高中数学必修4难度-高中数学求三角面积
北师大高中数学必修四知识点
第一章 三角函数
<
br>?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按
顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、象
限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落
在第几象限,就是
第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何
象限,叫做轴线角。
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?
第四象限角的集合为
?
?k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
终
边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?<
br>
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?
90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
3、与角
?
终边相同的角,连同角
?
在内,都可以表示为
集合{
?
|
?
?
?
?k?360,k?Z
}
4、弧度制:
(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。
半径为<
br>r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
(2)度数与弧度数的换算:
180?
?<
br> rad,1 rad
?(
?
?
l
.
r
1
80
?
)
?
?57.30
?
?57
?
18
'
(3)若扇形的圆心角为
?
(
?
是角的弧度数
),半径为
r
,则:
- 1 -
弧长公式:
l?|
?
|r
;扇形面积:
S?
5、三角函数:
11
lr??|
?
|r
2
22
y
(1)定义:①设
α
是一个任意角,它的终边与单
位圆交于点
P
(u,v),
那么v叫做
α
的正弦,记作sinα
,即sin
α
= v;u叫做
α
的余
弦,记作cos
α
,即cos
α
=u; 当
α
的终
边不在y轴上时,
做
α
的正切,记作tan
α
,
即tan
α
=
P(u,v)
o
x
v
叫
u
y
P(x,y)
o
x
v
.
u
②设
?<
br>是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标
是?
x,y
?
,它与原点的距离是
rOP?r?
则
sin
?
?
?
x
2
?y
2
?0
, ?
yxy
,
cos
?
?
,
tan
?<
br>?
?
x?0
?
rrx
(2)三角函数值在各象限的符号:
y
y
y
_
_
+
+
+
+
_
+
二正三切四余弦.
_
+
_
O
_
x
O
x
O
x
口诀:第一象限全为正;
sin
?
cos
?
tan
?
(3)特殊角的三角函数值
?
的角度
0?
0
30?
45?
60?
90?
120?
135?
150?
180?
?
的弧度
sin
?
cos
?
?
6
1
2
3
2
3
3
?
4
2
2
2
2
?
3
3
2
?
2
1
0
2
?
3
3
2
3
?
4
2
2
5
?
6
?
0
0
1
2
1
0
1
2
?
1
?
2
?
3
2
22
?1
0
tan
?
1
3
不存在
?3
?1
?
3
3
?
的角度
210?
225?
240?
270?
300?
315?
330?
360?
- 2 -
?
的弧度
sin
?
7
?
6
5
?
4
4
?
3
3
?
2
5
?
3
7
?
4
11
?
6
2
?
0
1
3
2
?
?
?
2
2
2
1
3
2
?
?
?
2
2
2
3
3
?1
1
3
2
?
?
?
2
2
2
cos
?
0
1
2
2
2
3
2
?
3
3
1
0
tan
?
1
3
不存在
?3
?1
6、三角函数的诱导公式:
?
1<
br>?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
2k
?
?
?<
br>?
?tan
?
?
k??
?
.
口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.
?
2
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
??
?
?
?cos
?
,
tan
?
??
?
??tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
ta
n
?
?
?
?
?
??tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
??s
in
?
,
cos
?
?
?
?
?
??
cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
.
?
5
?
sin
?
2
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
2
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
2
?
?
?
?
??tan
?
.
口诀:函数名称不变,正负看象限.
?
6
?
sin
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
cos
?
,
cos
?
?
?
?
?sin?
,
tan
?
?
?
?
?cot
?.
?
2
?
?
2
??
2
?
?
?
7
?
sin
?
?
??
?
??<
br>?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos<
br>?
?
?
?
??sin
?
,
tan
?
?
?
?
??cot
?
.
?
2
?
?
2
??
2
?
?
口诀:正弦与余弦互换,正负看象限.
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
y?sinx
y?cosx
y?tanx
-
3 -
图
象
定
义
域
值域:
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
值域:
?
?1,1
?
值域:
R
R
R
??
?
?
xx?k
?
?,k??
?
2
??
值
域
?
2
?
k??
?
时,
?
2
当
x?2k
?
?
k??
?
时,
既无最大值也无最小值
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
y
max
?1
;当
x?2k
?
?<
br>?
?
k??
?
时,
y
min
??1
. 周期为
y?sinx
是周期函数;
?
k??
?
时,y
min
??1
.
y?cosx
是周期函数;周期
周
y?tanx
是周期函数;周
期
T?2k
?
