数学必修四知识点汇总

tan
?
?AT?0
；当
α
的终边落在y轴上时，O P与垂线平行，正切线不存在。
四、同角三角函数的基本关系
●同角三角函数的基本关系
根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。
由三角函数定义有< br>sin
?
?
22
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
。
rrx
y
2
x
2
x
2
?y
2
r
2
①
si n
?
?cos
?
?()?()??
2
?1
，即sin
2
?
?cos
2
?
?1
。
2
rr
rr
②当
?
?k
?
?
?
sin
??
即同一个角
α
的正弦、
(k?Z)
时 ，
?tan
?
(
?
?k
?
?,k?Z)
，
2cos
?
2
余弦的平方和等于1，商等于
α
角的正切（其 中
?
?k
?
?
●关于公式
sin
2
??cos
2
?
?1
的深化
?
2
。
,k?Z
）
1?sin
?
?
?
sin
?
? cos
?
?
2
；
1?sin
?
?sin
?
?cos
?
；
1?sin
?
?sin
?
2
?cos
?
2

如：
1?sin8?sin4?cos4? ?sin4?cos4
；
1?sin8?sin4?cos4

五、正弦、余弦的诱导公式
●0°~360°之间角的划分
对于任何一个0°到360°的角，以下四种情形有且仅有一种成立：
?
?

?
?[0
?
,90
?
)
?
???
?
180?
?

?
?[90,180)

?
?

???
?
180?
?

?
?[180,270)
?
360
?
?
?

?
?[270
?
,360
?
)
?
●诱导公 式二

sin
?
(?
?
?)?si
?
，
ncos(
?
?
?
)??cos
?
，
t an(
?
?
?
)?tan
?
。
●诱导公式三

sin?(
?
?)?
●诱导公式四

si n
?
(?
?
?)
，
si
?
ncos(?
?
?
)??cos
?
，
tan(
?
?
?
)??tan
?
。
s
?
i
，
ncos(?
?
)?cos
?
，
tan(?
?
) ??tan
?
。
以上几个诱导公式可以叙述为 ：对于
?
?k ?2
?
(k?Z)
，则
?
?
，
?
?
?
的三角函数，
等于
α
的同名函数值，前面加上一个把
α
看成锐角时原三角函数值的符号。
也可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。
●诱导公式五

- 3 -

sin
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?co< br>?
s
，
cos
?
?
?
?
?sin< br>?
。
?
2
??
2
?
●诱导公式六

sin
?
?
?
??
?
?
?< br>?
?
?co
?
s
，
cos
?
??
?
??sin
?
。
?
2
??
2
?
可以概括为：
?
2?
?
的正弦（余弦）函数值，分别等于
α
的余弦（正弦）函数值，前面加
上一个把
α
看成锐角时原函数值的符号。
也可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”。
六、两角和与差的正弦、余弦、正切
●两角和的正弦、余弦、正切
n?

sin
?
?
?
?
?
?si
?

co
?
s?c
?
o?s
s
?
in?
?
s

in
，
s
?
i

n，
coss?co
?
s?
?
?
?
?
?
?co
?

tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?ta
?
n
。
1?tan
?
ta
?
n
●两角差的正弦、余弦、正切
n

sin
?
?
?
?
?
?si
?

co
?
s?c
?
os
，
?
s

in
s
?
ins
?
i

n
，cossco
?
s?
?
?
?
?
?
?c o
?

tan
?
?
?
?
?
?< br>tan
?
?ta
?
n
。
1?tan
?
ta
?
n

此处公式较多，可熟记 两角和的三个公式，两角的差
?
?
?
?
?
可以看做
?
?(?
?
)
，进行
推导。
●积化和差公式
1
，
[s
?
in?(
?
?)
?
si?n
?
()]
2
1

cos
?
?s i
?
n?[s
?
in?(
?
?)
?
si? n
?
(
，
)]
2
1

cos
?
?co
?
s?[c
?
os?(
?
?)
?
co?s
?
(
，
)]
2
1

sin
?
?si
?
n??[c
?
os?(
?
?)
?
co?s
?
(
。
)]
2

sin
?
?co
?
s?
●和差化积公式
sin
?
?si
?
n?
?
?
?
2si n?
2
?
?
?
cos
，
2
- 4 -

?
?
??
?
?
2cos?sin
，
22
?
?
??
?
?

