(人教版)高中数学必修四教案设计

（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练
地进行角度制与弧 度制的换算；（5）角的集合与实数集
R
之间建立的
一一对应关系.(6) 使学生通 过弧度制的学习，理解并认识到角度制
与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、 割
裂的关系.
二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互
化换算；弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.
三、教学设想
【创设情境】
有人问：到有多 远时，有人回答约250公里，但也有人回答约
160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里= 1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是
因为所采用的度 量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长
度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里 =1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经
不再陌生,另 外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制
---弧度制.
【探究新知】1．角度制 规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做
1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于 90度等等.
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周
呢？直角等于多少 弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本
P
6
?P
7
，自行解 决上述问题.

2.弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度角，记作1
rad
，
或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究 :如图,半径为
r
的圆的圆心与原点重合,
角
?
的终边与
x
轴的正半轴重合,交圆于点
A
,终边与
圆交于点
B
.请完成 表格.
弧
AB
的
长
?
r

2
?
r

r

B
?
O
A
x
y
OB
旋转的方
?AOB
的弧度
?AOB
的度
向
逆时针方向
逆时针方向






数


1

?2

?
?
数






180
?
2r






0





180
?
我们知道 ，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，
如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数 是一个正数，负角的弧度
数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来
决 定.
4.思考:如果一个半径为
r
的圆的圆心角
?
所对的弧长是< br>l
,那么
a
的弧度数是多少?

角
?
的弧度数的绝对值是：
?
?
，其中，l是圆心角所对的弧长，
r
是半 径.
l
r
5.根据探究中
180
?
?
?
rad
填空:
1
?
?___rad
,
1rad?___
度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
6.例题讲解
例1.按照下列要求,把
67
?
30
'
化成弧度:
(1) 精确值；
(2) 精确到0.001的近似值.
例2.将3.14
rad
换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住
180
?
?
?
rad
,另外注意计算
器计算非特殊角的方法.
7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
度
弧

度

0
?

30
?

45
?

?

3

?

2
120
?

120
?

120
?

120
?


3
?


?

2

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集
R
之间建立了
一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)
与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于
这个实数的角）与它对应.
8.例题讲评 例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1)
l?
?
R
; (2)
S?
?
R
2
; (3)
S?lR
.
1
2
1
2

其中
R
是半径,
l
是弧长,
?
(0?
?
?2< br>?
)
为圆心角,
S
是扇形的面积.
例4.利用计算器比较< br>sin1.5
和
sin85
?
的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
9.练习 教材
P
10
.
五、作业：习题1.1 A组第7,8,9题．


1.2 任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数(一)
一、教学目标：
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函
数 的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数
不同的定义方法；（3）了解如何利 用与单位圆有关的有向线段，将任
意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表< br>示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；
二、教学重、难点
重点: 任意角的正 弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数
的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一 三角函数
值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函 数
的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
三、教学设想



第一课时 任意角的三角函数（一）
【创设情境】
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
y
P（a，b）
r

?

O M

借助右图直角三角形，复习回顾.
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函
数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数
吗?
如图,设锐角
?
的顶点与原点
O
重合,始边与
x
轴的正半轴重合,
那
a的终边
y
P(x,y
么它的终边在第一象限.在
?的终边上任
取一点
P(a,b)
,它与原点的距离
O
r?a? b?0
.过
P
作
x
轴的垂线,垂足为
22
x M
,则线段
OM
的长度为
a
,线段
MP
的长< br>度为
b
.则
sin
?
?
cos
?
?
MPb
?
;
OPr
OMaMPb
?
;
tan
?
??
.
OPrOMa
思考：对于确定的角
?
，这三个比值是否会随点
P
在
?
的终边上
的位置的改变 而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段
OP
的长
r?1
的特殊 位置上，这样
就可以得到用直角坐标系的点的坐标表示锐角三角函数：
sin
?
?
MPOMMPb
?b
;
cos
?
??a
;
tan
?
??
.
OPOPOMa
思考：上述锐角
?
的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示 .那
么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行
修改，以利推广到任意 角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三
角函数.

【探究新知】1.探究 :结合上述锐角
?
的三角函数值的求法,我们应如
何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离
为1,然后就可以类似锐角求 得该角的三角函数值了.所以,我们在此
引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点
O
为圆心,以单位
长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设
?
是一 个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么:
(1)
y
叫做
?
的正弦(sine),记做
sin
?
,即
sin< br>?
?y
；
（2）
x
叫做
?
的余弦(cos sine),记做
cos
?
,即
cos
?
?x
；
（3）叫做
?
的正切(tangent),记做
tan
?
, 即
tan
?
?(x?0)
.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定 义相同（指出对边，邻边，
斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有
角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点
P(x,y)
，从而就必然
能够最终算 出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交
点,该如 何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点
P
在终边上的位置无 关，仅
与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离
r?x
2
?y
2
,那么
sin
?
?
tan
?
?
y
x
y
x
y
x?y
22
,
cos
?
?
x
x?y
22
,
y
.所以，三角函数是以为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标
x
的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一 一

对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.例题讲评
例1.求
5
?
的正弦、余弦和正切值.
3
例2．已知角< br>?
的终边过点
P
0
(?3,?4)
，求角
?
的正弦、余弦和正切
值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.
我也可以尝试其他方法: 如例2:设
x??3,y??4,
则
r?(?3)
2
?(?4)
2
?5
.
于是
sin
?
?
y4x3y 4
??
,
cos
?
???
,
tan
???
.
r5r5x3
5.巩固练习
P
17
第1,2,3题
6.探 究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数
的定义域填入下表；再将这三种函数的值在 各个象限的符号填入表格
中：
三角函
数
sin
?

cos
?

定义域
角度制 弧度制






第一象
限



第二象
限



第三象
限



第四象
限



tan
?

7．例题讲评
例3．求证：当且仅当不等式组
{
角.
sin?
?0
tan
?
?0
成立时，角
?
为第三象限

8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值
有和关系?
显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(
?
?2k
?
)?sin
?

cos(
?
?2k
?
)?cos
?
(其中
k?Z
)
tan(
?
?2k
?
)?tan
?

9.例题讲评 例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验
证:
(1)
cos250
?
; (2)
sin(?)
; (3)
tan(?672
?
)
; (4)
tan3
?

4
?
例5.求下列三角函数值:
(1)
sin1480
?
10
'
; (2)
cos
9
?
11
?
; (3)
tan(?)

46
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转 化为求
0
到
2
?
(或
0
?
到
36 0
?
)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角
函数值,但要注意角度制的问题.
10.巩固练习
P
17
第4,5,6,7题
五、评价
1．作业：习题1.2 A组第1,2题．
2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化 .思考公式一的本
质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要
熟练掌 握,知道推导方法.


