高中数学必修四试卷

（考试时间：100分钟 满分：150分）
一、选择题
1.下列命题正确的是
A.第一象限角是锐角 B.钝角是第二象限角
C.终边相同的角一定相等 D.不相等的角，它们终边必不相同
2.函数
y??2sin(x?
A.
1
2
?
4
)
的周期，振幅，初相分别是
?
???
?
，
2
， B.
4
?
，
?2
，
?
C.
4
?
，
2
， D.
2
?
，
2
，
4
4444
1
?
3.如果
cos(
?
?A)??
，那么
sin(?A)?

22
1111
A. B. C. D.
2222
2005
4.函数
y?si n(
?
?2004x)
是
2
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
5.给出命题
（1）零向量的长度为零，方向是任意的.
rrrr
（2）若
a< br>，
b
都是单位向量，则
a
＝
b
.
uuuruuur
（3）向量
AB
与向量
BA
相等.
r
uuur
uuu
（4）若非零向量
AB
与
C D
是共线向量，则
A
，
B
，
C
，
D
四点共线.
以上命题中，正确命题序号是
A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4）
6.如果 点
P(sin2
?
，
cos2
?
)
位于第三象限， 那么角
?
所在象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
uuuruuuruuuruuur
CD?0，
AB?DC
，那么四边形
ABCD
的形状是 7.在四边形
ABCD
中，如果
ABg
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形
8.若
?< br>是第一象限角，则
sin
?
?cos
?
的值与
1的大小关系是

A.
sin
?
?cos
?
?1
B.
sin
?
?cos
?
?1

C.
sin
?
?cos
?
?1
D.不能确定
9.在△
ABC
中，若
sinC?2cosAsinB
，则此三角形必是
A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
10.如图，在△
ABC
中，
AD
、
BE
、
CF
分别是
BC
、
CA
、
AB< br>上的中线，它们交于
A
点
G
，则下列各等式中不正确的是
uuuruuur
uuur
2
uuur
A.
BG?BE
B.
CG?2GF

3
uu ur
1
uuurr
2
uuur
1
uuur
1
uuu
C.
DG?AG
D.
DA?FC?BC

2332

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
F
G
B
D
E
C

11.设扇形的周长为< br>8cm
，面积为
4cm
，则扇形的圆心角的弧度数是 .
2
3
，则
tan
?
?
.
5
rr
r
r
4sin
?
?2cos
?
13.已知
a?(3
，
1)
，
b?(sin
?，
cos
?
)
，且
a
∥
b
，则＝ .
5cos
?
?3sin
?
12.已知
tan
?
?2
，
tan(
?
?
?
)??
14.给出 命题：
uuuruuuruuur
（1）在平行四边形
ABCD
中，
AB?AD?AC
.
uuuruuur
（2）在△
ABC
中，若
ABgAC?0，则△
ABC
是钝角三角形.
uuur
1
uuuruuur
（3）在空间四边形
ABCD中，
E,F
分别是
BC,DA
的中点，则
FE?(AB?DC)
.
2
以上命题中，正确的命题序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）
已知
sin2
?
?
353
，
?
?[
?
,
?
]
.
542
（1）求
cos2
?
及
cos
?
的值；

（2）求满足条件
sin(
?
?x)?sin(
?
?x)?2cos
?
??









16.（本小题满分13分）
已知函数
f(x)?sin
10
的锐角
x
.
10
xx
?3cos
，
x?R
.
22
（1）求函数
f(x)
的最小正周期，并求函数
f(x)
在
x?[? 2
?
,2
?
]
上的单调递增区间；
（2）函数
f(x)?sinx(x?R)
的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数
f(x)的
图象.










17.（本小题满分13分）
已知电流
I
与时 间
t
的关系式为
I?Asin(
?
t?
?
)
.
（1）下图是
I?Asin(
?
t?
?
)< br>(
?
?0,
?
?
求
I?Asin(
?
t?
?
)
的解析式；
（2）如果
t
在任意一段?
2
)
在一个周期内的图象，根据图中数据
I
300
1
秒的时间内，电流
150
O
t

I?Asin(
?
t?
?
)
都能取得最大值和最小值，
?
那么
?
的最小正整数值是多少？











18.（本小题满分13分）
1

1

900
180
uuur
uuuruuur
已知向量
O A?(3,?4)
，
OB?(6,?3)
，
OC?(5?m,?3?m).
（1）若点
A,B,C
能够成三角形，求实数
m
应满足的条件；
（2）若△
ABC
为直角三角形，且
?A
为直角，求实数
m
的值.







19.（本小题满分13分）
uuuruuuruuuur
OA?(1,7)OB? (5,1)OM?(2,1)
，点
P
是直线
OM
上的一个 设 平面内的向量，，
uuuruuuruuur
动点，且
PAgPB??8
，求
OP
的坐标及
?APB
的余弦值.