cos
?
?co
?
s?2cos?cos
，
22
?
?
??
?
?

cos
?
?co
?
s??2sin?sin
。
22

sin
?
?si
?
n?
七、二倍角的正弦、余弦、正切
●二倍角的正弦、余弦、正切

sin
?
2?


2s
?
i?n
，
c
?
o
< br>s
2
si
?
n?cos
?
2?c
2
o
?
s?2
2
c
?
o?s?1?1
2
，< br>s

in2
?
tan
?
2?
sin
?
22t
?
an
。
?
cos
?
2
1?ta
2
n
?
2
si
?
n?
2
●公式的逆向变换及相关变形
2?

1?sin
?
c
?
os?
?
co?s
?
(s?in
?
2
，
cos)
，
1?cos
?
?2cos

cos
?
?
●半角公式

sin??
2
2
?
2
,1?cos
?
?2sin
2
?
2
1
(?1
2
co
?
s
，
2sin)2
?
?
1
(1?cos2
?
)
。
2
?
2
1?co
?
s
，
2
1?co
?
s
，
2
1?co
?
s
。
1?co
?
s

cos??
?
2

tan??
?
2
八、正弦函数、余弦函数的图像和性质
●正弦函数、余弦函数图像的画法
1、几何法
利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图像。
2、五点法
观察正弦函数的图像，可以看出，下面五个点在确定正弦函数的形状时有重要作用：
（0, 0），（
?
2
，（
?
,0
），（
,?1
）
3
?
，（
2
?
,0
）。
,?1
）
2
这五点描出后，正弦函数y=sinx，x∈[0,2π]图像形状就基本确定了。
同样， （0，1），（
?
3
?
，（
?
,?1
），（，（< br>2
?
,1
）这五个点描出后，余弦函数
,0
）
,0< br>）
2
2
- 5 -

y=cosx，x∈[0,2π]的图像形状就基本确定了。
用光 滑曲线将五个点连接起来，再将这段曲线向左、向右平移，每次平移2π个单位，
就得到了y=sinx ，y=cosx，x∈R的图像。
3、正弦曲线、余弦曲线
我们把正弦函数 y=sinx，x∈R和余弦函数y=cosx，x∈R的图像分别叫做正弦曲线和
余弦曲线。
●定义域、值域
函数 定义域 值域
y=sinx
（-∞，+∞） [-1，1]
y=cosx
（-∞，+∞） [-1，1]
●周期性
1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值
时，都有f (x+T)=f(x)。那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周
期。
2、对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正整数，那么这个最
小的正整数就叫做f(x)的最小正周期。、
3、因为
sin(x?2k)?sinx
，
cos(x?2k)?cosx(k?Z)
，对于任意整数k，2kπ都是
正弦函数和余弦函数的周期，其中2π是它们的最小正周期。
4、周期函数不见得总有最小正周期 ，如f(x)=c(x∈R),其中c为常数，其周期T可以是
任意实数。周期函数的周期不唯一，若T 是f(x)的周期，则kT(k∈Z)也在定义域内，
因此周期函数的定义域一定是无限集。
●奇偶性
1、奇函数、偶函数的定义
对于函数f(x)的定义域内 的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为这一定义域
内的奇函数；如果对于函数f (x)的定义域内的任意一个x，则称f(x)为这一定义域内
的偶函数。
2、由诱导公 式可知
si?nx(?)?
，
xsixn?R(cos(?x)?cosx(x?R)
，

tan(?x)??tanx(x?R)
，故y=sinx（x∈R）是 奇函数，y=cosx（x∈R）是偶函数。
3、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
●单调性
1、对于函数
y?sixnx?(R)k
?
,[?2
2
?
是
k< br>?
?,2k?Z](
它的
)
增区间，
2
?
[ 2k
?
?
?
2
,2k
?
?
3
?< br>](k?Z)
是它的减区间。
2
2、对于函数
y?cosx(x ?R),[2k
?
?
?
,2k
?
](k?Z)
是它 的增区间，
[2k
?
,2k
?
?
?
](k?Z)< br>是它的减区间。
九、函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图像
●A对y=Asinx的图像的影响