第二课时 任意角的三角函数（二）

【复习回顾】
1、
2、
3、
4、
5、
三角函数的定义；
三角函数在各象限角的符号；
三角函数在轴上角的值；
诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；
三角函数的定义域.
要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，
所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基
础上记忆.
【探究新知】
1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作
为角 的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一
个图形概念呢？换句话说，能否用几何方 式来表示三角函数呢？
2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，
以单位长度1为半径画一个圆 ，这个圆
就叫做单位圆（注意：这个单位长度不
一定就是1厘米或1米）.当角
?为第一
象限角时，则其终边与单位圆必有一个
交点
P(x,y)
，过点< br>P
作
PM?x
轴交
x
轴于
点
M
，则 请你观察:
根据三角函数的定义：
|MP|?|y|?|sin
?
|
；
|OM|?|x|?|cos
?
|

随着
?
在 第一象限转动，
MP
、
OM
是否也跟着变化？
O
y
a角的终
P T
M A
x

3．思考：（1）为 了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段
MP
、
OM
规定一个适当的方向 ，使它们的取值与点
P
的坐标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如
M P
、
OM
一样的线段来表示
角
?
的正切值吗？
我 们知道，指标坐标系点的坐标与坐标轴的方向有关.当角
?
的
终边不在坐标轴时,以< br>O
为始点、
M
为终点，规定：
当线段
OM
与
x
轴同向时，
OM
的方向为正向，且有正值
x
；当线
段< br>OM
与
x
轴反向时，
OM
的方向为负向，且有正值
x
；其中
x
为
P
点
的横坐标.这样,无论那种情况都有
OM?x?cos
?

同理,当角
?
的终边不在
x
轴上时,以
M
为始点、
P
为终点，规定：
当线段
MP
与
y
轴同向时，
MP
的方向为正向，且有正值
y
；当线
段
MP
与
y
轴反向
时，
MP
的 方向为负向，且有正值
y
；其中
y
为
P
点的横坐标.这样,
无论那种情况都有
MP?y?sin
?

4.像
MP、OM
这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段
（direct line segment）.
5.如何用有向线段来表示角
?
的正切呢?
如上图,过点
A(1,0)
作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设
它与
?
的终边交于点
T
,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,
借助有向 线段
OA、AT
,我们有

tan
?
?AT?
y

x
我们把这 三条与单位圆有关的有向线段
MP、OM、AT
,分别叫做
角
?
的正 弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
6.探究：（1）当角
?
的终边在第二 、第三、第四象限时，你能分
别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
（2）当
?
的终边与
x
轴或
y
轴重合时，又是怎样的情形呢？

7.例题讲解
例1．已知
?
?
?
4
??
2
，试比较
?
,tan
?
,sin
?
,cos?
的大小.
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.
8.练习
P
19
第1,2,3,4题
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角
?
的正弦、
余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

(3)体会三角函数线的简单应用.
【评价设计】
1． 作业：
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)
sin15
?
、
tan15
?
（2）
cos150
?
18
'
、
cos121
?
（3）、
tan

5
?
5
?
2．练习三角函数线的作图.




1.2任意角的三角函数
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、教学目标：
1、知识与技能
(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；( 2)已知某角的一个
三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系
式化 简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；
（5）牢固掌握同角三角函数的三个关 系式并能灵活运用于解题，提
高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
（7）掌握恒等式证明的一般 方法.
二、教学重、难点
重点：公式
sin
2
?
?c os
2
?
?1
及
sin
?
?tan
?的推导及运用：（1）已
cos
?
知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求 其余两个；（2）化简

三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方
法证明三角恒等式.
三、教学设想
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我
们来研究同角三角函数之间关 系，弄清同角各
不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之
间的互相转化．
【探究新知】
1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标
来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线
MP
,余弦线< br>OM
和半径
OP
三者的长构成直角三
角形,而且
OP?1.由勾股定理由
MP
2
?OM
2
?1
,因此
x
2
?y
2
?1
,即
sin
2
?
? cos
2
?
?1
.
P
1
M O A(1,
x
y
根据三角函数的定义,当
a?k
?
?(k ?Z)
时,有
2
?
sin
?
?tan
?
.
cos
?
这就是说,同一个角
?
的正弦、余弦的平方等于1，商等于 角
?
的
正切.
2. 例题讲评
例6.已知
sin
?
??
,求
cos
?
,tan
?
的值.
sin
?
,cos
?
,tan
?
三者知一求二,熟练掌握 .
3
5
3. 巩固练习
P
23
页第1,2,3题
4.例题讲评
例7.求证:
cosx1?sinx
.
?
1?sinxcosx

通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.
5.巩固练习
P
23
页第4,5题
6.学习小结
（1） 同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
?
sin
?
．
cos
?
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限
确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1)
(2)
作业：习题1.2A组第10,13题.
熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,
得到其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.








第二章 平面向量

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概 念和向量的几何表示；
掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线
向量等概 念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的
本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事
物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向
量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课 ，概念较多，但难度不大.学生可根据
在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区 分
平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，
设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
C
A
B
D < /p>

分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方
向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没
有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什
么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量
吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的 起点全部移到一点O，这是它们是不
是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
AB
；
④向量
AB
的大小――长度称为向量的模，记作|
AB
|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、
方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方< br>向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不 同，尽管大
小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
a
A(起点)

B
（终点）

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一
向量平行. < br>说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量
ａ
、
ｂ
、
ｃ
平行，记作
ａ
∥
ｂ
∥
ｃ
.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量< br>ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ
＝
ｂ
；（2）零向量与 零向量
相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来
表示，并且与有向线段的起点无关.
．．．．．．．．．．
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是 因为任一组平行向量都可移到同一
直线上（与有向线段的起点无关）.
．．．．．．．．．． ．
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位
置关系；（2）共线向量可 以相互平行，要区别于在同一直线上的线段
的位置关系.
（四）理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（ ） A.
ａ
与
ｂ
共线，
ｂ
与
ｃ
共线，则< br>ａ
与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的
四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研
究的向量是自由向量，所以两个相 等的非零向量可以在同一直线上，
而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，< br>所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否
相同无关，所以Ｄ不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可
从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至
少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，

不符合已 知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中 心，分别写出图中与
向量
OA
、
OB
、
OC
相等的 向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（
CB,DO,FE
）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量
AB
与
CD
是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
AB
＝
DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. < br>解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，
并不要求两个向量
A B
、
AC
在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是
相等的. ④、⑤正确.⑥不正 确.如图
AC
与
BC
共线，虽起点不同，但

其终点却 相同.
2．书本88页练习
三、小结 ：
1、
2、
3、
描述向量的两个指标：模和方向.
平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业：
书本88页习题2.1第3、5题


第2课时
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的
和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量
加法运算的交换律和结合律 ，并会用它们进行向量计算，渗透类
比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量

的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数 的加法启发
我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.
借助于物理中位 移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理
成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的 三角形法则和平
行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和
结合律.
教学思路：
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调： 向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向
量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的 自由向量，即任何
向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、 情景设置：
A B C
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
AB?BC?AC

C
C A B
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
A B

则两次的位移和：
AB?BC?AC

（4）船速为< br>AB
，水速为
BC
，则两速度和：
AB?BC?AC

二、探索研究：
A B
C
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面任取一点
A
，作
AB
＝a，
BC
＝ｂ，
则向量
AC
叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ
?AB?BC?AC
，
规定： a + 0-= 0 + a

a
a
C
ａ
b
a+b
a
ｂ
B
a
b
a+b




ｂ
A
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量
a
与
b
不共线时，
a
+
b< br>的方向不同向，且|
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|；
（3）当
a
与
b
同向时，则
a
+
b
、
a
、
b
同向，且|
a
+
b< br>|=|
a
|+|
b
|，当
a
与
b
反
b
a
O
b
a
a
A
b
B
向时，若|
a
|>|
b
|，则
a
+< br>b
的方向与
a
相
同，且|
a
+
b
| =|
a
|-|
b
|；若|
a
|<|
b
|， 则
a
+
b
的方向与
b
相同，且|
a
+b| =|
b
|-|
a
|.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个 向量的终点为后一个向

