高中数学必修四全套知识点+练习题及答案解析

rur
?
?
a?m?0
,
则
l?
?
.

?
rr
?
?
a?n?0
即：直线与平 面垂直直线的方向向量与
平面的法向量共线
内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
直线的方向向量与平面
rrrr
rr
若平面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为
v
，要证< br>?
?
?
，只需证
u?v
，即证
u?v?0
.

即：两平面垂直
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
两平面的法向量垂直。
已知
a,b
为两异面直线，A，C与B，D分别是< br>a,b
上的任意两点，
a,b
所成的角为
?
，
uuuruuur
AC?BD
则
cos
?
?
uuuruuur
.

ACBD
⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的
角
r rr
②求法：设直线
l
的方向向量为
a
，平面
?
的 法向量为
u
，直线与平面所成的角为
?
，
a
r
与< br>u
的夹角为
?
， 则
?
为
?
的余角或
?
的补角
的余角.即有： < br>rr
a?u
sin
?
?cos
?
?
r
.

au
⑶求二面角
①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其 中的每一部分叫做半平面；从一条直
线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角 的棱，每个半平面叫做
二面角的面
二面角的平面角是指在二面角
?
?l?< br>?
的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射
线
AO?l,BO?l
，则
?AOB
为二面角
?
?l?
?
的平面角.
如图：

A
B
O
l
B
urrurr
②求法：设二面角
?
?l?
?
的两个半平面的法向量分别为
m、
再设
m、n
，
n
的夹角为
?
，
urr
二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，则二面角
?
为
m、n
的夹角
?或其补角
?
?
?
.

根据具体图形确定
?
是锐角或是钝角：
O
A

urr
m?n
◆如果
?
是锐角，则
cos
?
?c os
?
?
urr
，
mn
urr
m?n
即
?
?arccos
urr
；
mn
urr
m?n
◆ 如果
?
是钝角，则
cos< br>?
??cos
?
??
urr
，
mn
urr
?
m?n
即
?
?< br>arccos
?
?
urr
?
mn
?
5、利用 法向量求空间距离
⑴点Q到直线
l
距离
?
?
.
?
?
r
uuur
r
若Q为直线
l
外的 一点,
P
在直线
l
上，
a
为直线
l
的方向 向量，
b
=
PQ
，则点Q到直线
l
1
r
r
2
r
r
2
距离为
h?
r
(|a||b|)?(a?b)

|a|
⑵点A到平面
?
的距离
若点P为平面
?
外一点，点M为平面
?
内任一点，
rr< br>uuur
平面
?
的法向量为
n
，则P到平面
?
的距离就等于
MP
在法向量
n
方向上的投影的绝对值.
uuurruuuur
即
d?MPcosn,MP

ruuur
uuur
n?MP

?MP?
ruuur

nMP
ruuur
n?MP

?
r
n
⑶直线
a
与平面
?
之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面
的 距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

ruuur
n?MP
即
d?
r
.

n

⑷两平行平面
?
,
?
之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。
ruuur
n?MP
即
d?
r
.

n
⑸异面直线间的距离
r
设向量
n
与两异面直线a,b
都垂直，
M?a,P?b,
则两异面直线
a,b
间的距离
d
就是
r
uuur
MP
在向量
n
方向上投 影的绝对值。
ruuur
n?MP
即
d?
r
.

n
6、三垂线定理及其逆定理
⑴三 垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直
P
O
PO?
?
,O?
?
?
?
推理 模式：
PA
I
?
?A
?
?a?PA
a?
?
,a?OA
?
?
A
?
a

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这 个平面的一条斜线垂直，那么它也
和这条斜线的射影垂直
PO?
?
,O?< br>?
?
?
推理模式：
PA
I
?
?A
?
?a?AO

a?
?
,a?AP
?
?
概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理
设AC是平面
?
内的任一条直线，AD是
?
的一条斜线AB在
?
内的射影，且BD⊥AD，垂
足为D.设AB与?
(AD)所成的角为
?
1
， AD与AC所成的角为
?
2
， AB与AC所成的角为
?
．则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.

B
A
?
?
1
?
2
?
D
C



8、 面积射影定理
已知平面< br>?
内一个多边形的面积为
SS
原
，它在平面
?
内的射 影图形的面积为
??
S
?
?
S
射
?
，平面
?
与平面
?
所成的二面角的大小为锐二面角
?
，则
S
'
S
射

cos
?
?=.