- 6 -

要 得到函数y=Asinx（A>0，A≠1）的图像，可以看做把y=sinx的图像上所有点的纵坐标
伸长（当A>1时）或缩短（当0的。故y= Asinx（A>0，A≠1，x∈R）的值域是[-A，A]，最大值为A，最小值是-A。
特 别地，推广到一般的情形，函数y=A·f(x)（A>0，A≠1）的图像，也可以看做y=f(x)
的图像上各点保持横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍得到的。容易发现，A不会改变
函数的周期，即 y=f(x)若为周期函数且周期是T，则y=A·f(x)（A>0，A≠1）的周期也
是T。
●ω对y=sinωx的图像的影响
函数y=sinω（ω>0，ω≠1）的图像，可以 看做把y=sinx的图像上所有的横坐标缩短（当
ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的1
?
倍，而各点的纵坐标保持不变得到的。
y=sinω（ω>0，ω≠1 ，x∈R）的值域是[-1，1]，但其周期由y=sinω的周期2π改变为
即y=sinω（ω>0 ，ω≠1）得周期是2π的
2
?
?
，
1
?
倍。
推广到一般的情形，将函数y=f(x)的图像上各点纵坐标保持不变，而横坐标伸长（当0<ω<1时）或缩短（当ω>1时）为原来的
1
?
倍，即可得到函数y=f(ωx) （ω>0，ω≠1）
的图像；若y=f(x)是周期函数且周期为T，则y=f(ωx)的周期为
T
●
?
对y=sin(x+
?
)的图像的影响
函数 y=sin(x+
?
)的图像（其中
?
≠0），可以看做把y=sinx的图 像上所有的点向左（当
?
>0）
或向右（当
?
<0时）平移|
?
|个单位而得到的。由于图像仅进行了左右平移变换，故函数
的最值和周期都不会发生变化 。
一般地，将函数y=f(x)的图像沿x轴向左（当
?
>0时）或向右（当< br>?
<0时）平移|
?
|个单
位，即可以得到y=f(x+
?< br>)的图像。
●函数y=Asin(ωx+
?
)的图像
一般情况下，函数y= Asin(ωx+
?
)的图像可以用下面方法得到：先把y=sinx 的图像上所
有的点都沿x轴向左（当
?
>0时）或向右（当
?
<0） 时平移|
?
|个单位，再把所得各点的
横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）为 原来的
?
。
1
倍（纵坐标保持不变），最后将所有的
?
纵 坐标伸长（A>1）或缩短（0x+
?
)的图像。
一般我们都是按照先平移、后缩放的程序得到变换后的图像 ，当然也可以先缩放、再平移，
但要注意的是，应先将解析式变形为y=Asin[ω(x+
位 为|
?
)]的形式，即缩放后，左右平移的单
?
当y=Asin(ωx+
?
)（A>0，ω>0），x∈[0,+∞]时，它可以表示一个振动，则A表示振动
过程中离开平衡位置的最大距离，又叫振幅；往复振动一次所需的时间叫做振动的周期
（T），T=?
|。
?
2
?
?
时，相位
?
叫做初相。
；单位时间内振动的次数为频率f，
f?
1
?
；
?
x?
?
叫做相位，x=0
?
T2
?
十、正切函数的图像和 性质

