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北师大版高中数学必修4、5知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 13:46
tags:高中数学必修4

高中数学55个秒杀公式-高中数学sin方X怎么求导


高中数学必修4第一章知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角: 不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,
则称
?
为第几象限角.
?
180
?
7、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360< br>?

1
?
?

1?
?
?57.3< br>?

?
180
?
?
?
8、若扇形的圆心角 为
?
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C
,面积为
S

11

l?r
?

C?2r?l

S?lr?
?
r2

22
?
?
9、设
?
是一个任意大小的角 ,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?,它与原点的
yxy

cos
?
?

tan< br>?
?
?
x?0
?

rrx
10、三角函数 在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正
切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:
sin
?
???

cos
?
???

tan
?
???

??
第二象限角的 集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
< br>第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?36 0?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?36 0?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360< br>?
?
?
?k?360
?
?90
?
,k??< br>
????
????
????
?
??
?
?< br>距离是
rr?x
2
?y
2
?0
,则
sin< br>?
?
?
?
12、同角三角函数的基本关系:
?
1?
sin
?
?cos
?
?1

22
y
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?

?
2
?
sin
?
?tan
?

cos
?
P
T
OM
A
x
sin
?
??
sin?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??

tan
?
??
13、三角函数的诱导公式:
?< br>1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?

cos
?
2k
?
?
??
?cos
?

tan
?
2k
?
?< br>?
?
?tan
?
?
k??
?

?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??si n
?

cos
?
?
?
?
?
??c os
?

tan
?
?
?
?
?
?t an
?

?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
?
?
?
??tan
?

?
4
?
sin
?
??
?
?
?sin
?

cos
?
??
?
?
??cos
?

tan
?
?< br>?
?
?
??tan
?

口诀:奇变偶不变,符号看象限.
4、已知
?
是第几象限角,确定
?
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n
等份,< br>n
*
再从
x
轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四, 则
?
原来是第几
?
象限对应的标号即为终边所落在的区域.
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.
l
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧 度数的绝对值是
?
?

r
?
5
?
sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? cos
?

cos
?
?
?
?
?sin?

?
2
?
?
2
?
?

1


?
??
?
?

?
?< br>?cos
?
cos
?
6
?
sin
?
???
?
?
?
??sin
?

?
2
??
2
?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
x?2k
?
?

?
2
?
k???

x?2k
?
?
k??
?
时,
时,
y
max
?1
;当
y
max
?1;当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
14、(1)一般地,函数Y=AsinX(A>0且A≠1)的图像可以看作是把Y=sinX的图
像上所有的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0而得到的 。
(2)一般地,函数Y=sinωX(A>0且A ≠ 1)图像可以看作是把Y=sinX的图像 上
所有的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而
得到的。
(3)一般地,函数Y=sin(x+ φ),( φ ≠0)的图像,可以看作是把Y= sinx的
图像上所有的点向左(当φ>0)时或向右(当φ<0)时平行移动|φ|个单位而得到的
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0 ,
?
?0
?
的性质:

振幅:
?

周期:
??
2
?
?


频率:f?
1
?
?
?
2
?


相位 :
?
x?
?


初相:
?

函 数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
,当< br>x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x< br>2
时,取得最大
值为
y
1
max
,则
??< br>2
?
y

??
1?
max
?y
mi n
?
2
?
y
max
?y
min
?

2
?x
2
?x
1
?
x
1
?x< br>2
?

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:









y?sinx

y?cosx

y?tanx







R

R

?
?

?
xx?k
?
?< br>?
2
,k??
?
?
?



?
?1,1
?

?
?1,1
?

R


2

x?2k
?
?
?
2

?
k??
?
时,
y
min
??1

?
k??
?
时,
y
min
??1


2
?

2
?

?



奇奇函数 偶函数 奇函数



?< br>?
??
?
?
2k
?
?
2
,2k?
?
2
?
?


?
2k
?< br>?
?
,2k
?
?
?
k??
?

?
k??
?
上是增函数;在
是增函数;在

?
?

?
k
?
?
?
2
,k?
?
?
?

?
?
2
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?

?
?
2k
?
?
?
3
?
?
2
,2k
?
?
2
?
?

?
?
k??
?
上是增函数.
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称中心
对称中


对称轴
?
?
?
k
?
?
?
2
,0
?
?
?
?
k??
?

