高中数学必修4第一章三角函数完整教案

（2）根据关系
cosx?sin(x?
?
)
，作出
y?cosx,x?R
的图象；
2
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简 图，并利用图象解决一些
有关问题；
能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工
作精神；
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点：作余弦函数的图象，周期性；
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 2.正、余弦函数定义：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原 点的）一点P
（x,y）
P与原点的距离
r
(
r?
则比值
x?y
22
?x
2
?y
2
?0
)
P
(x,
y)
r
y
叫做
?
的正弦 记作：
sin
?
?
r
x
比值叫做
?
的余弦 记作：
cos
?
?
r
y

r
x

r
?
3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的 垂
线，垂足为M，则有
sin
?
?
yx
?MP
，
cos
?
??OM

rr
向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何 法）：
为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与
函数值都为实 数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的
形状各不相同，从而影响初 学者对曲线形状的正确认识．
（1）函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的x轴 上任取一点
O
1
，以
O
1
为圆心作单位圆，从这个圆与x轴
的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份 .
（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角< br>0,
?
6
，
??
，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列< br>32
表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正
弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把 这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x

∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移
动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.
把角x
(x? R)
的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正
弦线的终点的轨迹就 是正弦函数y=sinx的图象.

（2）余弦函数y=cosx的图象
用几何 法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向
下平移，过
O< br>1
作与x轴的正半轴成
?
角的直线，又过余弦线
O
1
A的终点A作x轴的垂线，
4
它与前面所作的直线交于A′，那么
O
1
A与AA′
长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线
O
1
A
“竖 立”起来成为AA′，用同样的方法，将其
它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，
使起 点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余
弦函数图象上的点．]
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”
（把角x 的余弦线O
1
M按逆时针方向旋转
?
到
2
O
1
M
1
位置，则O
1
M
1< br>与O
1
M长度相等，方向相同.）根据诱导公式
cosx?sin(x?
正弦函数x=sinx的图象向左平移
移曲线” ）
?
2
)
,还 可以把
?
单位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平
2

y
y=sinx

1
o
-4?
-3?

?3?
-6?
-5?
-?
4?5?
-2?
2?
-1

y

y=cosx
1

?
-?
-5?-3?3?
4?5 ?
-4?2?
-6?
-2?
-1



正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
3
?
?
,1) (?,0) (,-1) (2?,0)
2
2
余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是
6?
x
6?
x
(0,0) (
3
?
?
,0) (?,-1) (,0) (2?,1)
2
2
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+
sinx
，x∈[0，2π]， (2) y=|
sinx
|， （3）y=
sin
|
x
|
(0,1) (
例2 用五点法作函数
y?2cos(x?
?
3< br>),x?[0,2
?
]
的简图.
例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
115
?
(1)sinx?;(2)cosx?,(0?x?).

2

22

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
五、课后作业：作业：
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象
2．分别在[-4?,4?]内作出y=sinx和y=cosx的图象
3．用五点法作出y=cosx,x?[0,2?]的图象

六、板书设计：
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（2）
1、 教学目标：
2、 使学生学会用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。

3、 通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
4、 通过营造开放的课堂教学氛围，培养学生积极探索、勇于创新的精神。
5、 教学重点和难点：
6、 重点：用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
7、 难点：确定五个关键点。
8、 教学过程：
9、 思考探究
10、 复习
（1） 关于作函数，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你学过哪几种方法？
（2） 观察我们上一 节课用几何法作出的函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你发
现有哪几个点在确定图象的形状 起着关键作用？为什么？
（用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程）
2、“五点（画图）法”
在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sinｘ的五个关键点，再用 平滑的曲线将它们顺
次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”。

（1）、请你用“五点（画图）法” 作函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表：

π
描
x 0 π
2

点
、
Sin
0 １ 0
连
ｘ
线
，画出简图。
(用几何画板画出Y=sinx的图像，显示动画)

（2）、试用“五点（画图）法”作函数ｙ＝cosｘ, ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表：

