高中数学我必修4知识点总结及练习

高中数学必修4知识点总结
第一章 三角函数（初等函数二）
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形 成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则
称?
为第几象限角．
第一象限角的集合为
?
k?360?
??k?360?90,k??

第二象限角的集合为________________________________;
第三象限角的集合为_________________________________
第四象限角的集合为___________________________________
终边在
x
轴上的角的集合为
??
?k?180,k??

终边在
y
轴上的角的集合为_______________________
终边在坐标轴上的角的集合为________________________
3、与角
?
终边相同的角的集合为________________________
4、 已知
?
是第几象限角，确定
??
??
?
n??
?< br>所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份，
?
n
*
再 从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来是第 几象
?
限对应的标号即为终边所落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
l
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
．
r
7、弧度制与角度制的 换算公式：
2
?
?360
，
1?
?
180
?
，
1?
?
?57.3
．
?
180
?< br>?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度 制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
， 面积为
S
，则
11
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
．
22
9、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?< br>x,y
?
，它与原点的距
离是
rr?x
2
?y
2
?0
?
?
，则
sin
?
?_________ __
，
cos
?
?___________
，
tan
?
?___________
?
x?0
?
．
10、三角 函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切
为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：
sin
?
???
，
co s
?
???
，
tan
?
???
．
12、同角三角函数的基本关系：
(1)平方关系：_____________________；
变形：

（2）商数关系：_______________；
变形 ：

13、三角函数的诱导公式：
y
P
T
OM
A
x< br>?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?_________
，
cos
?
2k
?
?< br>?
?
?________
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?__________
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
?_________，cos
?
?
?
?
?
?__ _______，tan
?
?
?
?
?
?________．
?
3
?
sin
?
?
?
?
?___ ______
，
cos
?
?
?
?
?_______ _
，
tan
?
?
?
?
?_________
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?__________，cos
?
?
?
?
?
?_ _________，tan
?
?
?
?
?
?_______ ．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?_________
，
cos
?
?
?
?
?_____--
．
?
2
??
2
?
??
?
?
?
?
?
?______
，
cos
?
?
?
?
?_______
．
?
2
??
2
?
?< br>?
6
?
sin
?
?
?
口诀：正弦与余弦互换 ，符号看象限．
14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右）平移_____ _个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再 将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的_____ _伸长（缩短）
到原来的______倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
??
x?
?
?
的图象；再将函数
，
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的___倍 （横坐标不变）
得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来 的____倍（纵坐标不变），
得到函数
y?sin
?
x
的图象；再 将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移_____
个 单位长度，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图 象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所 有
点的纵坐标伸长（缩短）到原来的___倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的

图象．
函数y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
??0
?
的性质：①振幅：______；②周期：_______；
③频率：__________；④相位：_______；⑤初相：_______．
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，若当< br>x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x< br>2
时，取得最大
11?
?
y
max
?y
mi n
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
．
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

y?tanx

y?sinx

数
性
值为
y
max
，则
??
质
图象

定义
域
值域




R


?
?1,1
?

当x?_____
?
k??
?
时，当x?_____
?
k ??
?
时，
y
max
?___
；当
y< br>max
?_____
；
最值
x?______
< br>?
k??
?
时，
y
min
当
x?_____
?
k??
?
时，
?___
．
y
min
??1
．
既无最大值也无最小值
2
?

周期
性
奇偶
性
在_________________

偶函数
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上


?
k??
?
上是增函数；
单调
在________________
性

是________________；在在_____________
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是__________．
对称中心_________

对称轴_________
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心___________
对称

性
对称轴___________

对称中心________
无对称轴

1.

sin330??
____________________________
< br>2a?3
2.已知
cosx?
，且x是第二、三象限角，则a的取值范围是__ ______

4?a
1
3.已知
?
是第二象限的角，tan
?
??
，则
cos
?
?
_______ ____
2
2sin
?
?cos
?
4.若
tan
?
?2
，则
的值为__________________
sin
?
?2cos
?
5.已知
tan
?
?2
， 则
sin
?
?sin
?
cos
?
?2cos
?
?
________
22
6.已知
cos(
?
2
?
?
)?
3
?
，且
|
?
|?
，则
tan
?
?
__________
2
2
7.下列关系式中正确的是( )
A.
sin11??cos10??sin168?
B.
sin168??sin11??cos10?

C.
sin11??sin168??cos10?
D.
sin168??cos10??sin11?

12
，并且
?
是第二象限角，求
cos
?
,tan
?
,cot
?
．
13
4
（2）已知
cos
?
??
，求
sin
?
,tan
?
．
5
8．（1）已知
sin
?
?






9.满足函数
y?sinx
和
y?cosx
都是增函数的区间是（
A．
[2k
?
,2k
?
?
）
?
2

]
,
k?Z
B．[2k
?
?
?
2
,2k
?
?
?
]
,
k?Z

C．
[2k
?
?
?,2k
?
?]
,
k?Z
D．
[2k
?
?,2k
?
]

k?Z

22
10.要得到函数
y?3sin(2x?)
的图象，只需将函数
y?3sin2x
的图象（ ）
??
个单位 （B）向右平移个单位
44
??
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
88
?
4
?
?
（A）向左平移11.函数y=cos
2
x –3cosx+2的最小值是（
A．2 B．0
）
C．
1

4
D．6
12．已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)
在同一周期内，当
x?
?
3
时有最大值2，当x=0时有最

小值-2，那么函数的解析式为（
A．
y?2sin
）
3
?
?
1
x
B．
y?2sin(3x?)
C．
y?2sin(3x?)
D．
y?sin3x

2222
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．









⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a
；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；
③
a?0?0?a?a
．
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2,y
2
?
，则
a?b?________________
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向
量．
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?______________
．
????
C

a

b

?