?
?
k
?

x?k
?
?
??
2
,0
?
?
?
?
k??
?

2
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴








16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.

单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.




?
?
?
?
?????
⑵运算律:①< br>?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a??
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b
??
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?x,
?
y
?

??
??
??
??
20、向量共线定理:向量
aa?0

b
共线,当且仅当有唯 一一个实数
?
,使
b?
?
a

??
设< br>a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且 仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0< br>时,向量
a

?
?
?
?
?
???
bb?0
共线.
??
?????
21、平面向量基本定理: 如果
e
1

e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 这一平面
??????????
?
?
内的任意向量
a
,有且 只有一对实数
?
1

?
2
,使
a?
?1
e
1
?
?
2
e
2
.(不共线的向量
e
1

e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上 的一点,
?
1

?
2
的坐标分别是
?
x< br>1
,y
1
?

?
x
2
,y
2
?

?
?
?
?
?
?
⑶三角形不 等式:
a?b?a?b?a?b

?
?
??
?
?
?
??
?
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
;②结合 律:
a?b?c?a?b?c
;③
????
?
??
??a?0?0?a?a

C

????????
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2?

?
1
??
?
??
2
时,点
?
的坐标是
?
1
,
?

1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积:
?
?
?
?
⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
, y
1
?y
2
?

18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
?
a

?
b

?

?

?
?
?
?
?
?
?
?
??

a?b ?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
.零向量与任一向 量的数量积为
0

??
?
?
?
?
⑵坐标 运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

????

?

?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?

?
x
2
,y
2
?
,则
????
?
x
1
x
2
y,
1
?y
2

?

?
?< br>?
?
?
?
?
?
⑵性质:设
a
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a

b
同向时,
?
2
?
?
?
?
?
?< br>?
?
???
?
?
???
a?b?ab
;当< br>a

b
反向时,
a?b??ab

a?a?a
2
?a

a?a?a
.③
?????
?
?
???????
a?b??C?????C

19、向量数乘运算:
?
?
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数 乘,记作
?
a

?
?
?
?
a?b?ab

?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
??
?
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c? a?c?b?c

??

?
a?
?
a

②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
??????
?
?
?
?< br>?
?
?
?
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2< br>,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2

22

a?
?
x, y
?
,则
a?x?y
,或
a?
?
?
时,< br>?
a?0

?
?
2
?
x
2
?y
2


3


?
?
?
?

a?< br>?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

?
?
?
?
?
?

a

b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?< br>x
2
,y
2
?

?

a

b
的夹角,则
高中数学必修5知识点
1、正弦定理:在
???C< br>中,
a

b

c
分别为角
?
?

C
的对边,
R

???C
的外接圆
?
?
cos
?
?
a
a
?
?b
b
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
2222

1
?y
1
x
2
?y
2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

cos
?< br>?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?


cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?


sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?


sin
?
?
?
?
??sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
); < br>⑹
tan
?
?
?
?
?
?
tan?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin2
?
?2sin
?
cos
?


cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
).

tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?

26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
, 其中
tan
?
?
?
?



的 半径,则有
a
sin?
?
b
sin?
?
c
sinC
?2R

2、正弦定理的变形公式:①
a?2Rsin?

b?2Rsin?

c?2RsinC


sin??
a
2R

sin??
bc
2R

sinC ?
2R


a:b:c?sin?:sin?:sinC

a?b?c
sin??sin??sinC
?
a
sin??
b
sin?
?
c
sinC

3、三角形面 积公式:
S
111
???C
?
2
bcsin??
2
absinC?
2
acsin?

4、余弦定理:在
?? ?C
中,有
a
2
?b
2
?c
2
?2bcc os?

b
2
?a
2
?c
2
?2acco s?

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

?
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
2bc

cos??
2ac

cosC?
?b
2
?c
2
5、余 弦定理的推论:
cos?
2ab

6、设
a

b

c

???C
的角
?

?
、< br>C
的对边,则:①若
a
2
?b
2
?c
2,则
C?90
?

②若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
?
;③若
a
2
?b
2
?c
2
,则
C?90
?