π

x 0 π
2



Cos
1 0 -1

ｘ

描点、连线，画出简图。

1.5
3π
2

－1
3π
2

0
f?x? = cos?x?
1
0. 5
O
-0.5
-1
1
?
2
234
π
3
π
2
56
2π

一、 自主学习
例1． 画出下列函数的简图：
（1） y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕
（2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
解：（1） 按五个关键点列表：



x 0


Sin
0

ｘ

1+
描
S
点、
i1
连
n
线，
ｘ
画出
简图。
π
2

１
π
3π
2

－1 0
2 1 0
f?x? = 1+sin?x?
2
g?x? = sin?x?
O

(2)按五个关键点列表：



x


Cosx


-
描
C
点、
o
连
s
线，
x
画出
简图。
-2
?
2
π
3
π
2
5
2π

0
π
2

0
π
3π
2

0 1 -1
-1 0 1 0

2
f?x? = -cos?x?
g?x? = cos?x?
O
-2
?
2
π
3
2
5
π
2π< br>10


二、 合作学习
●探究1
如何利用y=si nx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y
＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π3)的图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，
ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：这两个图像关于X轴对称。
●探究3
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，
ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。
●探究4
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标
系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π2 )= sin[( x - 3π2 ) +2 π] =sin(x+π2)=cosx
这两个函数相等，图象重合。
三、 归纳小结
1、五点（画图）法
（1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。
（2）用途 只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。
（3）关键点
横坐标：0 π2 π 3π2 2π
2、图形变换
平移、翻转等
四、 布置作业
P53：A组1 P54：B组1
4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
能力目标：掌握 正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周

期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，
体会三角函数 图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
x

函数值
sinx

?2
?

?
0

3
?
?

?
?

?

2
2
0

0

?

2
1

?

0

3
?

2
2
?

0

1

0

?1

?1

y


–


1



?
?
?

?
?


?5
?

?2
?

?

O



2
2



?
1
–


正弦函数
f(x)?sinx
性质如下：
2
?

x

5
?


（观察图象） 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2?规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现）
3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当
x
增 加
2k
?
（
k?Z
）时，总有
f(x?2k
?)?sin(x?2k
?
)?sinx?f(x)
．
也即：（1）当自 变量
x
增加
2k
?
时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意
x
，
sin(x?2k
?
)?sinx< br>恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数
f
(
x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一
个值时，都有：
f
(
x
+T)=
f
(
x
)那么函数
f
(
x
)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函
数的周期。
问题： （1）对于函数
y?sinx
，
x?R
有
sin(
2
?
2
??
)?sin
，能否说是它的周期？
3
636< br>（2）正弦函数
y?sinx
，如果是，周期是多少？（
2k
?
，
x?R
是不是周期函数，
k?Z
且
k?0
）
*
（3）若函数
f(x)
的周期为
T
，则
kT
，< br>k?Z
也是
f(x)
的周期吗？为什么？
（是，其原因为：
f(x)?f(x?T)?f(x?2T)?L?f(x?kT)
）
?
?
2、说明：1?周期函数x?定义域M，则必有x+T?M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义

域无下界；
2?“每一个值”只要有一个反例，则
f
(
x
)就不为周期函数（如
f
(
x
0
+t)?
f
(
x
0
)）
3?T往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期T中最小
的正数叫做
f
(
x
)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? （一般称为周期）
从图象上可以看出
y?sinx< br>，
x?R
；
y?cosx
，
x?R
的最小正周期为< br>2
?
；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （
f(x)?c
没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ①
y?3cosx
②
y?sin2x
（3）
y?2sin(x?
1
2
?
6
)
，
x?R
．
解：（1）∵
3cos(x?2
?
)?3cosx
，
∴自变量
x
只要并且至少要增加到
x?2
?
，函数
y?3cosx
，
x?R
的值才能重复出现，
所以，函数
y?3 cosx
，
x?R
的周期是
2
?
．
（2）∵sin(2x?2
?
)?sin2(x?
?
)?sin2x
，
∴自变量
x
只要并且至少要增加到
x?
?
，函数
y ?sin2x
，
x?R
的值才能重复出现，
所以，函数
y?sin2x
，
x?R
的周期是
?
．
1
?
1
?
?2
?
)?2sin[(x?
?
)?]?2sin(x?)
，
62626
∴自变量
x
只要 并且至少要增加到
x?
?
，函数
y?sin2x
，
x?R< br>的值才能重复出现，
所以，函数
y?sin2x
，
x?R
的周期是
?
．
说明：（1）一般结论：函数
y?Asin(
?
x?
?
)< br>及函数
y?Acos(
?
x?
?
)
，（其中
A,
?
,
?

