高一数学必修三和必修四

* *
高一（下）期末数学试卷


一、选择题（本大题共11小题，每题选项有且只有一项正确，每小题5分，共50分）
1．（5分）半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（ A ）m．
A．

2．（5分）化简
A． ﹣cos20°
B．

C． 60
的结果是（ B ）
B． cos20° C． ±cos20° D．± |cos20°|
D．1
3．（5分）某校现有高一学生210人，高二学生2 70人，高三学生300人，用分层抽样的
方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查， 如果已知从高一学生中抽取
的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ D ）
A． 7 B． 8 C． 9 D．1 0
4．（5分）（2013?滨州一模）如图是2007年在广州 举行的全国少数民族运动会上，七位
评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个 最低分后，所剩数据的
平均数和方差分别为（ C ）

A． 84，4.84
5．（5分）当输入x=
B． 84，1.6 C． 85，1.6 D．8 5，4
时，如图的程序运行的结果是（ B ）

* *

﹣
A． B．
+

|=|
C．

D．

6．（5分）在△ABC中，若|
A． 等腰三角形
|，则△ABC一定是（ B ）
C． 等腰直角三角形 D．不 能确定 B． 直角三角形
7．（5分）函数y=3sin（2x
[
A．
[
C．

）+2的单调递减区间是（ D ）
]（k∈Z）
B．
[
D．
[

]（k∈Z）
]（k∈Z） ]（k∈Z）
8．（5分）如图所示是y=Asin（ωx+φ）的一部分，则其解析表达式为（ C ）

y=3cos（2x+
A．
） y=3cos（3x
B．
） y=3sin（2x
C．
）
D．
y

=sin（3x）
9．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（
值为（ A ）
A．

B．

C．

，0）中心对称，那么|φ|的最小
D．

10．（5分）在平面区域
是（ D ）
内任意取一点P（x，y），则点P在x< br>2
+y
2
≤1内的概率

* *
A．

B．

C．

D．

11．（5 分）已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率
为（ A ）
A．


二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
12．（3分）函数y=的定义域是 [kπ﹣，kπ+]（k∈Z） ．
．
B．

C．

D．无 法确定
13．（3分）（2010?山东）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为

14．（3分）（2012?江西模拟）已知在△ABC和点M满足
使得
15．（3分）已知0
成立，则m= 3 ．
，sin（2x）=，则值为 ．
=，若存在实数m
16．（3分）关于函数f（ x）=
（1）函数y=f（）为奇函数．
，有下列命题：
（2）函数y=f（x）的最小正周期为2π．

* *
（3）t=f（x）的图象关于直线x=对称，
其中正确的命题序号为 （1）（3） ．
17．（3分）关于函数
（1）为偶函数，
个单位，
，有下列命题： < br>（2）要得到函数g（x）=﹣4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移
（3）y= f（x）的图象关于直线
（4）y=f（x）在[0，2π]内的增区间为
其中正确命题的序号 为 （4） ．

对称．
和．
三、解答题（本大题共7小题，16-1 9题每小题12分、20题13分、21题14分，共75
分）
18．（12分）（1）求值：
（2）已知sinα+cosα=．

考点：运 用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
专题：三 角函数的求值．
分析：（ 1）直接利用诱导公式以及二倍角公式化简，即可求出表达式的值．
（2）利用平方化简求出2sinαcosα=
解答：
（1）解：
，然后求解sinα﹣cosα的值．

＜α＜π，求sinα﹣cosα．
=

* *
=
=
=﹣1．
（2）∵sinα+cosα=．
∴（sinα+cosα）
2
=
2sinαcosα=．
．


∴（sinα﹣cosα）
2

=1﹣2sinαcosα
=
又
．
＜α＜π，
． ∴sinα﹣cosα=
点评：本 题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，萨迦寺的化简与求值，注意角的范围，是
解题的关键．

19．（12分）已知
（1）若||=
（2）若||=

考点：数 量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．
专题：平 面向量及应用．
分析：（ 1）由向量与共线，把用的坐标和λ表示，然后由||=列式计算λ的值，
，
，且
是一个平面内的三个向量，其中=（1，2）
，求
与3
．
垂直，求与的夹角．

* *
则向量的坐标可求，代入数量积的坐标表示可得答案；
（2）由与3垂直得其数量积为0，展 开后代入已知的模，则可求得
．代入夹角公式即可得到答案．
解
解答：
（1）∵
又∵||=，∴
，设．
λ
2
+4λ
2
=20，解得λ=±2．
当
当
（2）∵
∴
又
即．
．
，所以
同向时，
反向时，
，此时
，此时
，
．
；
设与的夹角为θ，则
∴θ=180°．
所以与的夹角为180°．
点评：本 题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的夹角及其求法，是中档题．