20.（本小题满分13分）
rr
3x3xxx
?
已知向量
a?(cos,sin)
，
b?(cos,?sin)
，且
x?[,
?
]
.
22222
rr
rr
b
及
a?b
； （1）求
ag
rrrr
b?a?b
的最大值，并求使函数取得最大值时
x的值. （2）求函数
f(x)?ag








高中数学必修（4）试卷参考答案及评分标准
一、选择题
题号
答案
1
B
2
C
3
B
4
B
5
A
6
B
7
A
8
A
9
A
10
C
二、填空题
11. 2 12. -13 13.
三、解答题
5
14. （1）（2）（3）
7
35
?
，所以
?
?2
?
?3
?
. ………………………（2分）
22
4
2
因此
cos2
?
??1?sin2
?
??
. ………………………………（4分）
5
15.解：（1）因为
?
?
?
?
2
由
cos2
?
?2cos
?
?1
，得
cos
?
??
5
4
10
. ……………………（8分）
10
（2）因为
sin(
?
?x)?sin(
?
?x)?2cos
?
??
10
，
10

所以
2cos
?
(1?sinx)??
因为
x
为锐角，所以
x?
16.解：
y?sin
10
1
，所以sinx?
. ………………………（11分）
10
2
. ………………………………………………（13分）
?
6
xxx
?
?3cos?2sin(?)
.
2223
2
?
（1）最小正周期
T??4
?
. ……………………………………………（3分）
1
2
1
?
??
令
z?x?
， 函数
y?sinz
单调递增区间是
[??2k
?
,?2k
?
](k?Z)
.
2322
?
1
??
由
??2k
?
?x???2k
?
，
2232
5
??
得
??4k
?
?x??4k
?
,k?Z
. ………………………………（5分）
33
5
??
5
??
取
k?0
，得
??x?
，而
[?,]
?
[?2?
,2
?
]
，
3333
xx5
??
所以，函数
y?sin?3cos
，
x?[?2
?
,2
?< br>]
得单调递增区间是
[?,]
.
2233
…………………………………………………………………………（8分）
（2）把函数
y?sinx
图象向左平移
再把函数
y?s in(x?
?
?
，得到函数
y?sin(x?)
的图象，…（10分 ）
3
3
?
3
x
?
变，得到函数
y?si n(?)
的图象， …………………………………（11分）
23
)
的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不
然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即可得到函数
x
?
（13分）
)
的图象. ……………………………………… …………
23
11
17.解：（1）由图可知
A?300
，设
t
1
??
，
t
2
?
， ……………………（2分）
900180
111
?)?
则周期
T?2(t
2
?t
1
)?2(
， …………………………（4分）
18090075
2
?
?150
?
. ………………………………………………………（6分） ∴
?
?

T
11
?

t??
时，
I?0
，即
sin[150
?
?(?)?
?
]?0
，sin(
?
?)?0
.
9009006

y?2sin(?

而
?
?
?
2
， ∴
?
?
?
6
.
故所求的解析式为
I?300sin(150
?
t?
（2）依题意，周期
T?
?
6
（8分）
)
. ………… …………………
12
?
1
，即，
(
?
?0)
， …………………（10分）
?
150
?
150
*
∴
?
?300
?
?942
，又
?
?N
，故 最小正整数
?
?943
. ……………（13分）
uuur
uu uruuur
18.解：（1）已知向量
OA?(3,?4)
，
OB?(6, ?3)
，
OC?(5?m,?3?m)
，
r
uuur
uuu
若点
A,B,C
能构成三角 形，则这三点不共线，即
AB
与
BC
不共线. ……（4分）
uuuruuur

AB?(3,1)
，
AC?(2?m,1?m)
，
故知
3(1?m)?2?m
，
1
时，满足条件. …………………………………………………（8分）
2
uuur
（若根据 点
A,B,C
能构成三角形，必须任意两边长的和大于第三边的长，即由
AB

∴实数
m?
uuuruuur
?BC?CA
去解答，相应给分）
uuuruuur
（2）若△
ABC
为直角三角形，且
?A
为直角，则
AB?AC
， …………（10分）
∴
3(2?m)?(1?m)?0
，
解得
m?
uuur
19.解：设
OP?(x,y)
.
7
. …………………………………………………………………（13分）
4
∵点
P
在直线
OM
上，
uuuruuuuruuuur
∴
OP
与
OM
共线，而
OM
?(2,1)
，
uuur
∴
x?2y?0
，即
x?2y
，有
OP?(2y,y)
. ………………………………（2分）
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
∵
PA?OA?OP?(1?2y,7?y)
，
PB?OB?OP?(5?2y,1? y)
，……（4分）
uuuruuur
∴
PAgPB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)
，

uuuruuur
2
即
PAgPB?5y?20y?12
. …………………………………………………（6分）
uuuruuur
2
又
PAgPB??8
， ∴
5y?20y?12??8
，
uuur
OP?(4,2)
. ……………………………………（8分） 所以
y?2
，
x?4
，此时
uuuruuur

PA?(?3,5),PB?(1,?1)
.
uuuruuuruuuruuur
于是
PA?34,PB?2,PAgPB??8
. …………………………………（10分）
uuuruuur
PAgPB?8417
??
∴
cos?APB?
uu
. ………………………（13分）
uruuu r
?
17
34?2
PA?PB
rr
3xx3xx
2 0.解：（1）
agb?coscos?sinsin?cos2x
， ……………………（3分）
2222
rr
3xx3xx
?cos)
2
?(sin?sin)
2
………………………（4分）
a?b?(cos
2222

?2?2(cos
3xx3xx
cos?sinsin)

2222

?2?2cos2x?2cosx
…………………………………………（7分）
∵
x?[
?
2
rr
∴
a?b??2cosx
. …………………………………………………………（9分） < br>rrrr
b?a?b?cos2x?2cosx?2cos
2
x?2cosx? 1
（2）
f(x)?ag

?2(cosx?)?
∵
x?[
,
?
]
， ∴
cosx?0
.
1
2
2
3
…………………………………………………（11分）
2
?
2
,
?
]
， ∴
?1?cosx?0
， ……………………………………（13分）
∴当
cosx??1
，即
x?
?
时
f
max
(x)?3
. ………………………………（15分）