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高中数学必修4三角函数知识点归纳总结[经典]

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 13:45
tags:高中数学必修4

高中数学必修1导数学案-洋葱高中数学优点


.. . . ..
《三角函数》
【知识网络】


应用


弧长公式
同角三角函数
诱导
应用

的基本关系式
公式


应用

三角函数的
角度制与
任意角的

任意角的概念
图像和性质
弧度制
三角函数



应用
和角公式
倍角公式


应用

差角公式


应用

一、任意角的概念与弧度制
1、将沿
x
轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
计算与化简
证明恒等式
应用
已知三角函
数值求角
?
??
?
?
?k360
?
?
k?Z
?

?
x
轴上角:
?
??
?k180
?
?
k?Z
?

y
轴上角:
?
??
?90?k180
??
k?Z
?

3、第一象限角:
第二象限角:
第三象限角:
第四象限角:
?
?
0?k360
?
?< br>90
?
?
?
?90?k360
?
?
?
k?Z
?

?k360
?
?
?
?180?k36 0
?
?
?
k?Z
?

?
?
?180?k360
?
?
270
?
?
?270?k360
?
?
?
k?Z
?

?k360
?
?
?
?360?k360
?
?
?
k?Z
?

4、区分第一象限角、锐角以及小于
90
的角
第一象限角:
锐角:
?
?
0?k360
?
?
?
?90?k360
?
?
?
k?Z
?

?
?
0?
?
?90
?
小于
90
的角:
?
??
?90
?

学习参考


.. . . ..
5、若
?
为第二象限角,那么
?
为第几象限角?
2
?
22
??
5
?
3
?
k?0,?
?
?,

k?1,?
?
?,

4242
?
所以在第一、三象限
2
6、弧度制:弧长等于半径时, 所对的圆心角为
1
弧度的圆心角,记作
1rad
.
?
180?
7、角度与弧度的转化:
1???0.01745

1??57.30??57?18
?

180
?
8、角度与弧度对应表:
角度
弧度
?2k
?
?
?
?
?
?2k
?

?
4
?k
?
?
?
2
?
?
?k
?

0
?

30
?

45
?

60
?

90

120
?

135
?

150
?

180
?

360
?

0

?

6
?

4
?

3
?

2
2
?

3
3
?

4
5
?

6
?

2
?


9、弧长与面积计算公式
弧长:
l?
?
?R
;面积:
S?

二、任意角的三角函数
11
l?R?
?
?R
2
, 注意:这里的
?
均为弧度制.
22
yxy
1、正弦:
si n
?
?
;余弦
cos
?
?
;正切
tan< br>?
?

rrx
其中
?
x,y
?
为角
?
终边上任意点坐标,
r?

2、三角函数值对应表:
P
(x,
y)
r
x
2
?y
2
.
?


0

30

45

60

90

120

135

150

180

270?

360

弧度
0

?

6
1

2
?

4
2

2
2

2
?

3
3

2
1

2
?

2
1

2
?

3
3
?

4
5
?

6
1

2
?

0

3
?

2
2
?

sin
?

0

3

2
2

2
1

0

cos
?

1

3

2
3

3
0

2
1
?
?

2
2

?
3

?1

2
3

3
0

1

tan
?

0

1

3


?3

?1

?
0


0

3、三角函数在各象限中的符号
学习参考


.. . . ..
口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.(简记为“全s t c”)


sin
?

tan
?

cos
?

第一象限:
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,
第二象限:
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,
第三象限:
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,
第四象限:
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,

4、三角函数线
设任意角
?
的顶点在原点
O
,始边与x
轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与
P
(x,y)

过< br>P

x
轴的垂线,垂足为
M
;过点
A(1,0)作单位圆的切线,它与角
?
的终边或其反向
延长线交于点T.

y

y

T



P

P


A

A


x


M

o

M

x

o


T


(Ⅱ)
(Ⅰ)



y

y

T




M

M

A

A


x

x

o

o



P

P

T


(Ⅲ)
(Ⅳ)

由四个图看出:
当角
?
的终边不在坐标轴上时,有向线段
OM?x,MP?y
,于是有
yyxx
??y?MP

cos
?
???x?OM
r1r1

yMPAT
tan
?
????AT

xOMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
sin
?
?
5、同角三角函数基本关系式
学习参考


.. . . ..
sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
?
sin
?
?tan
?
cot
?
?1

cos
?
(sin
?
?cos
?< br>)
2
?1?2sin
?
cos
?