SS
原
9、一个结论
长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
，夹角分别为
?
1
、
?2
、
?
3
,则有
l
2
?l
1
2
?l
2
2
?l
3
2
?cos
2
?
1
?cos
2
?
2
?cos
2
?
3
?1

?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2< br>.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?< br>?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
s in
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸< br>tan
?
?
?
?
?
?
tan
??tan
?

?
（
tan
?
?tan< br>?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?

?
（
t an
?
?tan
?
?tan
?
?
?
???
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?ta n
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
?1?sin2
??sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2

⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
?
,1?cos
?
?2sin
2
?
升幂公式
1?cos
?
?2cos
2
?
22
cos2
?
?11?cos2
?
2
，
sin
?
?
．
?
降幂公式
cos
2
?
?
22
26、

万能公式:
αα
1?tan
2
2
;cosα?
2
sinα?
αα
1?tan
2
1?tan
2< br>22
2tan

tan2
?
?
2tan
?
．
2
1?tan
?
27、
半角公式:

α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??

2222

α1?cosαsinα1?cosα
tan????

21?cosα1?cosαsinα


?
（后两个不用判断符号，更加好
用）
28、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式。
?sin< br>?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
．
?
29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要 学会创设条件，
灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： < br>（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角
与角之 间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的
差异，使问题获解，对角的 变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?是
2
?
的二倍；
?
是
?
?
?
的二倍；是的二倍；
224
30
o
?
?
；
②
15?45?30?60?45?
；问：
sin
2
12
ooooo
cos
?
12
?
； ③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?
)
；
⑤
2
?
?(
?
?< br>?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
??
)?(
?
4
?
?
)
；等等
（2） 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余
弦是基础，通常化切 为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角 函数值，例
如常数“1”的代换变形有：

1?sin
2
?
?cos
2
?
?tan
?
cot
?
?s in90
o
?tan45
o

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常 用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处
理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，
有时需要升幂，如对无理式
1?cos< br>?
常用升幂化为有理式，常用升幂公式

有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
1?tan
?
1?tan
?
?
___________ ____
；
?______________
；
1?tan
?< br>1?tan
?
tan
?
?tan
?
?_______ _____
；
1?tan
?
tan
?
?_________ __
；
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
?___________
；
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；
（其
asin
?
?bcos
?
?
= ；
中
tan
?
?
；）
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理
化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化 。
oo
如：
sin50(1?3tan10)?
；
tan
?
?cot
?
?
。
第二部分 全套练习+答案解析
1．sin 150°的值等于( )．
A．
1

2
B．－
1

2
C．
3

2
D．－
3

2
解析：sin 150°＝sin 30°＝
答案：A

2．已知
A．2
1
．
2
AB
＝(3，0)，那么
AB
等于( )．
B．3 C．4 D．5
解析：
AB
＝
9＋0
＝3．
答案：．B

3．在0到2?范围内，与角－
A．
4?
终边相同的角是( )．
3
C．
?

6
B．
?

3
2?

3
D．
4?

3
解析：在直角坐标系中作出－
答案：．C

4?
由其终边即知．
3
4．若cos ?＞0，sin ?＜0，则角 ??的终边在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：由cos ?＞0知，??为第一、四象限或 x 轴正方向上的角；由sin ?＜0知，??
为第三、四象限或y轴负方向上的角，所以 ??的终边在第四象限．
答案：．D

5．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°的值等于( )．
1

2
3
解析：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝．
2
A．
B． C．
答案：．B

1

4
3

2
D．
3

4
6．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )．
A．
AB
＝
CD

B．
AB
－
AD
＝
BD


A
D
C
B
(第6题)
C．
AD
＋
A B
＝
AC
D．
AD
＋
BC
＝
0

解析：在平行四边形ABCD中，根据向量加法的平行四边形法则知
AD
＋
A B
＝
AC
．
答案：．C

7．下列函数中，最小正周期为 ??的是( )．
A．y＝cos 4x B．y＝sin 2x C．y＝sin

x

2
D．y＝cos

x

4

解析：由T＝
答案：B

2π
?
＝?，得 ?＝2．
8．已知向量a＝(4，－2)，向量b＝(x，5)，且a∥b，那么x等于( )．
A．10 B．5 C．－
5

2
D．－10
解析：因为a∥b，所以－2x＝4×5＝20，解得x＝－10．
答案：D

9．若tan ?＝3，tan ?＝
A．－3
4
，则tan(?－?)等于( )．
3

3－
B．3
1
C．－

3

1
D．
3
4
tan
?
－tan
?
3
＝
1
． 解析：tan(?－?)＝＝
1＋4
1＋tan
?
tan
?
3
答案．D

10．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是( )．
A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1
解析：因为cos x的最大值和最小值分别是1和－1，所以函数y＝2cos x－1的最大值、
最小值分别是1和－3．
答案：．B