量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向 量
a
、
b
，求作向量
a
+
b

作法：在平面取一点，作
OA?a

AB?b
，则
OB?a?b
.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不
适应）
２）向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

５．向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
证：如图：使
AB?a
，
BC?b
，
CD?c

则(
a
+
b
) +
c
=
AC?CD?AD
，
a
+ (
b
+
c
) =
AB?BD?AD

∴(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94—95）略 练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；
３、注意：|
a
+
b
| ≤ |
a
| + |
b
|，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：P103第２、３题

七、备用习题
1、一艘船从A点出发以
23kmh
的速度向 垂直于对岸的方向行驶，
船的实际航行的速度的大小为
4kmh
，求水流的速度. < br>2、一艘船距对岸
43km
，以
23kmh
的速度向垂直于对岸的方向 行
驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以
v
1
的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时
河水的流速为
v
2，船的实际航行的速度的大小为
4kmh
，方向与水流
间的夹角是
60?
，求
v
1
和
v
2
.
4、一艘船以5km h的速度在行驶，同时河水的流速为2kmh，则
船的实际航行速度大小最大是kmh，最小是kmh
５、已知两个力F
1
，F
2
的夹角是直角，且已知它们的合力F与F
1
的夹角是60
?
，|F|=10N求F
1
和F
2
的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形



第3课时
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；

2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理
解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基
础上结合向量的加法运算 掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减
向量.
教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中，
CB?BA?BA?
.
解：
CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD

二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向
量.记作 ?a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = ?b， b = ?a， a + b = 0
A B
D C

（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法
的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
作法：在平面取一点O，
作
OA
= a，
AB
= b 则
BA
= a ? b
a
b
B
b
a?b
a
O
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1?
AB
表示a ? b.强调：差向量“箭头”指向被减数
2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.


a
O
B’
?
b
a
B
b
A
a+ (?b)
4． 探究：
b

b
B
a的终点指向向量b的终点作向量，１） 如果从向量那么所
得向量是b ? a.


a
b
a
b
O
a
?
b
A
?
b
B
B
a
?
b
O B
a
?
b
A
B A
B’
O
a
?
b
O
A

２）若a∥b
，
如何作出a ? b

？
三、 例题：
例一、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、c?d.
解：在平面上取一点O，作
OA
= a，
OB
= b，
OC
= c，
OD
=
d，
作
BA
，
DC
， 则
BA
= a?b，
DC
= c?d



a
b
A
d
c
O
C
B
D
例二、平行四边形ABCD
中，
AB?
a，
AD?
b，
用a、b表示向量
AC
、
DB
.
解：由平行四边形法则得：
A B
D C

AC
= a + b
，

DB
=
AB?AD
= a?b
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a， b互
相垂直）
变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角
线方向不同）

练习：Ｐ98
四、 小结：向量减法的定义、作图法|
五、 作业：P103第4、５题
六、 板书设计（略）
七、 备用习题：
1.在△ABC中，
BC
=a，
CA
=b，则
AB
等于( )
A.a+b B.-a+(-b) C.a-b

D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设
OA
=a，
OB
=b，
OC
=c，
OD
=d，则
A.a+b+c+d=0
D.a-b-c+d=0
B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
４、如图所示， O是四边形ABCD任一点，试根据图中给出的向
量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a +b=
AB
，c-d=
DC
，
并画出b-c和a+d.


2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1 平面向量基本定理

教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何 一个
向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际
问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底
来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
教学过程：
一、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作：λ
a

（1）|λ
a
|=|λ||
a
|；（2）λ>0时λ
a与
a
方向相同；λ<0时λ
a
与
a
方
向相反； λ=0时λ
a
=
0

2．运算定律
??????
?
结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
；分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
， λ(
a
+
b
)=
??
??????
?
?
?λ
a
+λ
b

?
?
3. 向量共线定理 向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只有
?
?
一个非零实数λ，使
b
=λ
a
.
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任一向量
a
，有且只 有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
??

1
e
1
+λ
2
e
2
.
探究：
(1) 我们把不共线向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这 一平面所有向量的一组基
底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定 理可将任一向量a在给出基底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解 ；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的
数量
三、讲解例：
例1 已知向量
e
1
，
e
2
求作向量?2.5
e
1
+3
e
2
.
例2 如图
?
??
ABCD的两条对角线交于点M，且
AB
=
a
，
AD
=
b
，用
a
，
?
?
b< br>表示
MA
，
MB
，
MC
和
MD

例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证：
OA+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE
例4（1）如图，
OA
，
OB
不共线，
AP
=t
AB
(t?R)用
OA
，
OB
表示
OP
.
OB
不共线，点P在O、A、B所在的平面，且 （2）设
OA、
OP?(1 ?t)OA?tOB(t?R)
.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e
1
-3e
2
，b= 2e
1
+3e
2，其中e
1
，e
2
不共线，向量c=2e
1
-9e2
，
问是否存在这样的实数
?
、
?
,使d?
?
a?
?
b
与c共线.
四、课堂练习：

1.设e
1
、e
2
是同一平面的两个向量，则有( )
A.e
1
、e
2
一定平行
B.e
1
、e
2
的模相等
C.同一平面的任一向量a都有a =
λ
e
1
+
μ
e
2
(
λ
、
μ
∈R)
D.若e
1
、e
2
不共线，则同一平面的任一向量a都有a =λ
e
1
+ue
2
(
λ
、u
∈R)
2.已知矢量a = e
1
-2e
2
，b =2e
1
+e
2
，其中e
1
、e
2
不共线，则a+b与c =6e
1
-2e
2
的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e
1
、 e
2
不共线，实数x、y满足(3x-4y)e
1
+(2x-3y)e
2
=6e
1
+3e
2
，
则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =
λ
1
a+
λ
2
b (
λ
1
，
λ
2
∈R)，若c与b共线，
则
λ
1
= .
5.已知
λ
1
＞0，
λ
2
＞0，e
1
、e
2
是一组基底，且a =
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
，则a
与e1
_____，a与e
2
_________(填共线或不共线).
五、小结（略）
第5课时
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平 面的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
??< br>+λ
2
e
2

(1)我们把不共线向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这一平面所有向量的一组基
底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量
ａ
在给出基 底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a< br>，
e
1
，
e
2
唯一确定的
数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系，我们分别取 与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单
位向量
i
、
j
作为基底.任作一个向量
a
，由平面向量基本定理知，有
且只有一对实数
x
、
y
，使得
?

1

a ?xi?yj
…………○
我们把
(x,y)
叫做向量
a
的（ 直角）坐标，记作
2

a?(x,y)
…………○
2
式叫 做向其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫 做
a
在
y
轴上的坐标，○
量的坐标表示.与
．
a< br>相等的向量的坐标也为
．．．．．．．．．．
(x,y)
.
特别地，
i?(1,0)
，
j?(0,1)
，
0?(0,0)
. < br>如图，在直角坐标平面，以原点O为起点作
OA?a
，则点
A
的位置由
a
唯一确定.
设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是点
A
的坐标；反过来，点
A
的
坐标
(x,y)
也就是向量
OA
的坐标.因此，在平面直角坐标系，每一个 平
面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
, y
2
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1?x
2
,y
1
?y
2
)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为
i
、
j
，则
a?b
?(x
1
i?y
1
j)? (x
2
i?y
2
j)
?(x
1
?x
2)i?(y
1
?y
2
)j

即
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，同理可得
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

（2） 若
A(x
1
,y
1< br>)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1?

