重点高中数学必修4——三角与向量公式大全

重点高中数学必修4——三角与
向量公式大全

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2

高中数学必修4公式大全
三角公式汇总
一、特殊角的三角函数值

二、任意角的三角函数
在角
?
的终边上任取一点
P(x,y)
，记：
r?
．．
正弦：
s in
?
?
x
2
?y
2
，
yxy
余弦：
cos
?
?
正切：
tan
?
?

rrx
三、同角三角函数的基本关系式
商数关系：
tan
?
?
sin
?
22
， 平方关系：
sin
?
?cos
?
?1

cos
?
sin
?
??1?cos
2
?

cos
?
??1?sin
2
?

四、诱导公式(记 忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限一般形式为（
k
?
?
?
）) < br>2
sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
, k?z
sin
?
?
?
?
??s in
?
?
cos
?
?
?2k
?
?
?cos
?
, k?z
?
cos
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
?
?
?
??tan
?
tan
?< br>?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z< br>sin
?
?
?
?
?
??sin
?
s in
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
??cos
?

cos
?
?
?
?
?
??cos
?tan
?
?
?
?
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
3

?
?
?
?
sin
?
?< br>?
?
?cos
?
?
2
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
?
2
?
?
?
?
sin
?
?
?
?< br>?cos
?
?
2
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
??s in
?
?
2
?

五、两角和差的正弦、余弦和正切公式 < br>sin(
?
?
?
)?sin
?
?cos
?< br>?cos
?
?sin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
? sin
?

tan(
?
?
?
)?

六、二倍角公式
tan
?
?tan
?
tan
?< br>?tan
?

tan(
?
?
?
)?

1?tan
??tan
?
1?tan
?
?tan
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?

cos2
?
? cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

tan2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?
sin2
?
1?cos2
?
1?cos2
?22

sin
?
?

cos
?
?

222
七、降幂公式
sin
?
cos
?
?
八、辅助角公式
asinx ?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
< br>其中：角
?
的终边所在的象限与点
(a,b)
所在的象限相同，
tan
?
?
b
。
a
sinx?cosx?2sin(x?
?
4
)

)

)

)

sinx?3cosx?2s in(x?
3sinx?cosx?2sin(x?
cosx?3sinx?2cos(x?< br>?
3
?
6
?
3
九、图像y＝sin
x
平移得到y＝sin(
?
x
＋
?
)变换
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sin
x
的图象向左 (
?
＞0)或向右(
?
＜0)平移|
?
|个单位，得y＝s in(
x
＋
?
)，再将图象上各
sin(
?
??
)?sin
?
?cos
?
?cos
?
?si n
?
1
点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，得y＝sin(
?
x< br>＋
?
)，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，
?
cos(?
?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin?
?sin
?
4

便得y＝Asin(
?
x
＋
?
)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y＝sin
x
的图象上各点的横坐标变为原来的
0)
或向右(
?
＜0)平移
1
倍(ω＞0)，得y＝sin
?
x
，再沿
x
轴向左(
?
＞
?
?
个单位，得y＝sin (
?
x
＋
?
)，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，便得
?
y＝Asin(
?
x
＋
?
)的图象。
十、扇形有关的公式
（1）半径为r的，弧长l所对的圆心角为
?
?
（2）扇形面积公式：
s?

十一、三角函数基本性质
性 质
图像
-π 2
-8
l

r
?

1
lR

2
y?sin x

2
1
y?cos x

1
3π 2
O
-1
x
6
x
-8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
π 2
2
π
4
2π
8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
-π 2Oπ 2
2
π
4
3π 2
6
2π
8
-1
-2

R
-2
-3
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
-4
R
-5
?
?1,1
?

2
?

奇函数
?
?1,1
?

2
?

偶函数
??
??
2k
?
?,2k
?
?
??
,k?z,增函数
22
??
< br>?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?, k?z,减函数
??
22
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
,k?z,增函数

?
2k
?
,2k
?
?
?
?
,k?z,减函数
对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

x?k
?
?
?
??
?
k
?
?,0
?
,k ?z

2
??
x?k
?
,k?z

对称轴

性 质
定义域
?
2

,k?z

y?tan x

??
?
xx?
??
?,
?
?z
??

2
??
5

值 域
周期性
奇偶性
单调性
对称中心
对称轴

图

像

R
?

奇函数
??
??
?
k
?
? ,k
?
?
?
,k?z,增函数

22
??
?
k
?
,0
?
,k?z

无
4
y
2
x
-15-10-5
-3π 2-π -π 2Oπ 2π 3π 2
51015
-2
-4









向量公式汇总
-6
-8
设非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?< br>,b?
?
x
2
,y
2
?

一、向量基本概念
零向量：长度为0的向量叫做零向量；
单位向量：长度等于1个单位的向量；
相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量
二、由点坐标计算向量坐标
点A
?
x
1
,y
1< br>?
和点B
?
x
2
,y
2
?
，则向量
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

三、向量基本运算（坐标）
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
? y
2
?

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

四、向量基本运算（坐标）
6

AB?BC?AC

OA?OB?BA

五、向量共线、平行与夹角等
向量共线：向量
a
与向量
b
共线
?
b?
?
a
?
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
向量垂直：向量
a
与向量
b
垂直
?
a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

a?b?abcos
?

cos
?
?
a?b
ab
2
?
2
x
1
x
2
?y
1< br>y
2
x
2
1
?
y
2
1
x< br>2
?
y
2
22

a?a?a?a 或者 a?a?a

六、中点坐标公式
点A
?
x
1
,y
1
?
和点B
?
x
2
,y
2
?
，线段AB中点为O
?
x, y
?
，则：
x
1
?x
2
?
x?
?

2
?
y?y
2
?
y?
1
2
?
7