(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
co s
?

(
sin
?
?cos
?

sin
?
?cos
?

sin
?
?cos
?
,三式之间可以互相表示)

6、诱导公式
n
?
?< br>?
口诀:奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是
2
中整数
n
的奇偶性,把
?
看作锐角)
nn
??
n
?
n< br>?
?
(?1)
2
sin
?
,n为偶数
?(?1)
2
cos
?
,n为偶数
sin(?
?
)?
?
?
?
)?
?

cos(
.
n?1n?1
22
?
(?1)
2
cos
?
,n为 奇数
?
(?1)
2
sin
?
,n为奇数
??
①.公式(一):
?

?
?2k
?
,
?
k?Z
?

sin(
?
?2k
?
)?sin
?

cos(
?
?2k
?
)?cos
?

tan(
?
?2k
?
)?tan
?

②.公式(二):
?

?
?

sin
?< br>?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
?
?
?
??tan
?

③.公式(三):
?

?
?
?

sin< br>?
?
?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
?
??cos
?

ta n
?
?
?
?
?
?tan
?

④.公式(四):
?

?
?
?

sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?

cos< br>?
?
?
?
?
??cos
?

tan
?
?
?
?
?
??tan
?

⑤.公式(五):
?

?
2
?
?

?
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?

cos
?
?
?
?
? ?sin
?

?
2
??
2
?
⑥.公式( 六):
?

?
2
?
?

?
???
?
?
sin
?
?
?
?
?cos< br>?

cos
?
?
?
?
?sin
?< br>;
?
2
??
2
?
⑦.公式(七):
?
3
?
?
?

2
学习参考


.. . . ..
?
3
?
??
3
?
?
sin
?
?
?
?
??cos
?

cos
?
?
?
?
?sin
?

?
2
??
2
?
⑧.公式( 八):
?

3
?
?
?

2
?3
?
??
3
?
?
sin
?
?
?
?
??cos
?

cos
?
?
?
?
??sin
?

?
2
??
2
?

三、三角函数的图像与性质 1、将函数
y?sinx
的图象上所有的点,向左(右)平移
?
个单位长 度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到
1
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
A
倍(横坐标不变 ),得到函数
原来的
y?Asin
?
?
x?
?
?< br>的图象。
2、函数
y?Asin
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0
?
的性质:
①振幅:
A< br>;②周期:
T?
2
?
?
;③频率:
f?
1< br>?
?
;④相位:
?
x?
?
;⑤初相:
?
T2
?
3、周期函数:一般地,对于函数
f
?
x< br>?
,如果存在一个非零常数
T
,使得定义域内的每一

x值,都满足
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
,那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数,
T
叫做该函数的周期.
4、⑴
y?Asin(
?
x?
?
)

对称 轴:令
?
x?
?
?k
?
?
?
k
?
?
,得
x?
?
2
?
?

2
?
k
?
?
?
k
?
?
?
对 称中心:
?
x?
?
?k
?
,得
x?
(,0)(k?Z)

?
?
k
?
?
??
x?
?
)

对称轴:令
?
x?
?< br>?k
?
,得
x?

y?Acos(

?< br>?
?
k
?
??
?
k
?
??
?
?
22
对称中心:
?
x?
?
?k
??
,得
x?

(,0)(k?Z)

2
?
?
⑶周期公式:
①函数
y?Asin(
?< br>x?
?
)

y?Acos(
?
x?
?
)
的周期
T?
2
?
?
(A、ω、
?
为常数,且A
≠0).
②函数
y?Atan
?
?
x?
?
?
的周期
T?
?
(A、ω、
?
为常数,且A≠0).
?
学习参考


.. . . ..
5、三角函数的图像与性质表格






y?sinx

y?cosx

y?tanx











R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k?Z
??

