
三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?27
0,k??
?
第四象限角的集合为
?
?
k?360?27
0?
?
?k?360?360,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
终边
在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?<
br>?
,k??
?
4、已知
?
是第几象限角,确定?
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n
等份
,再
n
*
从
x
轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、
四,则
?
原来是第几象限
对应的标号即为终边所落在的区域.
?
n
“唯一让你变得与众不同的天赋是持续不断的忍耐和坚持”
等分角所在象限的判断方法,在解决这类问题时,我们既可以采用常规的代数法,也<
br>可以利用数形结合思想,采用图示法巧妙对角所在的象限做出正确判断。
一、代数法
就是利用已知条件写出
?
的范围,由此确定角的范围,再根据角的范围确定所
?
n
?
?
nn
在的象限;
【例1】已知
?
为第一象限角,求
?
2
角所在的象限。
解:∵
?
为第一项限角
∴
k
?360
?
<
?
<k?360
?
?90
?
(k?Z)
k?180
?
<
?
2
<k?180
?
?45
?
(k?Z)
若
k
为偶数时:
则
k?2n(n
?Z)
,则
n?360
?
<
?
2
<n?360?
?45
?
(n?Z)
∴
?
2
角是第一象限角;
若
k
为奇数时:
则k?2n?1(n?Z)
,则
n?360
?
?180
?
<
?
2
<n?
360
?
?
225
?
(
n?Z
)
∴
?
2
角是第三象限角;
因此,
?
2
角是第一象限或第三象限角
【例2】已知
?
为第二项限角,求
?
2
角所在的象限。
解:∵
?
为第二项限角
∴
k?360?
?90
?
?
?
?k?360
?
?180?
(k?Z)
k?180
?
?45
?
?
?
?
2
?k?180?90
?
(k?Z)
若
k
为偶数时:
k?2n(n?
Z)
,则
n?360
?
?45
?
?
?
2<
br>?n?360
?
?90
?
∴
?
2
角是第一象限角;
(n?Z)
若
k
为奇数时:
k?2n?1(n?Z)
,则n?360
?
?225
?
?
?
?n?
360<
br>?
?
270
?
(
n?Z
)
2
∴ 角是第三象限角;
因此,角是第一象限或第三象限角
二、图示法
就是在平面直角坐标系中,将坐标系的每个象限
n
等分
,通过“标号”、“选号”
和“定象限”几个步骤最后确定角所在的象限;
【例3】已知
?
为第三项限角,求角所在的象限。
1 4 3 2
2 1
3 O 4
4 1 2 3
(图1)
?
2
?
2
?
n
?
3
解
:第一步:因为要求角所在的象限,所以画出直角坐标系,如图1所示,把每个
象限等分三等份; 第二步:标号,如图所示,从靠近
x
轴非负半轴的第一项限内区域开始,按逆时针
方向,在图中依次标上1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4;
第三步:因为
?
为第三项限角,所以在图中将数字3的范围画出,可用阴影表示;
第四步:定象限,阴影部分在哪一部分,角的终边就在那个象限;
由以上步骤可知,
?
为第三项限角,角为第一、第三或第四象限角。
【例4】已知
?
为第四项限角,求角所在的象限。
3 2
4 1
1 o 4
2 3
?
3
?
3
?
3
?
2
解:第一步:因为要求角所在的象限,所以画出直角坐标系,
(图2)
?
2
如图2所示,把每个象限等分二等份;
第二步:标号,
如图所示,从靠近
x
轴非负半轴的第一象限内区域开始,按逆时针
方向,在图中依次标
上1,2,3,4,1,2,3,4;
第三步:因为
?
为第四项限角,所以在图中将数字4的范围画出,可用阴影表示;
第四步:定象限,阴影部分在哪一部分,角的终边就在那个象限;
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数
的绝对值是
?
?
.
7、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360
,
1
?
?
180
l
r
?
2
,
1?
?
?
180
?
?
?57
.3
.
?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长为<
br>C
,面积为
S
,则
l?r
?
,
11
C?2r?l
,
S?lr?
?
r
2
.
22
9、设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的
坐标是
?
x,y
?
,它与原点的距离
ni
?
?,
cos
?
?
,
tan
?
?
?
x?0
?