- 7 -

●正切函数的图像
1、根据tan(x?
?
)?
sin(x?
?
)?sinx
?< br>??tanx
，其中x∈R，且
x?kx?,k?Z
，
cos(x?< br>?
)?cosx
2
推出正切函数的周期为π。
2、根据
tanx?
sinx
?
，要使tanx有意义，必须使cosx≠0，即
x? kx?,k?Z
，故正
cosx2
切函数的定义域为
?
x|x?R且 x?k
?
?
?
2
,k?Z
?
。
??
,)
的图像，而后向左、右扩展，
22
3、根据正切函数的 第定义域和周期，我们取
x?(?
得
y?tanx,x?(?
??
, )
的图像，而后向左、右扩展，得
y?tanx,x?R
且
22
x? kx?
?
2
,k?Z
的图像，如图，并把他叫做正切曲线。

●正切函数的性质
1、定义域：
?
x|x?R且x?k
??
?
?
?
?
,k?Z
?
。
2
?
2、值域：R，函数无最大值、最小值。
3、周期：π
4、奇偶性：奇函数
5、单调性：在每一开区间
(?
?
2
?k
?
,
?
2
k
?
),k?Z
内 均为增函数。必须注意两个问题：
①正切函数
y?tanx,x?(k
?
?
其定义域内是单调增函数；
②函数
?
2
,k
?
?
?
2但不能说函数在
),(k?Z)
是单调增函数，
y?Atan(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
，其定义域由不等式
?x?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
得到 ，其周期为
T?
?
。
?
正切函数在开区间
(?
?
2
?k
?
,
?
2
?k
?
)< br>?
k?Z
?
内都是增函数，但并不在整个定义域上为
增函数，利用正切 函数单调性比较两个角正切值的大小时，要利用诱导公式把角化到同一
单调区间再比较，或直接利用正切 式。
正切函数的图像既可以类似地由正切线的几何方法作出，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为
(k
?
,0),(k
?
??
4
,1),(k
?
?
?
4
,?1)
，直线
x?k
?
?
?
2
，

- 8 -

直线
x?k
?
?
?
2
，其中
k?Z
。作出三个点和这两条渐近线，便可得到
y?tanx
在一个
周期上 的简图。
正、余弦函数与正切函数同是中心对称图形（注意正、余弦函数同时也是轴对称图形）。
函数
y?tanx
的对称中心的坐标是
(
k
?
,0 )(k?Z)
。
2
十一、已知三角函数值求角
●反正弦函数的概念
1、定义：
在
x?[?
??
,]
上，若< br>sinx?a(?1?a?1)
，则x叫做a的反正弦，记做arcsina。
22
2、理解：
①“arcsina”是一个整体，它表示一个角（弧度制）；
②“arcsina”表示角的范围是
[?
③这个角的正弦值为a；
④当|a|>1时，arcsina无意义。
●反余弦函数的概念
1、定义
在
x?[0,
?
]
上，若
cosx?a(?1?a?1)
， 则x叫做a的反余弦，记做arccosa。
2、理解：
①“arccosa”是一个整体，它表示一个角（弧度制）；
②这个角的范围是
[0,
?
]
；
③这个角的余弦值为a；
④当|a|>1时无意义。
●反正切函数的概念
1、定义：
在
x?(?
??
,]
； 22
??
,)
内，若
tanx?a(a?R)
，则x叫做a的反 正切，记做arctana。
22
2、理解：
①“arctana”是一个整体，它表示一个角（弧度制）；
②这个角的范围是
(?
??
,)
；
22
③这个角的正切值是a。
第二章 平面向量
一、平面向量的基本概念
●向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
向量有两个要素：即大小和方向。要注意将向量与仅有大小的数量进行区分。

- 9 -

●用有向线段表示向量
1、有向线段：将线段AB的端点规定一个顺序， 以A为起点（也称始点），以B为终点，
则线段AB就具有了方向，即由A只想Ｂ，我们把具有方向的线 段叫做有向线段，记做
有向线段
AB
。
2、规定线段AB的长度是有向线段
AB
的长度，记做
|AB|
。

