高中数学人教A版必修4

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?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形 成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?< br>为第几象
限角．
??
第二象限角的集合为
?
?
k? 360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
??
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?3 60?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?< br>??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的 集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360< br>?
?
?
?k?360
?
?90
?
,k??< br>
????
????
????
?
??
?
?< br>4、已知
?
是第几象限角，确定
?
n??
?
所在象限 的方法：先把各象限均分
n
等份，再从
x
轴的正半
?
n*
轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标 号即为
在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度． < br>6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
l
．
r
?< br>终边所落
n
?
180
?
?
7、弧度制与角度制的换算 公式：
2
?
?360
，
1?
，
1?
?．
?57.3
?
180
?
?
?
?
?
?
?
C?2r?l
，8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
11
S? lr?
?
r
2
．
22
9、设
?
是一个任 意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y?
，它与原点
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
10、 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限
正切为正，第四象限余弦为正 ．
11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?< br>?
?
y
P
T
OM
A
x
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1 2、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1

?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
?
2
?
sin
?
?tan
?

cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
? ?
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
?1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
??
?
?tan
?
?
k??
?
．
?< br>2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??co s
?
，
tan
?
?
?
?
?
?ta n
?
．
?
3
?
sin
?
?
?< br>?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
? ?tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
??
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin
??
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
?
2
?
?
2
?
??
?
??
?
?
?cos
?
，
cos
?
??
?
??sin
?
．
?
2
??
2< br>?
?
?
6
?
sin
?
?
?
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右 ）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再
将函数
y?sin
?
x?
?
?的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象 上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；
（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
?
再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标 伸长（缩短）到原来的
?
倍
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；
（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?< br>x?
?
?
的图象．
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
①
振幅：
?
；
②
周期：
??
2
?
?
；
③
频率：
f?
1
?
?
；④
相位：
?
x?
?
；
⑤
初相：
?．
?2
?
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函 数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当< br>x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x< br>2
时，取得最大值为
y
max
，则
11?
?
y
max
?y
min
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1< br>?
x
1
?x
2
?
．
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

y?sinx

数
性
??
质
y?tanx

图象

定义域
值域
R


R


?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?

2
??
R

?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
?
2
?
k??
?
时，
?
2
最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
2
?

奇函数
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
?

奇函数
??
??
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?

22
??
?
k??
?
上是增函数；在
单调性
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
??
k??
?
上是
增函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

??
??
在
?
k
?
?,k
?
?
?

22
??
?
3
?
??

2k
?< br>?,2k
?
?
??
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
?
??< br>对称中心
?
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
k
?
?
对称中心
,0
?
?
k??
?

2
??
?
?
?
2?
对称轴
x?k
?
?
?
k??
?

2
对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．

单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
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平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．




量．
?
?
?
?
?
?
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
?
??
?
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；②结合律：
?
?
?
??
?
?
?
??
??
a?b?c?a?b?c
； ③
a?0?0?a?a
．
???
C

?
a

⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
?
?
?
?
b

?

?

?
?
?
?
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y< br>1
?
，
?
x
2
,y
2
?
， 则
???
????
?
?
x
1
x
2
y,
1
?y
2

?
．
?????
?
?
???????
a?b??C?????C

19、向量数乘运算：
?
?
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做 向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
?
??
②当< br>?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反； 当
?
?0
时，
?
a?0
．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?< br>?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b< br>．
??
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
， 则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?< br>x,
?
y
?
．
??
??
??
?< br>?
?
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线， 当且仅当有唯一一个实数，使
b?
?
a
．
??
?
?
?
?
??
?
?
设
a?
?
x1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
, y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
??
?????
?
21、平面向量基本定 理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么 对于这一平面内的任意向量
a
，有且只
??????????
?
有一 对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
?? ??????
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?< br>2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2< br>,y
2
?
，当
?
1
??
?
??2
时，
点
?
的坐标是
?
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
?
．
1?
?
??
1?
?
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23、平面向量的数量积：
?
?
?
?
?
?
?
?
??
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
⑵性质：设
a
和
b
都是非零 向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，
???
2< br>?
2
?
?
?
?
?
?
?
?< br>???
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b；③
a?b?c?a?c?b?c
．
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?< br>?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1< br>?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
22
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x ?y
，或
a?
?
?
2
?
x
2
?y
2
．
?
?
?
?
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2
?0
．
?
?
?
??
a?b
?
?
?
设
a
、
b
都 是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
cos
?
?
?
?
?
ab
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos< br>?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
；
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
；
⑷
sin
?
?
?
??
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?
；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y< br>2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
．
tan
?
?tan
?
（
tan
?
?t an
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1? tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
⑶
tan2
?
?< br>2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
cos
2
?
?
cos2
?
?11?cos2
?
2
，
sin
??
）．
22
2tan
?
．
2
1?tan< br>?
?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
．
?
26、
?sin
?
??cos
?
?
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