.
是
rr?x
2
?y
2
?0<
br>,则
s
若在单位圆中,则有
sin
?
?y
,
cos
?
?x
,
tan
?
?
?
?
y
r
x
r
y
x
y
。
x
10、
三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切
为正,第四象限余弦为正
.
“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;
第三象
限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,
其余全部是“-”。
11、三角函数线:
sin
?
???
,
cos<
br>?
???
,
tan
?
???
.
O
y
P
T
M
A
x
12、同角三角函数的基本关
系:
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?;
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan?
cos
?
,cos
?
?
??
.
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?
cos
?
,
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
.
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?<
br>,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?<
br>.
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?co
s
?
,
tan
?
?
?
?
??tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
口诀:函数名不变,符号看象限.(注意:这
里都是以“π”“
2k
?
”开始的)
?
5
?
si
n
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
?
sin<
br>?
.
?
2
??
2
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
??
sin
?
.
?
2
??
2
?
?
?
6
?
sin
?
?<
br>?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.(注意:都是以“”开始的)
特别注意:以上
两个口诀可以合二为一“奇变偶不变,符号看象限”(其中奇偶是“”
的奇数倍还是偶数倍),对于太大
的角,可以先化小在利用“奇变偶不变,符号看象限”。
推算公式:3π2±α与α的三角函数值之间的关系:
3
?
3
?
+α)=-cosα
sin(
-α)=-cosα
22
3
?
3
?
cos(+α)=sinα
cos(
-α)=-sinα
22
?
2
?
2
si
n(
诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。
“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶
,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”
是指正弦变余弦,余弦变正弦”。(反之亦然成立
)“符号看象限”的含义是:把角α看
做锐角,不管α是多大的角,都必须“看成锐角”,不考虑α角所
在象限,看n·(π2)±α
是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。
14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来
的倍(纵
坐标不变),得到函数
y?sin
?
?
x?
??
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的
纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到函
数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
1
?
1
?
?个单位长度,得
?
到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
??
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩
短)到原来的
?
倍(横坐标不变),
得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y?Asin(wx?
?
)
的性质:
①振幅:
A
;②周期:
T?
w<
br>1
2
?
;③频率:
f??
;④相位:
?
x?
?
;⑤初相:
?
.
T2
?
W
0
0=0
0
1
0
sina
cosa
?
0
=30
6
1
2
3
2
3
3
?
0
=45
4
2
2
2
2
1
?
0
=60
3
3
1
2
2
3
0
?
0
=90
2
1
0
不存在
tana
角度
0=0
0
1
0
?
0
=90
2
1
0
?
?
180
0
-1
3
?
0
=270
2
-1
0
2
?
=360
0
1
0
sina
cosa
“终有一天,你会特别感谢今天努力的你”
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
y?sinx
y?cosx
y?tanx
图象
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
定义域
x?R
x?R
值域
当
x?
最值
?
2
y?
?
?1,1
?
y?
?
?1,1
?
y?
R
+
2k
?
(k?Z)
时,
当
x?2k
?
?<
br>k??
?
时,
y
max
?1
;
y
max
?1
;
既无最大值也无
最小值
当
x?-
+
2k
?
(k?Z)
时,
当
x?
?
+
2k
?
(k?Z)
时,
2
y
min
??1
.
y
min
??1
.
?
周期性
奇偶性
在
T?
2
?
T?
2
?
T?
?
奇函数 偶函数
在
?
-
??2k
?
,2k
?
?
(k?Z)
上
是增函数;
在
?
2k
?
,
?
?2k
?
?(k?Z)
是减
函数
奇函数
?
?
?
?-?2k
?
,?2k
?
(k?Z)
?
2?
2
??
?
在
?
?
-?k
?
,?k
?
?
?
22
?
??
单调性
上是增函数;
在
?
?
?2k
?
,
?
2<
br>?
k??
?
上是增函
数.
?
3
?
?
?2k
?
?
(k?Z)
2
?
x?k
?
(
k?Z
)
上是减函数.
对称轴
x?
对称中
心
?
2
?kπ
(k?Z)
k
?
,0)
(k?Z)
2
(k
?
,0)
(k?Z)
(?k
?
,0)
(k?Z)
2
?
(
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