20．（12分）已知函数y=2sin（
列表：

x










） （x∈R）

* *
y
（1）利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图；
作图：

（2）说明该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到．

考点：函 数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．
专题：计 算题．
分析：（ 1）直接利用五点法列出表格，在给的坐标系中画出图象即可．
（2）利用平移变换与伸缩变换，直接写出变换的过程即可．
解答：解 ：（1）列表：

x
y
作图：
0

0 2


0
π



﹣2 0
2π

…（6分）
（2）由y=sinx（x∈R）的图象向左平移

单位长度，得到y=sin（）…（8

* *
分）
纵坐标 不变，横坐标伸长原来的2倍，得到函数y=sin（
横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数 y=2sin（
）…（10分）
）．…（12分）
点评：本 题考查三角函数图象的画法，三角函数的伸缩变换，基本知识的考查．

21．袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次取一只，有放回的抽取三次，求：
（1）3只球颜色全相同的概率；
（2）3只球颜色不全相同的概率；
（3）3只球颜色全不相同的概率．

考点：列 举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：概 率与统计．
分析：
1）所有 的取法共计有3
3
种，而颜色全相同的取法只有3种，由此求得3只球颜色（
全相同的 概率．
（2）用1减去3只球颜色全相同的概率，即为3只球颜色不全相同的概率．
（3）所有的取法共计有3
3
种，而3只球颜色全不相同的取法有
只球颜色全不相同的概率．
解答：
：解（1） 所有的取法共计有3
3
=27种，而颜色全相同的取法只有3种（都是红球、
都是黄球 、都是白球），
故3只球颜色全相同的概率为 =．
种，由此求得3
（2）用1 减去3只球颜色全相同的概率，即为3只球颜色不全相同的概率，故3只
球颜色不全相同的概率为1﹣= ．

* *
（3）所有的取法共计有3
3
=27种，而3只 球颜色全不相同的取法有
只球颜色全不相同的概率为=．
=6种，故3
点评：本 题考查古典概型及其概率计算公式的应用，事件和它的对立事件概率之间的关系，
属于基础题．

22．（13分）已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量
且
（1）求角B；
（2）设向量

考点：三 角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数的周
期性及其求法．
专题：三 角函数的图像与性质．
分析：（ 1）利用数量积运算、两角和的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用数量积运算、两角和的正弦公式、周期公式即可得出．
解答：解 ：（1）∵
∴
∵0＜B＜π，∴
∴
（2）
=
=，
，解得
=

．

，∴=0，可得
，
，
，
，f（x）=，求f（x）的最小正周期．
．
，
=0，∴

* *
∴周期T=．
点评：熟 练掌握三角函数的图象与性质、数量积运算、两角和的正弦公式等是解题的关键．

23．（14分）设函数f（x）=3sin（ωx+
小正周期．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（a+

考点：三 角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；
二倍角的余弦．
专题：计 算题．
（
分析：
1）根据周期公式T=
（2）根据f （a+）=
直接可求出ω的值，从而求出函数f（x）的解析式；
，代入函数解析式求出cos2a的值，然后利用二倍角公
）=，求sinα的值．
）（ω＞0），x∈（﹣∞，+∞），且以为最
式进行求解即可求出sina的值．
解（1）由题意 T=
解答：
：
∴ω=

）
+）=3sin（2a+）=3cos2a=，
=3∴f（x）=3sin（3x+
）=3sin（2a+（2）f（a+
∴cos2a==1﹣2sin
2
a
∴sina=±
点评：本 题主要考查了根据周期性求函数解析式，以及同角三角形函数关系，属于中档题．

24．（14分）已知函数．

* *
（1）设ω＞0为常数，若
围；
（2）设集合
若A?B恒成立，求实数m的取值范围．

上是增函数，求ω的取值范
，
考点：二 倍角的余弦；集合关系中的参数取值问题；二次函数的性质；正弦函数的单调性．
专题：计 算题．
（利用三角函数的降幂公式将
分析：
1）
（x）=2sinx，从而f（ω x）=2sinωx，利用f（ωx）在[
得到
，从而可求ω的取值范围；
（2）由于f（x）=2sinx，将化为sin
2
x﹣

，
化为f
]是增函数，可
2msinx+m
2
+m﹣1＞0，令sinx=t ，则t
2
﹣2mt+m
2
+m﹣1＞0，t∈[，1]，记f
（t） =t
2
﹣2mt+m
2
+m﹣1，
问题转化为上式在t∈[，1] 上恒成立问题，根据区间[，1]在对称轴t=m的左侧，
右侧，对称轴穿过区间[，1]三种情况结合 二次函数的单调性即可解决．
解答：（ 本小题满分14分）
解：（1）
2sin
2
x=2sinx．
∵
∴
是增函数，
，∴
=2sinx（1+sinx）﹣
（2）

* *

=sin
2
x﹣2msinx+m
2
+m﹣1＞0
因为，设sinx=t，则t∈[，1]
上式化为t
2
﹣2mt+m
2
+m﹣1＞0
由题意，上式在t∈[，1]上恒成立．
记f（t）=t
2
﹣2mt+m
2
+m﹣1，
这是一条开口向上抛物线，
则
或
或
解得：

．
点评：
题考查二倍角的余弦，二次函数的性质，难点在于转化与构造函数，利用 f（t）=t
2
本
﹣2mt+m
2
+m﹣1＞0恒成立，t∈[，1 ]来解决，属于难题．