7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
4


15、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表 示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系 的公式.
17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为 等
差数列,这个常数称为等差数列的公差.
18、由三个数
a

?

b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
?
称为
a

b
的等差
中项.若
b?
24、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等
比数列,这个常数称为 等比数列的公比.
25、在
a

b
中间插入一个数
G,使
a

G

b
成等比数列,则
G
称 为
a

b
的等比中项.若
G
2
?ab
,则 称
G

a

b
的等比中项.
26、若等比数列< br>?
a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1
q
n?1

2 7、通项公式的变形:①
a?c
,则称
b

a

c
的等差中项.
2
a
n
?a
m
q
n?m< br>;②
a
1
?a
n
q
?
?
n?1?
;③
q
n?1
?
19、若等差数列
?
an
?
的首项是
a
,公差是
d
,则
a
1
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

q
n?m
?

a
n
;④
a
1< br>a
n
?a
1
d?
20、通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
;③
n?1
a
n
a
m

a
n
?a< br>m
a
n
?a
1
?1
;⑤
d?
n?
n?m
d
28、若
?
a
n
?
是等 比数列,且
m?n?p?q

m

n

p

q??
*
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;若
?
a
n
?
是等比数列,且
2n?p?q

n

p

q??
*
),则
a
n
2

?a
p
?a
q

*
21、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q

m
n

p

q??
),则
a
m
?an
?a
p
?a
q
;若
,则
2a
n?a
p
?a
q

?
a
n
?
是等差数列,且
2n?p?q

n

p

q??< br>*

?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式:< br>S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq

1n
?
?
q?1
?
?1?q1?q
?
*
30、等比数列的前
n
项和的性质:①若项数 为
2nn??
,则
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
d
. 22、等差数列的前
n
项和的公式:①
n
;②
S
n
?na
1< br>?
2
2
*
23、等差数列的前
n
项和的性质:①若项 数为
2nn??
,则
??
S

S

?q< br>.
??
S
2n
?n
?
a
n
?a< br>n?1
?
,且

S
n?m
?S
n
? q
n
?S
m

S

a
n
?S

?S

?nd

S

a
n?1


S
n

S
2n
?S
n

S
3n
?S
2n
成等比数列.
31、
a?b?0?a?b

a?b?0?a?b

a?b?0?a?b

*
②若项数为
2n?1n??
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S

? S

?a
n

??
S

n
(其中
?
S

n?1
32、不等式的性质: ①
a?b?b?a< br>;②
a?b,b?c?a?c
;③
a?b?a?c?b?c


a?b,c?0?ac?bc

a?b,c?0?ac?bc
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d


S

?na
n

S

?
?
n?1
?
a
n


5



a?b?0,c?d?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a
n
?b
n
?
n??,n?1
?


a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
??b
2
?4ac

??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象


有两个相异实数根
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

x?
?b??
有两个相等实数根
1,2
2a

x
b
没有实数根
?
a?0
?
的根
1
?x
2
??
?
2a

x
1
?x
2
?

ax
2
?bx?c?0

?
xx?x
1
或 x?x
2
?
?
?
b
一元二次
?
a?0?


?
xx??
?
2a
?
?

R

不等式的
解集
ax
2
?bx?c?0

?
?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

a?0
?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式( 组)的解集:满足二元一次不等式组的
x

y
的取值构成有序数对
?
x,y
?

所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合.

38、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?

①若
??0

?x
0
??y
0
?C?0< br>,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线< br>?x??y?C?0
的上方.
②若
??0

?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0

①若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的 区域;
?x??y?C?0
表示
直线
?x??y?C?0
下方的区域 .
②若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x?? y?C?0
下方的区域;
?x??y?C?0
表示
直线
?x??y? C?0
上方的区域.
40、线性约束条件:由
x

y
的不 等式(或方程)组成的不等式组,是
x

y
的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x

y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x

y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?

可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设
a

b
是两个正数,则
a?b
2
称为 正数
a

b
的算术平均数,
ab
称为正数
a

b
的几何
平均数.
42、均值不等式定理: 若
a?0

b?0
,则
a?b?2ab
,即
a?b
2
?a b

43、常用的基本不等式:①
a
2
?b
2
? 2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
a
2
? b
2
2
?
a,b?R
?

6

< br>22

ab?
?
?
a?b
?
?
2< br>?
?
?
a?0,b?0
?
;④
a
2
?b
2
2
?
?
?
a?b
?
?
2< br>?
?
?
a,b?R
?

44、极值定理:设
x

y
都为正数,则有
x?y?s< br>(和为定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值
s
2
⑴若
4

⑵若
xy?p
(积为定值),则当
x ?y
时,和
x?y
取得最小值
2p




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