x?R
2
?
为常数，且A?0
，
?
?0
）的周期
T?
；
（3）∵< br>2sin(x?
1
2
?
?
（2）若
?
?0< br>，例如：①
y?3cos(?x)
，
x?R
；②
y?sin( ?2x)
，
x?R
；
③
y?2sin(?
1
?< br>x?)
，
x?R
．
26
2
?

|
?
|
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数
y ?Asin(
?
x?
?
)
及函数
y?Acos(
?
x?
?
)
，
x?R
的周期
T?
例2先化简 ，再求函数的周期
①
y?sinx?cosx

22
②
y?cosx?23cosxsinx?sinx

③证明函数
f(x)?|sinx|?|cosx|
的一个周期为
例3 求下列三角函数的周期：
1? y=sin(x+
?
，并求函数的值域；
2
x
??
) 2? y=cos2x 3? y=3sin(+)
2
53
解：1? 令z= x+
?
而 sin(2?+z)=sinz 即：f

(
2
?+z)=f

(z)
3
??
]=f

(x+) ∴周期T=2?
33
f

[(x+
2
)?+
2?令z=2x ∴
f
(
x
)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x +2?)=cos[2(x+?)]

即：
f
(
x
+?)=
f
(
x
) ∴T=?
3?令z=
x
?
x
?
+ 则：f

(
x
)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin(++2?)
2< br>5
2
5
=3sin(
x?4
??
?
)=f
(
x
+4?) ∴T=4?
25
2
?
小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A?0, x?R) 周期T=
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之
例4 求下列函数的周期： 1?y=sin(2x+
?

?
?
)+2cos(3x-)
6
4
2
2? y=|sinx| 3? y=2
3
sinxcosx+2cosx-1
解：1? y
1
=sin(2x+
y
2
=2cos(3x-
?
) 最小正周期T
1
=?
4
?
2
?
) 最小正周期 T
2
=
63
∴T为T
1
,T
2
的最小公倍数2? ∴T=2?
2? T=? 作图


? 2?
3? -?


注意小结这两种类型的解题规律
?
?
3? y=
3
sin2x+cos2x ∴T=?
三、巩固与练习
1． y=2cos(
?
x
?
?
)-3sin(
x?
)
4
43
?
?
)+sin(4x-)
3
2
?
)|
6
2． y=-cos(3x+
3． y=|sin(2x+
4． y=cos
?
2
sin
?
2< br>+1-2sin
2
?
2

四、小 结：本节课学习了以下内容：
周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3
补充：
1．求下列函数的周期：
1?y=sin(2x+
?
?
)+2cos(3x-) 2? y=|sinx| 3? y=2
3
sinxcosx+2cos
2
x-1
6
4
?
3?cosx
)-1 2? y=sin
2
x-4sinx+5 3? y=
4
3?cosx
2． 求下列函数的最值： 1? y=sin(3x+
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。

六、板书设计：
课题
一、知识点
（一）





七、课后反思：
题选
求下列函数的周期：
（二） 例题：
1．


2．
3xx3xx
cos?sinsin
；
322222
x
2
x
（3）
y?sinx?cosx
； （4）
y?cos?sin
2
； （5）
y?cos
2
x
．
22
2
?
解： （1）
T??4
，∴周期为
4
；
?
|?|
23xx3xx3xx
（2）
y?coscos?sinsin?cos(?)?cosx< br>，∴周期为
2
?
；
222222
（1）
y?sin (
?
?
?
x)
； （2）
y?cos
（ 3）
y?cosx?sinx?
（4）
y?sin
2
2sin(?x )
∴周期为
2
?
；
4
?
xx
?co s
2
??cosx
，∴周期为
2
?
；
22
111
2
（5）
y?cosx?(1?cos2x)??cos2x?
，∴ 周期为
?
．
222
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为
y?Asin(
?
x?
?
)
的形式，再利用公式
2
?
进行求解。
T?
?
4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的
意志， 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：

二、讲解新课：
1. 奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：
f(-
?
1
?
1
??
)=,f()= ,即f(-)=f()；……
3
2
3
2
33
由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的 图象上的任一点,那么,
与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我 们说函数y=cosx是偶函
数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函
数f(x)就叫做偶函数。
例如：函数f(x)=x+1, f(x)=x-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对
称。 也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点
（- x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(
－
x)=
－
f(x) ，那么
函数f(x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y=
24
1
都是奇函数。
x
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。
首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，
然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
2.单调性
从
y
＝sin
x
，
x
∈［－
?
3
?
,
］的图象上可看出：
22