2
??
?
?1,1
?


x?2k
?
?
?
?1,1
?


x?2k
?
?
k?Z
?
时,
R

?
2
?
k?Z
?
时,


y
max
?1


x?2k
?
?
?
2
?
k?Z
?
时,
y
max
?1;当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k?Z
?
时,
y
min
??1

?

y
min
??1








?
?



2
?

2
?

奇函数 偶函数 奇函数
?
?
?
?
?2k
?
,?2k
?
?

2
?
2
?
?
k?Z
?
上是增函数;
?

?
?
?
?2k
?
,2k
?
?
?
k?Z
?
上是增函数;

?
2 k
?
,2k
?
?
?
?
?
k?Z
?

上是减函数.

?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
3
?
?
?
?
?2k
?
,? 2k
?
?

2
?
2
?
?
k?Z
?
上是增函数.
?
k?Z
?
上是减函数.



对称 中心
?
k
?
,0
??
k?Z
?

对称轴
x?k
?
?
对称中心
?
2
?
k?Z
?

?
??
k
?
?,0
?
?k?Z
?

?
2
??
对称中心
?
?< br>k
?
?
,0
?
?
k?Z
?

2
??
无对称轴
学习参考


.. . . ..
对称轴
x?k
?
?
k?Z
?

6. 五点法作
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图,设
t ?
?
x?
?
,取0、

x
的值以及对应的y值再描 点作图。
7.
y?Asin(?x??)
的的图像
?
3?

?
、、
2
?
来求相
22

8. 函数的变换:
(1)函数的平移变换

y?f(x)?y?f(x?a)(a?0)

y?f(x)
图像沿
x
轴向左(右)平移
a
个单位
(左加右减)

y?f(x)?y?f(x)?b(b?0)

y?f(x)
图像沿
y
轴向上(下)平移
b
个单位
(上加下减)
(2)函数的伸缩变换:

y?f(x)?y?f(wx)(w?0)

y?f(x)
图像纵坐标不 变,横坐标缩到原来的
1
倍(
w?1
缩短,
0?w?1
伸长)
w

y?f(x)?y?Af(x)(A?0)

y?f(x)
图像横坐标不 变,纵坐标伸长到原来
的A倍(
A?1
伸长,
0?A?1
缩短)
(3)函数的对称变换:

y?f(x)?y?f(?x)
) 将
y?f(x)
图像绕
y
轴翻折180°(整体翻折)
学习参考


.. . . ..
(对三角函数来说:图像关于
x
轴对称)

y?f(x)?y? ?f(x)

y?f(x)
图像绕
x
轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像关于
y
轴对称)

y?f(x)?y?f(x)

y?f(x)
图像在
y
轴右侧保留,并把右侧图像绕
y
轴翻
折到左侧(偶函数局部翻折)
x
轴下方图像绕
x
轴翻折上④
y?f(x)?y?f(x)
保留y?f(x)

x
轴上方图像,
去(局部翻动)

四、三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
(1 )
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?

(2)
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?

(3)
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
(4)
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

(5)
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

?

tan
?
?tan
?
?tan< br>?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?

1?tan
?
tan
?
tan
?< br>?tan
?

?

tan
?
?tan< br>?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?

1?tan
?
tan
?
(6)
tan(
?
?
?
)?
(7)
as in
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(其中,辅助角
?
所在象限由 点
(a,b)
所在的象
限决定,
sin
?
?
ba
2
?b
2
,cos
?
?
a
a
2
?b
2
,tan
?
?
b
,该法也叫合一变形).
a
(8)
1?tan
??
1?tan< br>??
?tan(?
?
)

?tan(?
?
)

1?tan
?
41?tan
?
4

2. 二倍角公式
(1)
sin2a?2sinacosa

(2)
cos2a?cosa?sina?1?2sina?2cosa?1

2222
tan2a?
(3)

学习参考
2tana

1?tan
2
a


.. . . ..
3. 降幂公式:
cos
2
a?
(1)
4. 升幂公式
1?cos2a1?cos2a
2
(2)
sina?
22

2
(1)
1?cos
?
?2cos
(3)
1?sin
?
?(sin
(5)
sin< br>?
?2sin

?
2
(2)
1?cos
?
?2sin
2
?
2

?
?cos)
2
(4)
1?sin
2
?
?cos
2
?