3、有向线段的三个要素：起点、方向、长度。
4、用有向线段表示向量要注意两点：
①有向线段的方向就是向量的方向；
②有向线段的长度就是向量的大小。
●几个重要定义
1、零向量：长度为零的向量叫做 零向量。记做0，零向量的方向是任意的，它对应的几
何图形是一个点。
2、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
3、相等向量：长度相等且方向相同的非零向量叫做相等向量，记做a=b；规定所有的零
向量都相等。
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，任一向量a都
与 它自身是平行向量；规定零向量与任一向量是平行向量。
二、向量的加法与减法
●向量的加法
BC
=b， 1、定义：设
AB
=a，则向量AC
叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=
AB
+
BC
=< br>AC
。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
特别地，对于零向量与任一向量a，都有0+a=a+0=a。
2、向量加法的三角形法则
根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则。使用三角形法则特别要
注 意“首尾相接”，具体步骤是把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后
面向量的起点与前 一个向量的终点重合，即用一个字母来表示），则由第一个向量的起点
指向最后一个向量终点的有向线段 就表示这些向量的和。
3、向量加法的平行四边形法则
向量加法还可以用平行四边 形法则，先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个
已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边 所夹得对角线就是这两个已知向量的和。
●向量的减法
1、相反向量：与a长度相等， 方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作-a，规定：零
向量的相反向量仍是零向量。
性质①-（-a）=a；②a+（-a）=（-a）+a=0
2、两个向量的差
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)。
3、向量的减法
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
O
a
法则：如图所示 ，已知a,b，在平面内任取一点O，作
OA
=a，
OB
=b，
b
a-b

- 10 -

则
BA
=a-b。即a- b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量。
用三角形法则求两个向量的差的步骤是：1、 将两向量平移，使它们的起点重合；2、将平
移后的两向量的终点相连；3、差向量是指向被减向量。也 就是：作平移，共起点，两尾
连，指被减。
三、实数与向量的积
●实数与向量的积得定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记为λa，它的长度与方向规定如下：
1、|λa|=|λ||a|；
2、当λ>0时，λa的方向与a的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a的方向相反，当
λ=0时，λa=0，这时λa的方向是任意的。
对于λa。
1、从代数角度来看，①λ是实数，a是向量，它们的积任然是向量；②λa=0的条件是
a=0或λ=0。
2、从几何的角度来看，对于长度（模）而言，①当|λ|>1时，有 |λa|>|a|，这意味着表示
向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长了| λ|倍；②当0<|λ|<1
时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（0< λ<1）或反方向（-1<
λ<0）上变为原来的
1
|
?
|
。并且我们看到向量之间的数乘关系有助于解决平面几何中
平行、相似问题。
●实数与向量的积得运算律
设λ，μ∈R，a，b是向量，则
① λ(μa)=( λμ)a；
② (λ+μ)a=λa+μa；
③ λ(a+b)=λa+λb。
●向量共线的充要条件
1、当向量a=0时，a与任一向量b共线；
2、当向量a≠0时，讨论向量b与a的共线问题，有下面的定理：
定理：向量b与非零向量a共线的充要条件有且只有一个实数，使得b=λa。
对这个定理，要分类去理解：
① 当λ=0时，b=λa=0，这时b与a共线，其本质是零向量与任一向量共线；
② 当λ>0时，b=λa可由a同向伸缩得到，因此，b与a共线。
③ 当λ<0时，b=λa可由a反向伸缩得到，所以，b与a也是共线的。
值得注意的是：①这个定理的 内容里面，不包含0与0共线的情况，因为a≠0；②强
调a≠0是必要的，否则定理就失去必要性。如 b≠0，a=0时，b与a共线是成立的，
但此时b=λa是不成立的。
●平面向量的基本定理
如果e
1
，e
2
是同一平面内 的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且
只有一对实数λ
1
，λ
2
，使a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
。
其中，e
1
，e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
这个定理实质是：只要向量e
1
不平行于e
2
，平面内的任一向量a都可以用 e
1
与e
2
表示出
来，而且表示形式a=λ
1
e< br>1
+λ
2
e
2
是唯一的。