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的
坐标.

AB
=
OB
?
OA
=( x
2
，

y
2
) ? (x
1
，y
1
)= (x
2
? x
1
， y
2
? y
1
)
（3）若
a?(x,y)
和实数
?
，则
?
a?(
?
x,
?
y)
.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为
i
、
j
，则
?
a
?
?
(xi?yj)?
?< br>xi?
?
yj
，即
?
a?(
?
x,
?
y)

三、讲解例：
例1 已知A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，求
AB
的坐标.
例2 已知
a
=(2，1)，
b
=(-3，4)，求
a< br>+
b
，
a
-
b
，3
a
+4
b
的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3，
4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由
AB?DC
得D
1
=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D
2
=(4， 6)，当平行四边形为DACB
时，得D
3
=(?6， 0)
例4已知三个力
F
1
(3， 4)，
F
2
(2， ?5)，
F
3
(x， y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
，求
F
3
的坐标.
解：由题设
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
得：(3， 4)+ (2， ?5)+(x， y)=(0， 0)
即：
?
?
3?2?x?0
?
x??5
∴
?
∴
F
3
(?5，1)
4?5?y?0
y?1
?
?
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且
MP?
1
MN
， 求P点的坐标
2
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则
AB
?2
BC
= .

3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求
证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）

第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的 两个单位向量
i
、
j
作为基底.任作
一个向量
a
， 由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使
得
a ?xi?yj

把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标， 记作
a?(x,y)

其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上的 坐标， 特别地，
i?(1,0)
，
j?(0,1)
，
0?(0,0 )
.
2．平面向量的坐标运算
若
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y< br>2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
?
a?(
?
x,< br>?
y)
.
若
A(x
1
,y
1
)< br>，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
二、讲解新课：
??
?
a
∥
b
(
b
?
0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
??
??
设
a
=(x
1
， y
1
) ，
b
=(x
2
， y
2
) 其中
b
?
a
.
?
?
x
1
??
x
2
?
由
a
=λ
b
得， (x
1
， y
1
) =λ(x
2
， y
2
)
?
?
消去λ，
y?
?
y
2
?
1
x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
?
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y
1
， y
2
有可能为0， ∵
b
?
0
∴
x
2
， y
2
中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成
y
1
y
2
?
∵x
1
， x
2
有可能为0
x
1
x
2< br>?
?
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：
a
∥
b
?
(
b
?
0
)
?
a?
?< br>b

x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
三、讲解例：
??
??
例1已知
a
=(4，2)，
b
=(6， y)，且
a
∥
b
，求y.

例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点
之间的位置关系.
例3设点P是线段P
1
P
2
上的一点， P
1
、P
2
的坐标分别是(x
1
，y
1
)，
(x
2
，y
2
).
(1) 当点P是线段P
1
P
2
的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P
1
P
2
的一个三等分点时，求点P的坐标.
?
?
例4若向量
a
=(-1，x)与
b
=(-x， 2)共线且方向相同，求x
?
?
解：∵
a
=(-1，x)与
b
=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x?(-x)=0
?
?
∴x=±
2
∵
a
与
b
方向相同 ∴x=
2

例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量
AB
与
CD
平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵
AB
=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，
CD
=(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴
AB
∥
CD

又 ∵
AC
=(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，
AB
=(2， 4)，2×4-2
×6?0 ∴
AC
与
AB
不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥
CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8

2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3

3.若
AB
=i+2j，
DC
=(3-x)i +(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方
向相同且为单位向量).
AB
与
DC
共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .
五、小结 （略）
六、课后作业（略）
§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问
题；
4.掌握向量垂直的条件.

教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积
的应用
教学过程：
一、复习引入：
?
?
1． 向量共线定理 向量< br>b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只
?
?
有一 个非零实数λ，使
b
=λ
a
.
2．平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面的两个不共线向量，
那么对于这一 平面的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
??
+λ
2
e
2

3．平面向量的坐标表示
分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为基底.任作一
个向量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得a?xi?yj

把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角） 坐标，记作
a?(x,y)

4．平面向量的坐标运算
b?(x
2
,y
2
)
，若
a?(x
1
,y
1
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
)
，
?
a?(
?x,
?
y)
.
若
A(x
1
,y
1< br>)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1?

??
?
5．
a
∥
b
(
b
?
0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2< br>y
1
=0
6．线段的定比分点及λ

P
1
， P
2
是直线l上的两点，P是l上不同于P
1
， P
2
的任一点，存
在实数λ，
使
P
1
P
=λ
PP
2
，λ叫做点P分
P
1
P
2
所 成的比，有三种情况：

λ>0(分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ
<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点P
１
(x
1
，y
1
) ，
Ｐ
２
(x
2
，y
2
)，
λ
为实数，且
P1
P
＝
λ
PP
2
，则点
P的坐标为（
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
,
），我们称
λ
为点P分
P
1
P2
所成的比.
1?
?
1?
?
8. 点P的位置与
λ
的围的关系：
①当
λ
＞０时，
P
1
P
与
PP
2
同向共线，这时称点P为
P
1
P
2
的分点.
②当
λ
＜０(
?
??1
)时，
P
1
P
与
PP
2
反向共线，这时称点P为< br>P
1
P
2
的外
分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面任取一点O，设
OP
1＝
ａ
，
OP
2
＝
ｂ
，
可得
OP
=
a?
?
b1
?
?a?b
.
1?
?
1?
?
1?
?
10．力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作
OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝
θ
（０
≤
θ
≤
π
）叫< br>ａ
与
ｂ
的夹角.
说明：（1）当
θ
＝０时，
ａ
与
ｂ
同向；
（2）当
θ
＝
π
时，
ａ
与
ｂ
反向； < br>（3）当
θ
＝时，
ａ
与
ｂ
垂直，记
ａ
⊥
ｂ
；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.围0
≤≤180
?
2
C

2．平面向量数量积（积）的定义：已知两个非零向量< br>ａ
与
ｂ
，它们
的夹角是
θ
，则数量|a||b|co s?叫
ａ
与
ｂ
的数量积，记作a?b，即有a?b =
|a||b|cos?，
（０≤
θ
≤
π
）.并规定0与任何向量的数量积为0.
?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号
所决定.
（ 2）两个向量的数量积称为积，写成a?b；今后要学到两个向量的外
积a×b，而a?b是两个向量的 数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”
在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

（3）在实数 中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，
且a?b=0，不能推出b=0 .因为其中cos?有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc
?
a=c.但是a?b = b?c a = c
如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线
的向量，而一般a与c不共线.
3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当?为 锐角时投影为正值；当?为钝角
时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? =
180?时投影为 ?|b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?
2? a?b ? a?b = 0

