高中数学必修4知识点及其配套习题

高中数学必修4知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象
限，则称
?
为第几象限角． ??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180, k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k ??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360< br>?
?
?
?k?360
?
?90
?
,k??< br>
????
????
????
?
??
?
?< br>4、已知
?
是第几象限角，确定
?
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等
n
*
份，再从
x< br>轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来
?
是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
l
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
．
r
?
180?
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1 ?
，
1?
?
?57.3
?
．
?
180< br>?
?
?
?
?
?
?
8、若扇形的圆心角为?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，
11
则
l? r
?
，
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
．
22
9、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边 上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点
yx y
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为 正，第二象限正弦为正，第三象限
正切为正，第四象限余弦为正．
y
11、三角函数 线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?
?
?
12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
?
?cos
?
?1

22
P
T
OM
A
x

第 1 页 共 1 页

2
?
sin
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
?
2
?
sin
?
?tan
?

cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?< br>．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?co s
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
?
??
?
?
，
5sin?
?
?cos
?
cos
??
???
?
?
?
?sin?
．
?
2
??
2
?
?
6
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
??cos
?
，
cos
?
?
?
?
??s in
?
．
?
2
??
2
?
?
口诀 ：正弦与余弦互换，符号看象限．
（其中A?0，
?
?0）
14．函数y?Asin(
?
x?
?
)?B

最大值是
A ?B
，最小值是
B?A
，周期是
T?
2
?
?
，频率是
f?
?
，相位是
?
x?
?
，
2
?
初相是
?
；其图象的对称轴是直线
?
x?
??k
?
?
y?B
的交点都是该图象的对称中心。
?
2
(k?Z)
，凡是该图象与直线

y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
最高点－最低点
①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；
2
最高点＋最低点
②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝；
2
2π
③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω； ω
④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B
，然后根据
φ
的范围确定
φ
φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与 x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－
(即
ω
φ
令ωx＋φ＝0，x＝－) 确定φ.

ω
15.三角函数的伸缩变化
先平移后伸缩
向左(
?
>0)或向右(
?
?0)
????????

y?sinx
的图象
平移
?
个单位长度
?
得y?sin(x?
?
)
的图象
?????????
1
到 原来的(纵坐标不变)
?
横坐标伸长(0<
?
<1)或缩短(
?>1)

第 2 页 共 2 页

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0?
得
y?sin(
?
x?
?
)
的图象
?????????
为原来的A倍(横坐标 不变)
?
得
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
???????
平移k个单位长度
向上(k?0)或向下(k?0)
得
y?Asin(x?
?
)?k
的图象．
先伸缩后平移
?

y?sinx
的图象
?????????
为原来的A倍 (横坐标不变)
横坐标伸长(0?
?
?1)或缩短(
?
?1)
??????????
得
y?Asinx
的图象
1
到原来的(纵 坐标不变)
纵坐标伸长(A?1)或缩短(0?A?1)
?
向左(
?
?0)或向右(
?
?0)
????????

?
得
y?Asin(
?
x)
的图象
平移
?
个单位
?得
y?Asin(
?
x?
?
)?k
的图象．得
y?Asinx(
?
x?
?
)
的图象
???????

平移k个单位长度
16．由
y
＝
A
sin(ω
x
＋
?
)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式
y
=< br>A
sin（ω
x
+
?
）的题型，有时从寻找“五点”中的第一
零点（－
?
，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
．．
?
向上(k?0)或向下(k?0)
17．求三角函数的周期的常用方法： < br>经过恒等变形化成“
y?Asin(
?
x?
?
)
、< br>y?Acos(
?
x?
?
)
”的形式，在利用
周期公 式，另外还有图像法和定义法。
2π
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，
|ω|
π
y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .
|ω|
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
数
性
y?cosx

y?tanx

y?sinx


质

图
象


定
义
域
值
域

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
?
?1,1
?

?
k??
?
?
?1,1
?

R

?
最
当
x?2k
?
?
2
值

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小
值

第 3 页 共 3 页

时，
y
max
?1
；当
x?2 k
?
?
y
max
?1
；当
x?2k
??
?

?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
2
?

2
?