- 11 -

例如，0=0e
1
+0e
2
，2e
1< br>=2e
1
+0e
2
，??
对于a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
，有时我们也说λ
1
e
1
+λ
2
e
2
是e
1
与e
2的线性组合，或者说a可以被e
1
，
e
2
表示。
四、平面向量的坐标运算
●平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。由平面向
量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示 成a=xi+yj，由于a与数对(x，y)是一一对
应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作 a=(x，y)，其中x，y分别叫作a在x轴、y
叫做在y轴上的坐标。
注：
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。
(2)向量的坐标与表示该向量 的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置
有关。
●两个向量相等的充要条件
设向量a=xi+yj，b=x’i+y’j，则：
a=xi+yj=（x，y），
b=x’i+y’j=（x’，y’）。
于是我们得到
a?b?(x,y) ?(x
?
,y
?
)
。即
a?b?x?x
?
且y?y
?

●平面向量的坐标运算
若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y< br>2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
?
。
若
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x
2
?x
1< br>,y
2
?y
1
?

若a=(x,y)，则
?
a=(
?
x,
?
y)
若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?< br>?
x
2
,y
2
?
,b?0
，则
ab ?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
< br>若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b??
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，若
a?b
，则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?0

●向量平行的坐标表示
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则b∥a（a≠0）
?
x
1
y
2
-x
2
y
1
=0。
由向量平行的充要条件 易知
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?< br>x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
共线的充要条件为（x
2
-x
1
）
（y
3
-y
1
）-（x
3
-x
1
）（y
2
-y
1
）=0，而不是
x?x
1
x
2< br>?x
1
?
3
。
y
2
?y
1
y
3
?y
1
凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行的充要条件：
①b∥a
?
b=λa（a≠0，λ∈R）。
②b∥a（a≠0）
?x
1
y
2
-x
2
y
1
=0，其中a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
。

- 12 -

由两点间距离公式可知：
若a=（x，y），则|a|=
x
2
?y
2
，与a共线的单位向量为
?
a

|a|
五、线段的定比分点
●线段的定比分点
定义：设P
1
，P
2
是直线l上的两点，点P是l上不同于P
1
，P
2< br>的任意一点，则存在一个实
数
?
，使
p
1
p?
?
pp
2
，
?
叫做点P分有向线段
P
1
P
2
所成的比。当点P在线段
P
1
P
2
上时，?
?0
；当点P在线段
P
1
P
2
或
P
2
P
1
的延长线上时，
?
<0
在这个定义中，要注意三个问题：
第一，
P
1
P?
?
PP
2
不可写成
P
1
P
PP
2
?
?
的形式，因为对向量从来没有定义过除法。
第二，
P
1
P?
?
PP
2
中的P
1
，P，P
2
是有顺序的 ，顺序从左至右排列是P
1
→P→P
2
，即始
点→分点→终点。
第三，
P
1
P?
?
PP
2
中的P1
，P，P
2
三个点互不重合，因此，
P
1
P?0，
PP
2
?0
，从而
λ应满足λ≠0且λ≠-1。
●定比分点的坐标公式
?
?
x?

?
?
y?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?< br>y
1
?
?
y
2
1?
?

上式称为有向线段
P
1
P
2
的定比分点坐标公式（使用公式时），要 注意始点、终点的顺序性）。
●中点坐标公式
x
1
?x
2
?
x?
?
2
， 当
?
=1时，分点P为线段
P
1
P
2
的中点，即有
?
y?y
2
?
y?
1
2
?
上式称为中点坐标公式。
五、平面向量的数量积及运算律
●向量a与b的数量积
1、非零向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为
?
，我们把|a||b|cos
?
叫做a与b的数量积（或
内积、点积），记为
a? b
，即
a?b?|a||b|cos
?
。
2、零向量与任一向量的数量积

- 13 -

规定：零向量与任一向量的数量积为0.
由以上定义可知，两个向量的数量积是一个实数。
●数量积
a?b
的几何意义
1、b在a的方向上的投影，如图，设两个非零向量a与b的夹角为
?
。
B
B
b

o

?