22
?
?
2
cos
?
2

5. 半角公式(符号的选择由
?
所在的象限确定)

2
sin
(1)
a1?cosa
a1?cosa
, ,
??cos??
22
22
(2)
a1?cosasina1?c osa
????
21?cosa1?cosasina

tan
(3)

6. 万能公式:
2tan
(1)
sin
?
?
?
2
, (2)
cos
?
?
1?tan
2
1?tan
2?
?
2
,
2
1?tan
2
2tan
(3)
tan
?
?
?
2
2
.

?
?
1?tan
2

2
7.三角变换:
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运
用三角公式, 掌握运算、化简的方法技能。
(1) 角的变换:角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,还可作添加、
删除角的恒等变形
(2) 函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:

asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2< br>sin(
?
?
?
)
其中
cos
?
?
1
1?(3)
22
a
a
2
?b
2
,sin
?
?
b
a
2
?b
2
,比
y?sinx?3cosx
如:
?1
2
?(3)
2
(s inx?
3
1?(3)
22
cosx)

学习参考


.. . . ..

13< br>??
?
?2(sinx?cosx)
?2(sinxcos?cosxsin)
?2sin(x?)

22
3
33

2
??
(3)注意“凑角”运用:
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?

例如:已知
?< br>、
?
?(
3
?
3
?
12
?
,
?
)
,
sin(
?
?
?
)??

sin(
?
?)?
,则
cos(
?
?)??
454134
22
(4)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中有时候需将 常数转化为三角函数,特
别是常数“1”可转化为“
sin
?
?cos
?

(5)幂的变换:对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理,有时需要升幂例如:< br>1?cosa
常用升幂化为有理式。
(6)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
(7) 结构变化:在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移
项,或变乘为除,或求差 等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
(8)消元法:如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法
(9)思路变换 :如果一种思路无法再走下去,试着改变自己的思路,通过分析比较去
选择更合适、简捷的方法去解题目 。
(10)利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子:
sina?cosa

sinacosa

sina?cosa
,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元。

8.函数的最值
(几种常见的函数及其最值的求法):

y?a sinx?b
(或
acosx?b)
型:利用三角函数的值域,须注意对字母的讨论

y?asinx?bcosx
型:引进辅助角化成
y?
2
a
2
?b
2
sin(x?
?
)
再利用有界性
y?asinx?bsinx?c
型:配方后求二次函数的最值,应注意
sin x?1
的约束

y?
asinx?b
型:反解出
sinx
,化归为
sinx?1
解决
csinx?d

y?a(s inx?cosx)?bsinx?cosx?c
型:常用到换元法:
t?sinx?cosx
,但须
注意
t
的取值范围:
t?2


9.三角形中常用的关系:
sinA?sin(B?C)

cosA??cos(B?C)

sin
sin2A??sin2(B?C)

cos2A?cos2(B?C)


10.
常见数据:
sin15??cos75??
AB?C
?cos

22
6?2
,sin75??cos15??
6?2

44
学习参考


.. . . ..

tan15??2?3
,
tan75??2?3
,
1. 若不给自己设限,则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海,哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世 里,为自己留下一片纯静的心灵空间,不管是潮起潮落,也不管是阴晴圆缺,你都可以免去浮躁,义无反顾,勇往 直前,轻松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些时间,总会看清一些事。用一些事情,总会看清一些人。有 时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己,又打扰了别人。努力过后,才知道许多事情,坚持坚持,就过来了。4 .岁月是无情的,假如你丢给它的是一片空白,它还给你的也是一片空白。岁月是有情的,假如你奉献给她的是一 些色彩,它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力,当有一天蓦然回首时,你的回忆里才会多一些色彩斑斓,少一 些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。


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