奇函数 偶函数 奇函数
??
??
在?
2k
?
?,2k
?
?
?

22??
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
在
k
?
?,k
?
?
上是增函数；在
k??
?
单
?
上是增函数；在
??

22
??
调
?
2k
?
,2k
?
?
?< br>?

?
3
?
?
性
?
2k
?
?,2k
?
?
?

?
k??
?
上是增函数．
?
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心对称中心
对
?
k
?
,0
??
k??
?

称
对称
性
?
x?k
?
?
?
k??
?

2< br>对称中心
轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
无对称轴
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．

单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．




?
?
?
?
?
?
⑶三角形不等 式：
a?b?a?b?a?b
．
?
??
?
⑷运算性质：① 交换律：
a?b?b?a
；②结合律：
?
a


C


?

?
?
??
??
?
??
??
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0 ?a?a
．
???
?
b

?


?


第 4 页 共 4 页
?????
?
?
???????
a?b??C?????C

?
?
?
?
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
?
?
?
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1< br>,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
????
设
?、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2?
．
19、向量数乘运算：
??
⑴实数
?
与向量< br>a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
????
??
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相 同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向 相反；当
?
?
?
?0
时，
?
a?0
． < br>?
?
?
?
?????
⑵运算律：①
?
??
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
??< br>⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?y
?
．
?
?
?
?
??
?
?
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个 实数
?
，使
b?
?
a
．
??
bb?0< br>设
a?
?
x
1
,y
1
?
，其中b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
b?
?
x
2
,y
2
?
，
共线．
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
???
21、平面向量 基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量 ，那么对于这一平面
??
???
?????
?
?
内的任意向 量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
（不共线的向量
e
1
、
e
2
作
2
e
2
．
为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，
????????
?< br>x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
当
?
1
??
?
??
2
时，点< br>?
的坐标是
?
1
,
?
．
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积：
?
?
?
?
?
?
?
?
??
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与 任一向量的数量积为
0
．
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?b?ab
；⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
???
2
?
2< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>???
当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
??
?
a
?
a?b?
?
a?b?a?< br>?
b
a?b?b?a
⑶运算律：①；②
??
；③
?b ?c?a?c?b?c
．
????
??
?
?
?
?
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1< br>?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
22
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x ?y
，或
a?
?
?
2
?
x
2
?y
2
．
?
?
?
?
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2
?0
．

第 5 页 共 5 页

?
?
?
?
?
?
设a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
, y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
?
?
?
．
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
24 、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
si n
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan
??
?
?
?
?
tan
?
?tan
?（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?< br>?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
1?cos2
?
）．
2
（
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
，
sin
2
?
?
⑶
tan2
?
?
2tan
?
．
1?t an
2
?
?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
．
?
26、
?sin
?
??cos
?
?
对于 形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：
y=asinx=bcosx
?a
2
?b
2
(sinx·
b
a
a?b
22< br>?cosx·
a
a?b
22
b
a?b
22
)
。由于上式中的
b
a?b
22
a
a?b
22
与
a?b
22
的平方和为1，故可记=cosθ，=sinθ，则
y?a
2
?b
2
(sinxcos??cosxsin?)
?a?bsin (x??)。
22

由此我们得到结论：asinx+bcosx=
a
2
?b
2
sin(x?
?
)
，（*）其中θ由
a
a?b
22
?cos
?
,
b
a?b
22< br>?sin
?
来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的 函数问题，最终化为y=Asin(
?x??
)+k
的形式。


正弦定理和余弦定理

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abc
1．正弦定理：
sin A
＝
sin B
＝
sin C
＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦
定理可以变形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
abc
(3)sin A＝
2R
，sin B＝
2R
，sin C＝
2R
等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos_A，b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos_B，c
2
＝a
2
＋b
2
－
b
2
＋c
2
－ a
2
a
2
＋c
2
－b
2
2abcos_C ．余弦定理可以变形为：cos A＝
2bc
，cos B＝
2ac
，cos C
a
2
＋b
2
－c
2
＝
2ab
.
111abc1
3．S
△
ABC
＝
2
absin C＝
2
bcsin A＝
2
acsin B＝
4R
＝
2
(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆
半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，
则