B
1

B
1
o

?

a


b

?

a

O（B
1
） < br>对于
0??
?
?180?
的情况，过B作BB
1
⊥直 线OA于B
1
，则
OB
1
?|b|cos
?
。
我们把
|b|cos
?
叫做向量b在a的方向上的投影。
对于
OA?a
与
OB?b
的夹角是0°或180°的情况，规定b在a的方向 上的投影时OB，
如图：
a

b a

O b B A

B O A

2、
a?b
的几何意义
由
a?b?|a| |b|cos
?
可知，非零向量a与b的数量积
a?b
的几何意义是数量积< br>a?b
等
于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
?
的 乘积。
●平面向量数量积运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
1、
a?b?b?a
（交换律）。
2、
(
?
a)?b ?
?
(a?b)?a?(
?
b)
。
3、
(a?b)?c?a?c?b?c
。
值得注意的是平面向量的数量积不满足结合 律，这是因为
a?b
与
b?c
的结果是数据，因
此，
(a? b)?c
与
a?(b?c)
都是没有意义的。
●向量数量积
a?b
的性质
设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，
?
是a与e的夹角，则：
1、
e?a?a?e?|a|cos
?
。
2、
a?b?a?b?0
。
3、当a与b同向时，
a?b?|a||b|
；
当a与b反向时，
a?b??|a||b|
。

- 14 -

特别地，
a?a?|a|
，或
|a|?
今后，
a?a
可以简记为
a
。
4、
cos
?
?
2
2
a?a
。
a?b
。
|a||b|
5、
|a?b|?|a||b|
。
六、平面向量数量积得坐标表示
●平面向量数量积得坐标表示
设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，即i= （1，0），j=（0，1）。且a，b为
两个非零向量，a=（x
1
，y
1
），b=（x
2
，y
2
）。则
i?j?j?i?0
，
i?i?1
，
j?j?1
。
故
a?b?(x
1
i?y
1
j)?(x
2
i?y
2
j)


?x
1
x
2
?j?x
1
y
2
i?j?x
2
y
1
i?j?y
1
y
2
?j


?x
1
?x
2
?y
1
?y
2
。
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
●向量的长度和两点间距离公式
1、向量的长度（模）
222
若a=（x，y），则
|a|?x? y,|a|?
22
x
2
?y
2
。
2、两点间的距离公式
设A（x
A
，y
A
），B（x
B
，y
B
），
则
|AB|?(x
A
?xB
)
2
?(y
A
?y
B
)
2
。
●两向量垂直的充要条件
若a=（x
1
，y
1
） ，b=（x
2
，y
2
），
则
a?b?x
1< br>?x
2
?y
1
?y
2
?0
。
●两向量夹角公式的坐标表示
若a=（x
1
，y
1
） ，b=（x
2
，y
2
），设a与b夹角是
?
。
由
a?b
=a（x
1
，y
1
）
?
（x2
，y
2
）=x
1
?
x
2
+y
1
?
y
2

且
a?b?|a|?|b|?cos
?
?
∴
cos
?< br>?
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
?cos
?
，
。
2222
a?b
?
|a|? |b|
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
2222
八、平移

- 15 -

●平移
设F是坐标平面 内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样的长度，得到图
形F’，这一过程叫做图形的平移 。
将一个图形平移，图形的形状、大小不变，只是在坐标平面内的位置发生了变化。因此，
平移前后，图形中那些与位置无关的量，图形上任意两点间的距离等不发生变化，而图形
上各点的坐标 、图形的解析式等会发生变化。
平移具有可逆性。
●平移公式
设P（x ，y）是图形上任一点，它在F’上的对应点为Ｐ（ｘ’，y’），向量
PP
?
?(h ,k)
，
则有
OP
?
?OP?PP
?
，
即（x’，y’）=（x，y）+（h，k），

?
?
?
x
?
?x?h

?
y
?
?y?k
这个公式叫做点的平移公式。
使用时要注意平移前后坐标的顺序区别。

- 16 -