3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特
别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4? cos? =
a?b

|a||b|
5? |a?b| ≤ |a||b|
三、讲解例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120
o
，求a·b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60
o
求(a+2b)·(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb
与a-kb互相垂直.
例4 判断正误，并简要说明理由.
①
ａ
·0＝0；②0·
ａ
＝０；③0 －
AB
＝
BA
；④｜
ａ
·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜；⑤若
ａ
≠0，则对任一非零
ｂ
有< br>ａ
·
ｂ
≠０；⑥
ａ
·
ｂ
＝０，则
ａ
与
ｂ
中至少有一个为0；⑦对任意向量
ａ
，
ｂ
，< br>с
都有
（
ａ
·
ｂ
）
с
＝
ａ
（
ｂ
·
с
）；⑧
ａ
与
ｂ
是两个单 位向量，则
ａ
２
＝
ｂ
２
.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·
ａ
＝０；对于
②：应有０·
ａ
＝0；
对于④：由数量积定义有｜
ａ
·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜·｜
ｂ
｜·｜cos< br>θ
｜≤｜
ａ
｜｜
ｂ
｜，这里
θ
是
ａ
与
ｂ
的夹角，只有
θ
＝０或
θ
＝
π

时，才有｜
ａ
·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜·｜
ｂ
｜；
对于⑤：若非零向量
ａ
、
ｂ
垂直，有
ａ
·
ｂ
＝０；
对于⑥：由
ａ
·
ｂ
＝０可知
ａ
⊥
ｂ
可以都非零；
对于⑦：若
ａ
与
с
共线，记
ａ
＝
λс
.
则
ａ
·
ｂ
＝（
λс
）·
ｂ
＝
λ
（
с
·ｂ
）＝
λ
（
ｂ
·
с
），
∴（
ａ
·
ｂ
）·
с
＝
λ
（
ｂ
·с
）
с
＝（
ｂ
·
с
）
λс
＝ （
ｂ
·
с
）
ａ

若
ａ
与
с
不共线，则(
ａ
·
ｂ
)
с
≠（
ｂ
·
с
）
ａ
.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、
运算律.
例6 已知 ｜
ａ
｜＝３，｜
ｂ
｜＝６，当①
ａ
∥
ｂ
， ②
ａ
⊥
ｂ
，③
ａ
与
ｂ
的夹角是60°时， 分别求
ａ
·
ｂ
.
解：①当
ａ
∥
ｂ
时，若
ａ
与
ｂ
同向，则它们的夹角
θ
＝０°，
∴
ａ
·
ｂ
＝｜
ａ
｜·｜
ｂ
｜cos0°＝ 3×6×1＝18；
若
ａ
与
ｂ
反向，则它们的夹角
θ
＝180°， < br>∴
ａ
·
ｂ
＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜cos1 80°＝3×6×（-1）＝－18；
②当
ａ
⊥
ｂ
时，它们的夹角
θ
＝90°，
∴
ａ
·
ｂ
＝０；
③当
ａ
与
ｂ
的夹角是60°时，有

ａ·
ｂ
＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜cos60°＝3×6×＝9 < br>评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其围是［0°，
180°］，因此，当
ａ< br>∥
ｂ
时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知|a|=1，|b|=
2
，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为
（ ）
A.2 B.2
3
C.6 D.12
3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= .
5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴< br>正方向上的单位向量，那么a·b= .
6.已知a⊥b、c与a、b的 夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)
２
1
2
?
3
?
3
＝______.
7.已知|a|=1，|b |=
2
，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，
求|a+b| ；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向 量a=2m+n与

b=2n-3m的夹角.
9.对于两个非零向量a、b，求 使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与
a+tb的夹角.
五、小结（略）
六、课后作业（略）

第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问
题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以
及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作
OA
＝
ａ
，
OB＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝
θ
（０

≤
θ
≤
π
）叫
ａ
与
ｂ
的夹角.
2 ．平面向量数量积（积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它们
的 夹角是
θ
，则数量|a||b|cos?叫
ａ
与
ｂ
的数量积 ，记作a?b，即有a?b =
|a||b|cos?，
（０≤
θ
≤
π
）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当?为 锐角时投影为正值；当?为钝角
时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? =
180?时投影为 ?|b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特
别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4?cos? =
a?b
；5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
C

二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?
∴a ? b = b ? a
2．数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证：若
?
> 0，(
?
a)?b =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，a?(
?
b)
=
?
|a||b|cos?，
若
?
< 0，(
?
a)?b =|
?
a||b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?.
3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面取一点O，作
OA
= a，
AB
= b，
OC
= c， ∵a + b （即
OB
）
在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? =
|a| cos?
1
+ |b| cos?
2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?
1
+ |c| |b| cos?
2
， ∴c?(a + b) = c?a + c?b
即：(a + b)?c = a?c + b?c
说明 ：（1）一般地，(
ａ
·
ｂ
)
с
≠
ａ
（< br>ｂ
·
с
）
（2）
ａ
·
с
＝
ｂ
·
с
，
с
≠0
ａ
＝
ｂ
（3）有如下常用性质：
ａ
２
＝｜
ａ
｜
２
，

（
ａ
＋
ｂ
）（
с
＋
ｄ）＝
ａ
·
с
＋
ａ
·
ｄ
＋
ｂ< br>·
с
＋
ｂ
·
ｄ

(
ａ
＋< br>ｂ
)
２
＝
ａ
２
＋２
ａ
·
ｂ
＋
ｂ
２

三、讲解例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a ? 5b垂直，a ? 4b与
7a ? 2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a
2
+ 16a?b ?15b
2
= 0 ①
(a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a
2
? 30a?b + 8b
2
= 0 ②
两式相减：2a?b = b
2

代入①或②得：a
2
= b
2

a?bb
2
1
设a、b的夹角为?，则cos? = ∴? = 60?
??
|a||b|
2|b|
2
2
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，
AB?DC
，
AD?BC
，
AC
=
AB?AD

∴|
AC
|=
|AB?AD|?AB?AD?2AB?AD

2
2
22
而
BD
=
AB?AD
，
∴|
BD
|=
|AB?AD|?AB?AD?2AB?AD

2
2
22
∴|
AC
|
2
+ |
BD
|
2
= 2
AB?2AD
=
|AB|< br>2
?|BC|
2
?|DC|
2
?|AD|
2

BC
＝
ｂ
，
CD
＝
с
，
AB＝
ａ
，
DA
＝
ｄ
，例3 四边形ABCD中，且
ａ
·
ｂ
22
＝
ｂ
·
с
＝
с·
ｄ
＝
ｄ
·
ａ
，试问四边形ABCD是什么图形? < br>分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、

推算该四边形的边 角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵
ａ
＋
ｂ
＋
с
＋
ｄ
＝0，∴
ａ
＋
ｂ
＝－ （
с
＋
ｄ
），∴(
ａ
＋
ｂ
)
２< br>＝（
с
＋
ｄ
）
２

即｜
ａ
｜
２
＋２
ａ
·
ｂ
＋｜
ｂ
｜
２＝｜
с
｜
２
＋２
с
·
ｄ
＋｜
ｄ
｜
２

由于
ａ
·
ｂ
＝
с
·
ｄ
，∴｜
ａ
｜
２
＋｜
ｂ
｜
２
＝｜
с
｜
２
＋｜
ｄ
｜
２
① 同理有｜
ａ
｜
２
＋｜
ｄ
｜
２
＝｜с
｜
２
＋｜
ｂ
｜
２
②
由①②可得｜
ａ
｜＝｜
с
｜，且｜
ｂ
｜＝｜
ｄ
｜即四边 形ABCD
两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａ
·
ｂ
＝
ｂ
·
с
，有
ｂ
（< br>ａ
－
с
）＝０，而由平行
四边形ABCD可得
ａ
＝－
с
，代入上式得
ｂ
·(2
ａ
)＝０，即
ａ
·
ｂ
＝０，∴
ａ
⊥
ｂ
也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，
AB
，BC
，
CD
，
DA
是顺次首尾相接向量，
则其和向量是 零向量，即
ａ
＋
ｂ
＋
с
＋
ｄ
＝0，应注意 这一隐含条件
应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的
定义式中含有边、角两种关系.