,k?Z
且
k?0
;
为
T?2k
?
,k?Z
且
k?0
; 期为
T?k<
br>?
,k?Z
且
最小正周期为
2
?
性
最小正周期为
2
?
奇
偶
性
在
?
2k
?
?
单
调
奇函数
k?0
;最小正周期为
?
偶函数 奇函数
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
?
2
?
?
k??
?
上是增函数;在
在<
br>?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上
是增函数;在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?
2
?
?
3
?
??
2k
?
?
,2k
?
?
?
22
性
?
??
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
- 4 -
对
称
对称中心
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
对称轴
x?k
?
?
对称
中心
?
2
?
k??
?
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?
?
2<
br>??
对称轴
x?k
?
?
k??
?
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?
无对称轴
性
8、函数
y?A
sin(
?
x?
?
)?b(A?0,
?
?0)
的相
关知识:
(1)
y??sin
?
?
x?
?
??b
的图象与
y?sinx
图像的关系:
①振幅变换:
y?sinx
图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的
A
倍
y?Asinx
图象上每个点的横坐标变为原来的
1
?
倍,纵坐标不变
②周期变换:
y?sinx
y?sin
?
x
图象整体向左(
?
?
0
)或向右(
?
?0
)平移
?
个单位
③相位变换:
y?sinx
y?sin(x?
?
)
图象整体向上(
b?0
)或向下(
b?0
)
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
④平移变换:
y?Asin(
?
x?
?
)
b
先平移后伸缩:
函数
y?sinx
的图象整体向左(<
br>?
?0
)或向右(
?
?0
)平移
?
个单位,
得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函
数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上每个点的横坐标变为原<
br>来的
1
倍,纵坐标不变,得到函数
y?sin
?
?
x
?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x??
?
的图
?
象上每个点的纵坐标变为原来的
?
倍,横坐
标不变,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图
象;再
将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的
图象整体向上(
b?0
)或向下(
b?0
)平移
b
个单位,
得到函
数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
.
先伸缩后平移:
函数
y?sinx
的图象上每个点的横坐标变为
原来的
1
倍,纵坐标不变,得到
?
函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象整体向左(
?
?0
)或向右(
?
?0
)平
移
?
个单位,
得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函
数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上每个点
?
- 5 -
的纵坐标变为原来的
?
倍,横坐
标不变,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图
象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象整体
向上(
b?0
)或向下(
b?0
)平移
b
个单位,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
. (2)函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b
①振幅:<
br>?
;②周期:
??
定义域:
R
值域:
?
?A?b,A?b
?
当
?
x?
?
?2k
?
?
当
?
x?
?
?2k
?
?
(A?0,
?
?0)
的性质:
;③频率:<
br>f?
2
?
?
1
?
;④相位:
?
x?
?
;⑤初相:
?
.
?
?2
?
?
2
?
k??
?
时,
y
max
?A?b
;
?
k??
?
时,
y
min
??A?b
.
(A?0,
?
?0)
是周期函数;周期为
T?
?
2
周期性:函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b
单调
性:
?
x?
?
在
?
2k
?
?
2<
br>?
?
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
k??
?
上时是增函数;
?
?
2
?
?
x?
?
在
?
2k
?
?对称性:对称中心为
?
?
?
?
2
,2k?
?
3
?
?
?
k??
?
上时是减函数
.
2
?
?
?
?
k
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?
;对称轴为
?
x?
?
?k
?
?
?
k??
?
2
?
?
?
第二章 平面向量
1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示.
2、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作
0
;零向量的方向是任意的.
e??
3、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量
a
平行的单位
向量:
a
|a|
.
4、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量
叫平行向量也叫共线向量,记作
ab
;
规定
0
与任何向量平行.
- 6 -
5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等.
注意:
任意两个相等的非零向量,
都可以用同一条有向线段来表
示,并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点:
起点相同
⑶运算性质:
①交换律
:
a?b?b?a
;②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0
?0?a?a
.
⑷坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y1
?y
2
?
.
7、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?<
br>?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
????
C
a
b
?
?
a?b??C?????C
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
8、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a?
?
a
;
- 7 -
②当
?
?0
时,
?
a
的
方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;
当
?
?0
时,
?
a?0
.
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?<
br>?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b<
br>.
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,<
br>?
y
?
.
9、向量共线定理:向量
aa?0
与b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a.
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b
?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y1
?0
时,向量
a
、
bb?0
共线.