A为锐角
A为钝角或
直角
图形

关系
式
解的
个数
a＜bsin A

a＝bsin A

bsin A＜a＜b a≥b

a＞b

a≤b
无解 一解 两解 一解 一解 无解

一条规律
在三角形中，大角对大 边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角
也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?s in A＞sin B.
两类问题
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两 角及任一边，求其它边或
角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一 解、两
解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三
边和其 他两角；(2)已知三边，求各角．
两种途径

第 7 页 共 7 页

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
双基自测
1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．
A．52
106
C.
3

B．102
D．56
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
ac
由正弦定理得：
sin A
＝
sin C
，
10c106
即＝.∴c＝
3
.答案 C
32
22
sin Acos B
2．在△ABC中，若
a
＝
b
，则B的值为( )．
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析 由正弦定理知：
sin Acos B
.答案 B
sin A
＝
sin B
，∴sin B＝cos B，∴B＝45°
3．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )．
A．30° B．45° C．60° D．75°
b2
＋c
2
－a
2
1＋4－3
1
解析 由余弦定理得：cos A＝
2bc
＝＝，
2×1×2
2
∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案 C
1
4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝
3
，则△ABC的面积为( )．
A．33 B．23 C．43 D.3
122
解析 ∵cos C＝，0＜C＜π，∴sin C＝，
33
1122
∴S
△
ABC
＝
2
absi n C＝
2
×32×23×
3
＝43.
答案 C
5．已 知△ABC三边满足a
2
＋b
2
＝c
2
－3ab，则此三角 形的最大内角为________．
解析 ∵a
2
＋b
2
－c
2
＝－3ab，
a
2
＋b
2
－c
2
3
∴cos C＝
2ab
＝－
2
，
故C＝150°为三角形的最大内角．答案 150°

第 8 页 共 8 页

考向一 利用正弦定理解三角形
【例1】?在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.
ab32
解 由正弦定理得
sin A
＝
sin B
，
sin A
＝
sin 45°
，
3
∴sin A＝
2
.
∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
6＋2
bsin C
c＝
sin B
＝
2
；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
6－2
bsin C
c＝
sin B
＝
2
.
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代
入求解即可．
(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意
讨论该角，这是解题的难点， 应引起注意．
π
【训练1】 在△ABC中，若b＝5，∠B＝
4
，tan A＝2，则sin A＝______a＝________.
解析 因为△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，
sin A
且
cos A
＝2，sin
2
A＋cos
2
A＝1，
25ab
联立解得sin A＝
5
，再由正弦定理得
sin A
＝
sin B
，
代入数据解得a＝210.答案
25
5
210
考向二 利用余弦定理解三角形
cos Bb
【例2】?在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
cos C
2a＋c
(1)求角B的大小；
(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．
cos Bb
[审题视点] 由
cos C
＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解．
2a＋c
a
2
＋c
2
－b
2
解 (1)由余弦定理知：cos B＝
2ac
，
a
2
＋b
2
－c
2
cos C＝
2ab
.

第 9 页 共 9 页

cos Bb
将上式代入
cos C
＝－得：
2a＋c
a
2
＋c
2
－b
2
2abb
·，
222< br>＝－
2ac
a＋b－c2a＋c
整理得：a
2
＋c
2
－b
2
＝－ac.
a
2
＋c
2
－b2
－ac
12
∴cos B＝
2ac
＝
2ac
＝－
2
.∵B为三角形的内角，∴B＝
3
π.
(2)将b＝13，a＋c＝4，
2
B＝
3
π代入b
2< br>＝a
2
＋c
2
－2accos B，
得b
2
＝(a＋c)
2
－2ac－2accos B，
1
?
133
?
1－
??
∴13＝16－2ac
2?
，∴ac＝3.∴S
△
ABC
＝
2
acsin B＝
4
.
?
【训练2】 已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的 边分别为a，b，c，
A
且2cos
2