四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（ ）
A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A.72 B.-72 C.36 D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)
２
＝ .
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= .
6.设|a|=3，|b|=5，且a+
λ
b与a－
λ
b垂直， 则
λ
＝ .
五、小结（略）
六、课后作业（略）

第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面两点间的距离公式.
?
3
3
4
3
4

⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作
OA
＝
ａ
，
OB＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝
θ
（０
≤
θ≤
π
）叫
ａ
与
ｂ
的夹角.
2．平面向量数量 积（积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它们
的夹角是
θ
，则数量|a||b|cos?叫
ａ
与
ｂ
的数量积，记作a?b， 即有a?b =
|a||b|cos?，
C
（０≤
θ
≤
π
）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特
别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4? cos? =
a?b
；5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a ? b = b ? a
数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量
a? (x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，试用
a
和
b
的坐标表示
a?b
.
设
i
是
x
轴上的单位向量，
j
是
y
轴上的单位向量，那么
a?x
1
i?y
1
j
，
b ?x
2
i?y
2
j

所以
a?b?(x
1
i?y
1
j)(x
2
i?y
2
j)
?x< br>1
x
2
i
2
?x
1
y
2
i ?j?x
2
y
1
i?j?y
1
y
2
j2

又
i?i?1
，
j?j?1
，
i?j?j ?i?0
，所以
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

2. 平面两点间的距离公式
八、 设
a?(x,y)
，则
|a|
2
?x
2
?y
2
或
|a|?x
2
?y
2
.
（2）如果表示向量
a
的有向线段的起点和终点的坐标分 别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
, y
2
)
，那么
|a|?(x
1
?x
2
)< br>2
?(y
1
?y
2
)
2
(平面两点间的距离 公式)

九、 向量垂直的判定
设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b

?
x
1
x
2
?y
1y
2
?0

十、 两向量夹角的余弦（
0?
?
?
?
）
cos? =< br>a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22

十一、 讲解例：
十二、 设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b间的夹角
θ(精确到1
o
)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，
并给出证明.
例3 已知a = (3， ?1)，b = (1， 2)，求满足x?a = 9与x?b = ?4的向
量x.
解：设x = (t， s)，
由
?
3t?s?9
?
t?2
∴x = (2， ?3) ?
?
?
?
x?b??4
?
t?2s??4
?< br>s??3
x?a?9
例4 已知a＝（１，
3
），b＝（
3< br>＋１，
3
－１），则a与b的夹
角是多少?
分析：为求a与b夹角， 需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角
θ
的围确定其值.
解：由a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－１）
有a·b＝
3
＋１＋
3
（
3
－１）＝４，｜a｜＝ ２，｜b｜＝２
2
．

记a与b的夹角为
θ
，则ｃｏ ｓ
θ
＝
又∵０≤
θ
≤
π
，∴
θ
＝
?
4
a?b2

?
a?b2
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的围的确定.
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，
求点B和向量
AB
的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则
OB
= (x， y)，
AB
= (x?5， y?2)
∵
OB
?
AB
∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x
2
+ y
2
?5x ? 2y = 0
又∵|
OB
| = |
AB
| ∴x
2
+ y
2
= (x?5)
2
+ (y?2)
2
即：10x + 4y = 29
?
73
?
x?x?
?
x?y?5x? 2y?0
?
?
2
2
?
1
2
?
?< br>或
?
由
?

37
?
10x?4y?29?
y
1
??
?
y
2
?
?
2< br>?
2
?
22
∴B点坐标
(,?)
或
(,)< br>；
AB
=
(?,?)
或
(?,)

例6 在△ABC中，
AB
=(2， 3)，
AC
=(1， k)，且△ABC的一个角为
直角，
求k值.
解：当A = 90?时，
AB
?
AC
= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
?

当B = 90?时，
AB
?
BC
= 0，
BC
=
AC
?
AB
= (1?2， k?3) = (?1， k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11

3
3?13

2
7
23
2
37
22
3
2
7
2
73
22
3
2
当C = 90?时，
AC
?
BC
= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =

十三、 课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|
２
－４a·b＝（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角
形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.
(,)
或
(,)
C.
(,?)
或
(?,)
3
5
4
5
43
55
34
55
43
55 B.
(,)
或
(?,?)

D.
(,?)
或
(?,)

3
5
4
534
55
34
55
3
5
4
5
4.a= (2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= .
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则
x= .
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=
BC
，b=
CA
，则a与b的夹
角为 .
十四、 小结（略）
十五、 课后作业（略）


第12课时
复习课
1
2

一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向
量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾
相接）。
4. 了解向量形式的 三角形不等式：||
a
|-|
b
|≤|
a
±
b|≤
|
a
|+|
b
|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形 式的平行四边形定
理：2(|
a
|
2
+|
b
|2
)=|
a
－
b
|
2
+|
a
+
b
|
2
.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或积）的概念，
a
·
b
=|
a
||
b
|cos
?
=x
1
x
2
+y
1
y
2
注意
区别 “实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物 理等学科的很多分支有着广泛的
应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，< br>能与中学数学教学容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高
考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；
③判垂直
三、典型例题
例1.对于任意 非零向量
a
与
b
，求证：｜｜
a
｜-｜
b
｜｜≤｜
a
±
b
｜

≤｜
a
｜+｜< br>b
｜
证明：(1)两个非零向量
a
与
b
不共线时，
a
+
b
的方向与
a
，
b
的
方向都 不同，并且｜
a
｜-｜
b
｜＜｜
a
±
b
｜ ＜｜
a
｜+｜
b
｜
(3)两个非零向量
a
与b
共线时，①
a
与
b
同向，则
a
+
b
的方向与
a
.
b
相同且｜
a
+
b
｜=｜
a
｜＋｜
b
｜.②
a
与
b
异向时， 则
a
+
b
的方向
与模较大的向量方向相同，设|
a
|＞|
b
|，则|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|.同理
可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC部一点，∠A OB=150°，∠BOC=90°，设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，
且|
a
|=2，|
b
|=1，|
c
|=3，用
a
与
b
表示
c

i

j

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中
i
,
j
是单位正交基底向量,
则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条 件知x=2cos(150°
-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-
3
），也就是
a
=
i
－
3
j
,
b
=
j
，
c
=-3
i
所以-3
a
=3
3
b
+
c
|即
c
=3
a< br>－3
3
b

