北师大版高中数学必修4、5知识点

高中数学必修4第一章知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角: 不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，
则称
?
为第几象限角．
?
180
?
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360< br>?
，
1
?
?
，
1?
?
?57.3< br>?
．
?
180
?
?
?
8、若扇形的圆心角 为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，
11
则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?lr?
?
r2
．
22
?
?
9、设
?
是一个任意大小的角 ，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?，它与原点的
yxy
，
cos
?
?
，
tan< br>?
?
?
x?0
?
．
rrx
10、三角函数 在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正
切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
??
第二象限角的 集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
< br>第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?36 0?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?36 0?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360< br>?
?
?
?k?360
?
?90
?
,k??< br>
????
????
????
?
??
?
?< br>距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin< br>?
?
?
?
12、同角三角函数的基本关系：
?
1?
sin
?
?cos
?
?1

22
y
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
?
2
?
sin
?
?tan
?

cos
?
P
T
OM
A
x
sin
?
??
sin?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
?< br>1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
??
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?< br>?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??si n
?
，
cos
?
?
?
?
?
??c os
?
，
tan
?
?
?
?
?
?t an
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
??
?
?
?sin
?
，
cos
?
??
?
?
??cos
?
，
tan
?
?< br>?
?
?
??tan
?
．
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
4、已知
?
是第几象限角，确定
?
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份，< br>n
*
再从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四， 则
?
原来是第几
?
象限对应的标号即为终边所落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
l
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧 度数的绝对值是
?
?
．
r
?
5
?
sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin?
．
?
2
?
?
2
?
?

1

?
??
?
?
，
?
?< br>?cos
?
cos
?
6
?
sin
?
???
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 当
x?2k
?
?
最
?
2
?
k???
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
时，
y
max
?1
；当
y
max
?1；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
14、（1）一般地，函数Y=AsinX（A>0且A≠1)的图像可以看作是把Y=sinX的图
像上所有的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0而得到的 。
（2）一般地，函数Y=sinωX（A>0且A ≠ 1)图像可以看作是把Y=sinX的图像 上
所有的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而
得到的。
（3）一般地，函数Y=sin（x+ φ），（ φ ≠0）的图像，可以看作是把Y= sinx的
图像上所有的点向左（当φ>0）时或向右(当φ<0)时平行移动|φ|个单位而得到的
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0 ,
?
?0
?
的性质：
①
振幅：
?
；②
周期：
??
2
?
?
；
③
频率：f?
1
?
?
?
2
?
；
④
相位 ：
?
x?
?
；
⑤
初相：
?
．
函 数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当< br>x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x< br>2
时，取得最大
值为
y
1
max
，则
??< br>2
?
y
，
??
1?
max
?y
mi n
?
2
?
y
max
?y
min
?
，
2
?x
2
?x
1
?
x
1
?x< br>2
?
．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性



函


质
数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图
象


定
义
R

R

?
?
域
?
xx?k
?
?< br>?
2
,k??
?
?
?

值
域
?
?1,1
?

?
?1,1
?

R


2
值
x?2k
?
?
?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
2
?

2
?

?

期
性
奇奇函数 偶函数 奇函数
偶
性
在
?< br>?
??
?
?
2k
?
?
2
,2k?
?
2
?
?

在
?
2k
?< br>?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上单
?
k??
?
上是增函数；在
是增函数；在
在
?
?
调
?
k
?
?
?
2
,k?
?
?
?
性
?
?
2
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?

?
?
2k
?
?
?
3
?
?
2
,2k
?
?
2
?
?

?
?
k??
?
上是增函数．
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称中心
对称中
对
称
对称轴
?
?
?
k
?
?
?
2
,0
?
?
?
?
k??
?

?
?
k
?
性
x?k
?
?
??
2
,0
?
?
?
?
k??
?

2
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴


心

16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．

单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．




?
?
?
?
?????
⑵运算律：①< br>?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a??
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b．
??
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?x,
?
y
?
．
??
??
??
??
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯 一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??
设< br>a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且 仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0< br>时，向量
a
、
?
?
?
?
?
???
bb?0
共线．
??
?????
21、平面向量基本定理： 如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面
??????????
?
?
内的任意向量
a
，有且 只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上 的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x< br>1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，
?
?
?
?
?
?
⑶三角形不 等式：
a?b?a?b?a?b
．
?
?
??
?
?
?
??
?
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；②结合 律：
a?b?c?a?b?c
；③
????
?
??
??a?0?0?a?a
．
C

????????
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2?
当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
1
,
?
．
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积：
?
?
?
?
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
, y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
a

?
b

?

?