10、
平面向量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不
共线向量,那么对于这一平面内
的任意向量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?
1
e
1?
?
2
e
2
.(不共线的向量
e
1
、
e
2
作为
这一平面内所有向量的一组基底)
11、分点坐标公式:
设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y<
br>1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,
当
?
1
??
?
??
2
时,点
?<
br>的坐标是
?
12、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
??
??
??
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
?
.
1?
?
1?
?
??
??
.零向量与任一向量的数量积为
0
.
2
⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?
0
.②当
a
与
b
同向时,
a?b?ab
;
当
a
与
b
反向时,
a?b??ab
;
a?a?a?
a
或
a?a?a
.③
a?b?ab
.
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c
.
⑷
坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?<
br>,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
. 若
a?
?
x,y
?
,则
a?x?y
,或
a?
22
2
2
??????
x
2
?y
2
.
设
a?
?
x
1
,y
1
?,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角
,则
- 8 -
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
.
第三章 三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
(1)平方关系:
sin
?
?cos
?
?1
(2)商数关系:
tan
?
?
(3)倒数关系:
tan
?
cot
?
?1
22
sin
?
cos
?
tan
2
?
1
2
sin
?
?
;
cos
?
?
2<
br>1?tan
2
?
1?tan
?
2
注意:
sin
?
,cos
?
,tan
?
按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
:
sin(
?
?
?
)?
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
S
(
?
?
?
)
:
sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:<
br>cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a?
?
)?cos
?
cos
??sin
?
sin
?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?<
br>?
?
)?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan<
br>?
1?tan
?
tan
?
ta
n
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
正切和公式:
tan
?
?tan
?
?tan(
?<
br>?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)
3、辅助角公式:
asinx?bcosx?a
2
?b
2
??
??
ab
?
sinx?cosx
?
222
2
a?b
?
a?b
?
?a
2
?b
2
(sinx?cos
?
?cosx?sin
?
)?a
2
?
b
2
?sin(x?
?
)
(其中
?
称为
辅助角,
?
的终边过点
(a,b)
,
tan
?
?<
br>4、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
b
)
a
- 9 -
S
2
?
:
sin2
?
?2sin
?
cos
?
C
2
?
:
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1
T
2
?
:
tan2
?
?
2tan
?
2
1?tan
?
2|sin
?
|
,
1?cos2
?
?2|cos
?
|
; 二倍角公式的常用变
形:①、
1?cos2
?
?
②、
1
?
1
c
os2
?
?|sin
?
|
,
1
?
1<
br>cos2
?
?|cos
?
|
2
2
22
4422
sin
2
2
?
③、
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?
?1?
;
2
cos
4
?
?sin
4
?
?cos2
?
;
降次公式:
sin
?
cos<
br>?
?
11?cos2
?
11
sin2
?
sin
2
?
???cos2
?
?
222
2
1?cos2
?
11
cos
2
?
??cos2<
br>?
?
222
5、半角的正弦、余弦和正切公式:
sin<
br>?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
? ;
cos??
,
222
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
??
1?cos?
sin
?
1?cos
?
tan
?
2
??
6、同角三角函数的常见变形:(活用“1)”
22
①
sin
?
?1?cos
?
;
sin
?
??1?cos
2
?
;
cos
2
?
?1?sin
2
?
;
cos
?
??1?sin
2
?
;
cos
2
?
?sin
2
?
2
?
②
tan
?
?cot
?
?
,
sin
?
cos
?sin2
?
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
cot
?
?tan
?
???2cot2
?
sin
?
cos
?
sin2
?
③
(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin?
cos
?
?1?sin2
?
;
1?sin2
?
?|sin
?
?cos
?
|
7、补充公式:
- 10 -
①万能公式
2tan
sin
?
?
1?tan
②积化和差公式
?
2
?
2
2
1?tan
?
2
;
tan
?
?
2
;
cos
?
?
2
1?tan
2
?
2tan
2
1?tan
?2
?
2
1
[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]
2
1
cos
?
sin
?
?
[sin(
?
??
)
?
sin(
?
?
?
)]
2
1
cos
?
cos
?
?
[cos(
?
?
?
)
?
cos(
?
??
)]
2
1
sin
?
sin
?
??
[cos(
?
?
?
)
?
c
os(
?
?
?
)]
2
sin
?
cos
?
?
③和差化积公式
sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
22
?
?
??
?
?
sin
?
?sin
?
?2cossin
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2coscos
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
??2sinsin
22
cos
?
?
?
- 11 -