例3.下面5个命题：①|
a
·
b
|=|
a
|·|
b
|②(
a
·
b
)
2
=
a
2
·
b
2
③
a
⊥(
b
－
c
)，则
a
·
c
=
b
·
c
④
a
·
b
=0，则|
a
+
b
|=|
a
－
b
|⑤
a
·
b< br>=0，则
a
=
0
或
b
=
0
，其中真 命题是（ ）
A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤
四、 巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）
c
=
b
·
c；
c
=
b
·
c
?
a
=
b；
c
+
b
·
c
；①
a
=
b< br>?
a
· ②
a
·③
a
·（
b
+c
）=
a
·

④
a
·（
b
·
c
）=（
a
·
b
）·
c
； ⑤
a?b
a
2
?
a
b
.
A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③
2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）
①若
a
与
b
是非零向量 ，且
a
与
b共线时，则
a
与
b
必与
a
或
b
中之一
a
·
a
=|
a
|
3
④方向相同；②若
e
为单位向量，且
a
∥
e
则
a
=|
a
|
e
③
a
·
若
a
与
b< br>共线，
a
与
c
共线，则
c
与
b
共线 ；⑤若平面四点A.B.C.D，必
有
AC
+
BD
=
BC< br>+
AD

A 1 B 2 C 3 D 4
3.下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q和向量
a
,若p
a
=q
a
则p=q②对于向量
a
与
b
，若
|
a
|
a
=|
b
|
b< br>则
a
=
b
③对于两个单位向量
a
与
b
，若|
a
+
b
|=2则
a
=
b
④对于两个单位向量
a
与
b
，若k
a
=
b
，则
a
=
b

4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)， B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),
求证：四边形ABCD为正方形。






第三章 三角恒等变换

3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立 两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生
初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好 基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极
性的问题，还有探索过程必 用的基础知识是否已经具备的问题，运用
已学知识和方法的能力问题，等等.
三、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道
cos45?
3
2
，
c os30?
，由此我
2
2
们能否得到
cos15?cos
?
45?30
?
??
大家可以猜想，是不是等于
cos45?cos3 0
呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我
们就一起探讨 两角差的余弦公式
cos
?
?
?
?
?
??

（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角
?
的终边 与单位
cos
?
等于角
?
与单位圆交点的横坐标，圆的交点为
P
1
，也可以用角
?
的
余弦线来表示，大家思考：怎样构造角?
和角
?
?
?
？（注意：要与它
们的正弦线、余弦线联 系起来.）

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探
索
cos
?
?
?
?
?
与
cos
?< br>、
cos
?
、
sin
?
、
sin
?
之间的关系，由此得到
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
，认识两角差余弦 公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差
余弦公式我 们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作
用与便利之处.
思考：
cos
?
?
?
?
?
??
，
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，再利用两角差的余弦
公式得出
cos
?
?
?
?
?
?cos< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?cos
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求
cos75
、
cos15
的值.
解：分析：把
75
、
15
构造成两个特殊角的和、差.
c os75?cos
?
45?30
?
?cos45cos30?sin45si n30?
23216?2
????
22224

cos15?co s
?
45?30
?
?cos45cos30?sin45sin30?
23216?2
????
22224

点评：把一个具体角构造成两个角的 和、差形式，有很多种构造方

法，例如：
cos15?cos
?
60?45
?
，要学会灵活运用.
?
,
?
例2、已知< br>sin
?
?
，
?
?
?
??
,cos
?
??,
?
是第三象限角，求
213
5
??
4
?
5
cos
?
?
?
?
?
的值 .
?
?
3
4
?
4
?
2
,
?
cos
?
??1?sin
?
??1???
解：因为?
?
?
，由此得
sin
?
?
??
? ?
2
55
5
??
??
2
又因为
cos?
??
5
,
?
13
是
2
第三象限角， 所以
12
?
5
?
sin
?
??1?cos
2
?
??1?
?
?
?
??

13
?
13
?
3
??
5
?
4
?
12< br>?
33
????????
所以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
?

??????
51351365
??????< br>点评：注意角
?
、
?
的象限，也就是符号问题.
（四）小结 ：（五）作业：
P
150
.T
1
?T
2

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
理解以两角差的 余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公
式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程 ，掌握其应
用.
二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导
过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
cos
?
?
?< br>?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正
弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互
化，这对我们解决今天的问题有帮助 吗？让学生动手完成两角和与差
正弦和正切公式.
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
??
?
?
?cos
?
?
?
?
cos?
?sin
?
?
?
?
sin
?
?2
???
2
??
2
?
?
?
2
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
．
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?
?
?
?cos
?
sin
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征 ，并思考两角和与差正切
公式.（学生动手）
tan
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
． < br>?
cos
?
?
?
?
?
cos
?cos
?
?sin
?
sin
?
通过什么途径可以把上面 的式子化成只含有
tan
?
、
tan
?
的形式
呢？ （分式分子、分母同时除以
cos
?
cos
?
，得到
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
．
1?tan
?
tan
?
注意：
?< br>?
?
?
?
2
?k
?
,
?
?
?
2
?k
?
,
?
?
?
2
?k
?
(k?z)

以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式
呢？

tan
?
?
?
?
?
?tan
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
?
?
?
tan
?
? tan
?

?
1?tan
?
tan
?
?< br>?
?
1?tan
?
tan
?
?k
?
,
?
?
注意：
?
?
?
?
?
2?k
?
,
?
?
?
2
?
2
?k
?
(k?z)
．
（二）例题讲解
?????
?
?
,cos?
?
,tan
?
?
例1、已知
sin< br>?
??,
?
是第四象限角，求
sin
?
??????
444
5
??????
3
???
的值.
3
?
4
3
??
解：因为
sin
?
??,
?
是第四象限角，得
cos
?
?1?sin
2
?
?1 ?
?
，
??
5
5
?
5
?
23
sin
?
3
tan
?
??
5
??< br> ，
4
cos
?
4
5
?
???
于是有
sin
?

?
?
?sincos
?
?co ssin
?
????
???
?
?
?
44252?
5
?
10
?
4
?
???
24237 2
??
242
?
3
?
72
?
?
?

cos
?
?
?
?
?coscos
??sinsin
?
????
?
?
?
?
4442 52510
????
两结果一样，我们能否用第一章知识证明？
3
??1< br>?
??
4
?
4
tan
?
?
?
?
???7

?
4
?
1?tan
?
ta n
?
3
?
?
1?
?
?
?
4
?
4
?
tan
?
?tan
?
例2、利用和（差） 角公式计算下列各式的值：
（1）、
sin72cos42?cos72sin42
；（2）、
cos20cos70?sin20sin70
；（3）、
1?tan15
．
1?tan15
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我 们

所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
（1）、
s in72cos42?cos72sin42?sin
?
72?42
?
?si n30?
；
（2）、
cos20cos70?sin20sin70?cos
?
20?70
?
?cos90?0
；
（3）、
1?ta n15tan45?tan15
??tan
?
45?15
?
?tan 60?3
．
1?tan151?tan45tan15
1
2
例3、 化简
2cosx?6sinx