11．已知△A BC三个顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(1，2)，C(0，c)，若
AB
⊥
BC
，
那么c的值是( )．
A．－1 B．1 C．－3 D．3
解析：易知
AB
＝(2，2)，
BC
＝(－1，c－2)， 由
AB
⊥
BC
，得2×(－1)＋2(c－2)
＝0，解得c＝3．
答案：．D

12．下列函数中，在区间[0，
A．y＝cos x
?
]上为减函数的是( )．
2
D．y＝sin(x－B．y＝sin x C．y＝tan x
?
)
3
解析：画出函数的图象即知A正确．
答案：．A


13．已知0＜A＜
A．
?3
，且cos A＝，那么sin 2A等于( )．
25
B．
4

25

7

25
C．
12

25
D．
24

25
解析：因为0＜A＜
答案：D

4
24
?
，所以sin A＝
1－cos
2
A＝
，sin 2A＝2sin Acos A
＝
．
25
2
5
14．设向量a＝(m，n)，b＝(s ，t)，定义两个向量a，b之间的运算“
?
”为a
?
b＝
(ms， nt)．若向量p＝(1，2)，p
?
q＝(－3，－4)，则向量q等于( )．
A．(－3，－2) B．(3，－2) C．(－2，－3) D．(－3，2)
解析：设q＝(x，y)，由运算“
?
”的定义，知p
?
q＝(x，2y)＝ (－3，－4)，所以
q＝(－3，－2)．
答案：．A

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
15．已知角 ??的终边经过点P(3，4)，则cos ??的值为 ．
解析：因为r＝5，所以cos ?＝
答案：．

16．已知tan ?＝－1，且 ?∈[0，?)，那么 ??的值等于 ．
解析：在[0，?)上，满足tan ?＝－1的角 ??只有
答案：．

3
．
5
3
．
5
3?3?
，故 ?＝．
44
3?
．
4

17．已知向量a＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐标是 ．
解析：3b－a＝(0，－3)－(3，2)＝(－3，－5)．
答案：．(－3，－5)．

18．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似
满足函数T＝Asin(?t＋?)＋b(其中
T℃
30
20
10
O 6 8 10 12 14 th
?
＜?＜?)，6
2
时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上
述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14
时温差的最大值是 °C；图中曲线对应的
函数解析式是________________．
18．20；y＝10sin(
(第18题)
?3?
x＋
)＋20，x∈[6，14]．
84
解析：由图可知，这段时间的最大温差是20°C．
因为从6~14时的图象是函数y＝Asin(?x＋?)＋b的半个周期的图象，
11
(??－??)＝10，b＝(30＋１0)＝20．
22
2ππ
1
?
π
?
因为·＝14－6，所以 ?＝，y＝10sin
?
x ＋
?
?
＋20．
2
?
8
?
8
?
所以A＝
将x＝6，y＝10代入上式， < br>?
π
??
3π
?
得10sin
?
?
6 ＋
?
?
＋20＝10，即sin
?
＋
?
?
＝－1，
?
8
??
4
?
3?
?
由于＜?＜?，可得 ?＝．
2
4
3π
??
π
综上，所求解析式为y＝10si n
?
x ＋
?
＋20，x∈[6，14]．
4
??
8

三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．(本小题满分14分)
已知0＜?＜
π
?
?4
?
，sin ?＝．(1)求tan ??的值； (2)求cos 2?＋sin
?
?
＋
?
的值．
2
?
25
?
解：(1)因为0＜?＜
?
3
4
4
，sin ?＝， 故cos ?＝，所以tan ?＝．
5
35
2
32
3
8
?
π
?
(2)cos 2?＋sin
?
＋
?
?
＝1－2sin
2
? ＋cos ?＝?－＋＝．
2
2525
5
??

20．(本小题满分14分)
已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝
(1) 求|b|；
(2) (2)当a·b＝
1
．
2
1
时，求向量a与b的夹角 ??的值．
2
11
，即a
2
－b
2
＝，
22
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝
所以|b|
2
＝|a|
2
－
2
111
＝1－＝，故|b|＝．
2
222
(2)因为cos ?＝



2
a· b
＝，故 ?＝??°．
2
ab