?
?
?
?
?
?
?
?
??
⑴
a?b ?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向 量的数量积为
0
．
??
?
?
?
?
⑵坐标 运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
????
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
????
?
x
1
x
2
y,
1
?y
2

?
．
?
?< br>?
?
?
?
?
?
⑵性质：设
a
和b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
?
2
?
?
?
?
?
?< br>?
?
???
?
?
???
a?b?ab
；当< br>a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
．③
?????
?
?
???????
a?b??C?????C

19、向量数乘运算：
?
?
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数 乘，记作
?
a
．
?
?
?
?
a?b?ab
．
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
??
?
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c? a?c?b?c
．
??
①
?
a?
?
a
；
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
??????
?
?
?
?< br>?
?
?
?
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2
．
22
若
a?
?
x, y
?
，则
a?x?y
，或
a?
?
?
时，< br>?
a?0
．
?
?
2
?
x
2
?y
2
．

3

?
?
?
?
设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
?
?
?
?
?
?
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?< br>x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
高中数学必修5知识点
1、正弦定理：在
???C< br>中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接圆
?
?
cos
?
?
a
a
?
?b
b
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
2222
．
1
?y
1
x
2
?y
2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?< br>?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?
；
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑷
sin
?
?
?
?
??sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）； < br>⑹
tan
?
?
?
?
?
?
tan?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
）．
⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
．
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
， 其中
tan
?
?
?
?
．


的 半径，则有
a
sin?
?
b
sin?
?
c
sinC
?2R
．
2、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②
sin??
a
2R
，
sin??
bc
2R
，
sinC ?
2R
；
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
； ④
a?b?c
sin??sin??sinC
?
a
sin??
b
sin?
?
c
sinC
．
3、三角形面 积公式：
S
111
???C
?
2
bcsin??
2
absinC?
2
acsin?
．
4、余弦定理：在
?? ?C
中，有
a
2
?b
2
?c
2
?2bcc os?
，
b
2
?a
2
?c
2
?2acco s?
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
?
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
2bc
，
cos??
2ac
，
cosC?
?b
2
?c
2
5、余 弦定理的推论：
cos?
2ab
．
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、< br>C
的对边，则：①若
a
2
?b
2
?c
2，则
C?90
?
；
②若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
?
；③若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
?
．
，
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
13、常数列：各项相等的数列．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
4

15、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表 示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系 的公式．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为 等
差数列，这个常数称为等差数列的公差．
18、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与
b
的等差
中项．若
b?
24、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等
比数列，这个常数称为 等比数列的公比．
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称 为
a
与
b
的等比中项．若
G
2
?ab
，则 称
G
为
a
与
b
的等比中项．
26、若等比数列< br>?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
n?1
．
2 7、通项公式的变形：①
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
a
n
?a
m
q
n?m< br>；②
a
1
?a
n
q
?
?
n?1?
；③
q
n?1
?
19、若等差数列
?
an
?
的首项是
a
，公差是
d
，则
a
1
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
q
n?m
?
；
a
n
；④
a
1< br>a
n
?a
1
d?
20、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
n?1
a
n
a
m
．
a
n
?a< br>m
a
n
?a
1
?1
；⑤
d?
④n?
n?m
d
28、若
?
a
n
?
是等 比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等比数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
*
），则
a
n
2
．
?a
p
?a
q
．
*
21、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、n
、
p
、
q??
），则
a
m
?an
?a
p
?a
q
；若
，则
2a
n?a
p
?a
q
．
?
a
n
?
是等差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??< br>*
）
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式：< br>S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?1?q1?q
?
*
30、等比数列的前
n
项和的性质：①若项数 为
2nn??
，则
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
d
． 22、等差数列的前
n
项和的公式：①
n
；②
S
n
?na
1< br>?
2
2
*
23、等差数列的前
n
项和的性质：①若项 数为
2nn??
，则
??
S
偶
S
奇
?q< br>．
??
S
2n
?n
?
a
n
?a< br>n?1
?
，且
②
S
n?m
?S
n
? q
n
?S
m
．
S
奇
a
n
?S
偶
?S
奇
?nd
，
S
偶
a
n?1
．
③
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列．
31、
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
*
②若项数为
2n?1n??
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
? S
偶
?a
n
，
??
S
奇
n
（其中
?
S
偶
n?1
32、不等式的性质： ①
a?b?b?a< br>；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
．
S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
）

5

⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a
n
?b
n
?
n??,n?1
?
；
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b
2
?4ac

??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象


有两个相异实数根
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

x?
?b??
有两个相等实数根
1,2
2a

x
b
没有实数根
?
a?0
?
的根
1
?x
2
??
?
2a

x
1
?x
2
?

ax
2
?bx?c?0

?
xx?x
1
或 x?x
2
?
?
?
b
一元二次
?
a?0?


?
xx??
?
2a
?
?

R

不等式的
解集
ax
2
?bx?c?0

?
?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

a?0
?

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，
所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0< br>，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线< br>?x??y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的 区域；
?x??y?C?0
表示
直线
?x??y?C?0
下方的区域 ．
②若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x?? y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示
直线
?x??y? C?0
上方的区域．
40、线性约束条件：由
x
，
y
的不 等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 41、设
a
、
b
是两个正数，则
a?b
2
称为 正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何
平均数．
42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
a?b
2
?a b
．
43、常用的基本不等式：①
a
2
?b
2
? 2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
a
2
? b
2
2
?
a,b?R
?
；
6

< br>22
③
ab?
?
?
a?b
?
?
2< br>?
?
?
a?0,b?0
?
；④
a
2
?b
2
2
?
?
?
a?b
?
?
2< br>?
?
?
a,b?R
?
．
44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
x?y?s< br>（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值
s
2
⑴若
4
．
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x ?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．



7