2
＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．
A
解 (1)由2cos
2
＋cos A＝0，
2
得1＋cos A＋cos A＝0，
12π
即cos A＝－
2
，∵0＜A＜π，∴A＝
3
.
(2)由余弦定理得，
2π
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，A＝
3
，
则a
2
＝(b＋c)
2
－bc，
又a＝23，b＋c＝4，
有12＝4
2
－bc，则bc＝4，
1
故
△
ABC
＝
2
bcsin A＝3.
考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】?在△ABC中，若(a
2＋b
2
)sin(A－B)＝(a
2
－b
2
)sin C，试判断△ABC的形
状．
[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．
解 由已知(a
2
＋b
2
)sin(A－B)＝(a
2－b
2
)sin C，
得b
2
[sin(A－B)＋sin C]＝a
2
[sin C－sin(A－B)]，

第 10 页 共 10 页

即b
2
sin Acos B＝a
2
cos Asin B，
即sin
2
Bsin Acos B＝sin
2
Acos Bsin B，所以sin 2B＝sin 2A，
由于A，B是三角形的内角．
故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.
故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，
π
即A＝B或A＋B＝
2
.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定 理进行边角的统
一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之
间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三
边的关系．
abc
【训练3】 在△ABC中，若
cos A
＝
cos B
＝
cos C
；则△ABC是( )．
A．直角三角形
C．钝角三角形
B．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析 由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆半
径)．
sin Asin Bsin C
∴
cos A
＝
cos B
＝
cos C
.
即tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
答案 B
考向三 正、余弦定理的综合应用
【例3】?在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已 知c＝2，
π
C＝
3
.
(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
解 (1)由余弦定理及已知条件，得a
2
＋b
2
－ab＝4.
1
又因为△ABC的面积等于3，所以
2
absin C＝3，得ab＝4， 联立方程组
22
?
a＋b－ab＝4，
?
a＝2，
?
解得
?

?
ab＝4，
?
b＝2.

(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，
即sin Bcos A＝2sin Acos A.

第 11 页 共 11 页

ππ
当cos A＝0，即A＝
2
时，B＝
6
，
4323
a＝
3
，b＝
3
；
当cos A≠0时，得sin B＝2sin A，
由正弦定理，得b＝2a.
22
?
a＋b－ab＝4，
联立方程组
?

?
b＝2a，

23
?
a＝
?
3
，
解得
?
43
?
b＝
?
3
.


123
所以△ABC的面积S＝
2
a bsin C＝
3
.
4
【训练3】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝
5
，
b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
43
解 (1)因为cos B＝
5
，所以sin B＝
5
.
aba10
由正弦定理
sin A
＝
sin B
，可得
sin 30°
＝
3
，
5
所以a＝
3
.
13
(2)因为△ABC的面积S＝
2
ac·sin B，sin B＝
5
，
3
所以
10
ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B，
8
得4＝a
2
＋c
2
－
5
ac＝a
2
＋c
2
－16，即a
2
＋c
2
＝20.
所以(a＋c)
2
－2ac＝20，(a＋c)
2
＝40.
所以a＋c＝210.
【示例】?在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对 的边长，a＝3，b
＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
正解 ∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，

第 12 页 共 12 页

π
∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝
3
.
ab
在△ABC中，根据正弦定理
sin A
＝
sin B
，
∴sin B＝
bsin A2
＝
a2
.
π
5
∵a＞b，∴B＝
4
，∴C＝π－(A＋B)＝
12
π.
∴sin C＝sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A
6＋2
2123
＝
2
×2
＋
2
×
2
＝
4
.
6＋23＋1
∴BC边上的高为bsin C＝2×
4
＝
2
.
【试一试】 △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B
＋bcos
2
A＝2a.
b
(1)求
a
；
(2)若c
2
＝b
2
＋3a
2
，求B.
(1)由正弦定理得，
sin
2
Asin B＋sin Bcos
2
A＝2sin A，即
b
sin B(sin
2
A＋cos
2
A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以
a
＝2.
(2)由余弦定理和c
2
＝b
2
＋3a
2
，得cos B＝
由(1)知b
2
＝2a
2，故c
2
＝(2＋3)a
2
.
12
可得cos
2
B＝
2
，又cos B＞0，故cos B＝
2
，所以B＝45°.


?1＋3?a
2c
.

第 13 页 共 13 页