设
?、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
??? ( ， )
．
?

a?b??C?????C

19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
?0< br>时，
?
a
的方向与
a
的方向______；当
??0
时，
?
a
的方向与
a
的方向______；
当
?
?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?_________
．
2 0、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
设a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当___________时，向量< br>abb?0
．
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一
平面内的任意向量a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?____________
．（不共线的向
量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
?
2
的坐标分别是?
x
1
,y
1
?
，
?
1
、2 2、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一 点，
?
x
2
,y
2
?
，
??
??
??
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
当
?
1
??
???
2
时，点
?
的坐标是
?
1
?
．
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
?
0?
?
?180
?
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?_________
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?______
；当
a
与
b
反 向时，
a?b?_______
；
a?a?a
2
?a
或a?a?a
．③
2
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a? b?_____
；②
?
?
a
?
?b?
?
a ?b?a?
?
b
；③
a?b?c?__________
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则< br>a?b?___________
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?__________
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2,y
2
?
，则
a?b?______________
． ????
??

设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b??
x
2
,y
2
?
，则
cos?

a?b
ab
?_________
．
1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）
??
??
A．
a?(0,0)

b?(1,?2)
B．
a?(?1,2)

b?(2,?4)

??
??
C．
a?(3,5)

b?(6,10)
D．
a?(2,?3)

b?(6,9)

2.已知向量
a?(2,3)
，
b?(? 1,2)
，若
ma?nb
与
a?2b
共线，则
A．
?
?
?
????
m
等于( )
n
D．
2
；
1
1
； B．
；
2
2
C．
?2
；
3.已知向量
a
=(x ,y),
b
=( -1,2 )，且
a
+
b
=（1，3），则
a
等于（ ）
A． 2 B .3 C. 5 D. 10
4. 已知向量
a,b满足|a|?2,|b|?3,|2a?b|?
A．30°
??
37,则a与b
的夹角为（ ）
B．45° C．60°
?
D．90°
?
5.
a?(2,1),b?(3,4)
， 则向量
a在向量b
方向上的投影为
A．
25
B． 2 C．
（ ）
D．10
5
< br>6.已知
a?(3,2),b?(?6,1)
，而
(
?
a?b )?(a?
?
b)
，则λ等于（ ）

7.
1
A．1或2 B．2或－
2
C． 2 D．以上都不对
A
e
1
,e
2
是平面内不共线两向量， 已知
若
A,B,D
三点
AB?e
1
?ke
2
,CB?2e
1
?e
2
,CD?3e
1
?e
2< br>，
共线，则
k
的值是（ ） A．2 B．
?3

B
C．
?2
D．
3

D
C
8.
AB?a,AC?b,BD?3DC
，则
AD?
( )
A．
a?
31311
b
B．
a?b
C．
a?b

44444
1
2
D．
31
a?b

44< br>9.设向量
a?(cos
?
,)
的模为
2
，则
cos2
?
的值为（ ）
2

A.
?
3
111
B.
?
C. D.
2
422
10. 已知
a?(sin
?
,1)
，
b?(2,3)
，若
a
与
b< br>平行，则
cos2
?
?





第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?__________________
；⑵
cos?
?
?
?
?
?_________________
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?________ __________
；⑷
sin
?
?
?
?
??_________________
；
⑸
tan
?
??
?
?
?
tan
?
?tan
?
（tan
?
?tan
?
?____________________）；
1?tan
?
tan
?
⑹
tan
??
?
?
?
?_____________
（
tan?
?tan
?
?__________________
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?_______________
．
⑵< br>cos2
?
?_____________?________________?__ ____________

（
cos
2
?
?______ _____
，
sin
2
?
?____________
）．
⑶
tan2
?
?_________________
．
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan?
?


1.函数
y?sinx?cosx
的最小正周期为（ ）
?
．
?
?
B.
?
C.
2
?
D.
4
?

2
2
?
2
?
2.化简
cos(?
?
)?sin(?
?
)
等于（ ）
44
A.
sin2
?
B.
?sin2
?
C.
cos2
?
D.
?cos2
?

A.
3.
sin89cos14?sin1cos76?
（ ）

A.
6?22?66?2
2
B. C. D.
44 4
4
cos(?
?
)?sin(?
?
)
44
4.化简
的值等于（ ）
cos(?
?
)?sin(?
?
)
44
x
A.
tan
B.
tan2x
C.
?tanx
D.
tanx

2
5.设
0?x?2
?
，若
s inx?3cosx
.则
x
的取值范围是（ ）
??
??
?
?
4
?
?
3
?
,)
B.
(,
?
)
C.
(,)
D.
(,)

3233332
2
A
6. 在
?ABC< br>中，
sinBsinC?cos
，则
?ABC
一定是（ ）
2
A.
(
??
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
7. 已知
k??4
，则函数
y?cos2x?k(cosx?1)
的最小值为（ ）
A.
1
B.
?1
C.
2k?1
D.
?2k?1

8. 已知?
,
?
为锐角，
cos
?
?
11
,c os
?
?,
则
?
?
?
的值为
105
9.
2sin10?sin50
的值为
cos50
10. 已知
?
11
?
?(0,),
?
?(0,
?
),且tan(
?
?
?
)?,tan< br>?
??
，求
tan(2
?
?
?
)
的 值及角
427
2
?
?
?
．

11. 已知函数
y?sinx?sin2x?3cosx
，求
（1）函数的最小值及此时的
x
的集合。
（2）函数的单调减区间
（3）此函数的图像可以由函数
y?
22
2sin2x
的图像经过怎样变换 而得到。