解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但
我们能否发现规律呢？
?
1
?
3
2cosx?6sinx?22
?
?2
cosx?
2
sinx
?
?
?22
?
sin30cosx?cos30sinx
?
?22sin
?
30?x?
??
思考：
22
是怎么得到的？
22?
它的正、余弦 分别等于和
1
2
?
2
?
?
?
6
?
22
，我们是构造一个叫使
3
的.
2
小结：本节我们学习 了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟
记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
作业：
2
?
?
1
?
?
3
??
??,tan
?
?
1、 已知
tan
?
?< br>?
?
?
?,tan
?
求的值．（）
????
5
?
4
?
4
?
4
?
22
2、 已知
0?
?
?
?
4
?
?
??
?< br>3
?
?
?
?
3
?
3
?
?< br>5
,cos
?
?
?
?
?,sin
?
?
?
?
?
4
?
4
?
5
?
4
?
13
，求
sin
?
?
?
?
?
的值．
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦
和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正
弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公
式，
sin?
?
?
?
?
?sin
?
cos
??cos
?
sin
?
；
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?< br>sin
?
；
tan
?
?
?
?
?< br>?
tan
?
?tan
?
．
1?tan
?< br>tan
?
我们由此能否得到
sin2
?
,cos2
?
,tan2
?
的公式呢？（学生自己动手，
把上述公式中
?
看成
?
即可），
（二）公式推导：
sin2
?
?sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?2sin
?
cos
?
；
cos2
?
?cos
?
?
?
??
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?
?cos
2
?
?sin
2
?
；
思 考：把上述关于
cos2
?
的式子能否变成只含有
sin
?
或
cos
?
形式
的式子呢？
cos2
?
?cos< br>2
?
?sin
2
?
?1?sin
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
；

< br>cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
??cos
2
?
?(1?cos
2
?
)?2cos
2
?
?1
．
tan2
?
?tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
2 tan
?
．
?
2
1?tan
?
tan
?
1?tan
?
注意：
2
?
?
?
2
?k
?
,
?
?
?
2
?k
?

?
k?z
?

（三）例题讲解
例1、已知
sin 2
?
?
??
42
5
??
,?
?
? ,
求
sin4
?
,cos4
?
,tan4
?
的值．
1342
解：由
?
?
?,
得
?2
?
?
?
．
2
5
?
12
5
??
又因为
sin2
?
?,
cos2
?
??1?sin
2
2
?
??1?
?
．
??
131313
??
2
?
于是
sin4
?
?2sin2< br>?
cos2
?
?2?
5
?
12
?
1 20
?
?
?
?
??
；
13
?
1 3
?
169
120
sin4
?
120
?
5
?
119
；
tan4
?
?
．
?
169
??
cos4
?
?1?2sin
2
2
??1?2?
??
?
119
cos4
?
119
1 3169
??
169
2
?
例２、已知
tan2
?< br>?,
求
tan
?
的值．
解：
tan2
?< br>?
2tan
?
1
2
tan
?
?6tan?
?1?0
，由此得
?
2
1?tan
?
3< br>1
3
解得
tan
?
??2?5
或
tan?
??2?5
．
（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式， 我们
要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（五）作业：
P
150
.T
3
?T
4

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）
教学目标
通过例题的解答，引导学生对 变换对象目标进行对比、分析，促

使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题 的条件进行公
式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法
的认识，从而 加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十 一个公式为依据，以推导积化和差、
和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的容、思路
和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、
运算能力．
教学 难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换
过程的设计，不断提高从整体上把握变换过 程的能力．
教学设想：
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、
运算能力提供了新的平台．下面 我们以习题课的形式讲解本节容．
例1、试以
cos
?
表示
sin
2
,cos
2
,tan
2
22
???
2< br>．
?1
和
cos
?
?1?2sin
2
解： 我们可以通过二倍角
cos
?
?2cos
2
因为
cos?
?1?2sin
2
，可以得到
sin
2
2
?
2
?
2
来做此题．
?
?
2
?
1?cos
?
；
2
1?cos
?
．
2
因为
cos
??2cos
2
?
2
?
2
?1
，可以得到
cos
2
?
2
?
又因为
tan
2
?2
?
1?cos
?
．
?
1?cos
?
cos
2
2
sin
2
?

思考：代数式变换 与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由
于不 同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包
含的角，以及这些角的三角函数种类方面 的差异，因此三角恒等变换
常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换
的重要特点．
例２、求证：
（１）、
sin
?
cos
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
；
2
?
（２）、
sin
?
?sin
?
?2sin
??
?
2
cos
1
?
?
?
2
．
证明：（１）因为
sin
?
?
?
?
?
和< br>sin
?
?
?
?
?
是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
sin
?
?
?
?
?
? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
c os
?
?cos
?
sin
?
．
两式相加得
2sin
?
cos
?
?sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
；
即< br>sin
?
cos
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
??
?
；
2
?
（２）由（１）得
sin
??
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?2sin
?
cos
?
①；设
?
?
?< br>?
?
,
?
?
?
?
?
，
1
那么
?
?
?
?
?
2
,
?
?
?
?
?
2
．
?
?
?
2
cos
把
?
,
?
的值代入①式中得
sin
??sin
?
?2sin
?
?
?
2
．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差 的形式，（２）式是

和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化
积的公式．
例３、求函数
y?sinx?3cosx
的周期，最大值和最小值．
解：< br>y?sinx?3cosx
这种形式我们在前面见过，
?
1
?
3
?
??
y?sinx?3cosx?2
?
sinx?cosx?2 sinx?
?
??
，
?
2
?
23
??< br>??
所以，所求的周期
T?
2
?
?
?2
?< br>，最大值为２，最小值为
?2
．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举 例，它使三角函数中对
函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三
角函数式中的作用．
小结：此节 虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的容，我
们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等 数学思想方法加深认
识，学会灵活运用．
作业：
P
157
?P
158

T
1
?T
4

《三角恒等变换》复习课（2个课时）
一、教学目标
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和
差公式 与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与方法：

1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，
由它出
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ- cosαsinβ

发，
cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ

用-β
β、
?
代
2
代替
±β
替
α=β
元法可
导出其
式。你
据下图
推导过 程吗？
tan
?
?tan
?
tan（α+β）=
1? tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?


tan（α-β）=
1?tan
?
tan
?
β 、
等换
以推
它公
tan2α=
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos
2
α- sin
2
α
=2cos
2
α-1=1-2 sin
2
α

ta n
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

能根
回顾
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，
次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号尽量不含三角函数，能求
值的求出值来；
3．求值 ，要注意象限角的围、三角函数值的符号之间联系与影响，
较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小 角的围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变
同于，或都将左右 进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、
形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角
的和差关系、倍半关系等，名、 形之间可以用哪个公式联系起来；（3）
变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或 逆用

公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-
β），1= sinα+cos
例题
例1 已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，求
tan
?
的值。
tan
?
22
1?tan30
0
α，
1?tan30
0< br>tan45
0
?tan30
0
=
1?tan45
0< br>tan30
0
=tan（45
0
+30
0
）等。
2
3
1
5
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例3 化简（1）
αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin
2
α+2sin
2
β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α
+2β=。
例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成
本，必须尽量减少水与水渠 壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值
m，渠深8米。则水渠壁的倾角
?
应为多少时 ，方能使修建的成本最
低？
分析：解答本题的关键是把实际
问题转化成数学模型，作
出横断面的图形，要减少
水与水渠壁的接触面只
要使水与水渠断面周长最小，利用三角 形的边角关系将倾角
为
?
和横断面的周长L之间建立函数关系，求函数的最小值


E

D
A






B

C
31
?
si n20
0
sin70
0
；（2）sin
2
αsin
2
β+cos
2
αcos
2
β-
1
cos2
2
?
2
8