??
，］时，曲线 逐渐上升，sin
x
的值由－1增大到1.
22
?
3
?< br>当
x
∈［，］时，曲线逐渐下降，sin
x
的值由1减小到－1.
2
2
当
x
∈［－
结合上述周期性可知：
??＋2
kπ
，＋2
kπ
］(
k
∈Z)上都是增函数，其值 从－1
22
3
?
?
增大到1；在每一个闭区间［＋2
kπ< br>，＋2
kπ
］(
k
∈Z)上都是减函数，其值从1减小
22
正弦函数在每一个闭区间［－
到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2
k
－1)
π
，2
kπ
］(
k
∈Z)上都是增函数 ，其值从－1增
加到1；在每一个闭区间［2
kπ
，(2
k
＋1)< br>π
］(
k
∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x=
k
?
?
?
2
k∈Z
y=cosx的对称轴为x=
k
?
k∈Z
（1）写出函数
y?3sin2x
的对称轴；
（2）
y?sin(x?
?
4
)
的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线
x?
4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)
f(x)?
?
4
， (D) 直线
x??
?
4

1?sinx?cosx
;

1?sinx?cosx
44
(2)f(x)=sinx-cosx+cos2x;
(3)
f(x)?lg(sinx?1?sin
2
x);

lg(1?x
2
)
（4）
f(x)?

|x?2|?2
2
?
(x?0)
?
x?x
（5）
f(x)?
?
；
2
?
(x?0)
?
?x?x
例2 (1)函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .
(2)函数
f(x)?3sinx?cosx
图象的对称轴是 ；对称中心是 .
例3 已知
f(x)=ax+bsin
3
x+1
(
a 、b
为常数)，且
f(5)=7
,求
f(-5)
.
例4 已知
已知f(x)?log
1
1?sinx
.

1?sinx
2
(1) 求f(x)的定义域和值域；
(2) 判断它的奇偶性、周期性；
(3) 判断f(x)的单调性.

例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，求
θ的值.
(2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线
x??
例6 已知
f(x)?log
a
(sin
4. 有关奇偶性
（1）
f(x)?sin|x|?|sinx|

（2）
(x)?
2
?
8
对称，求b的值.
xx< br>?sin
4
)(a?0,a?1)
，试确定函数的奇偶性、单调性.
22
1?sinx?cosx

1?sinx?cosx
有关单调性
（1）利用公式
sin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
sin
?
?
?
2
，求证< br>f(x)?sinx
在
[?
??
,]
上是
22
增函数；
（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
①
sin(?< br>?
1810
2317
②
cos(?
?
)?cos(?
?
)

54
（3）比较
sin1,sin2,sin3大小；
sin(
?
?3)?sin1?sin(
?
?2)

（4）求函数
y?2sin(3x?
二、巩固与练习
练习讲评
（1）化简：
2?sin
2
2?cos4

)?sin(?
?
)
；
?
4
)
的单调递增区间；
asin
（2）已知非零常数< br>a,b
满足
?
55
?tan
8
?
，求
b
的值；
??
15
a
acos?bsin
55
?bcos
?
（3）已知
8sin
?
?10cos
?
?5,8cos
?
?10sin
?
?53

求值：（1）
sin(
?
?
?
)
；（2）
sin(
解：
（1）
2?sin
2
2?cos4

?
3
?
?
)

?2?sin
2
2 ?1?2sin
2
2?3(1?sin
2
2)?3cos
2
2?3|cos2|??3cos2

（2）

a
??
8
?
sin?cossin
b55
?
15
a
??
8
?
cos?sincos
b5515

8
??< br>8
??
8
??
sincos?cossinsin(?)
a< br>155155
?
155
?tan
?
?3??
8
??
8
??
8
??
b3
coscos?sinsinco s(?)
155155155
2
（3）两式平方相加得
164?160sin (
?
?
?
)?100?
sin(
?
?
?< br>)?
；
5
10cos
?
?5?8sin
?
10sin
?
?53?8cos
?

两式平方相加得
100 ?164?80sin
?
?803cos
?

即
132?
2
sin
?
?cos
?
?,?sin(?
?
)?

22535
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．
五、课后作业：见教材
六、板书设计：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线?
练习正切线，画出下列各角的正切线：

．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象．
二、讲解新课：
1．正切函数
y?tanx
的定义域是什么？
?
x|x?
2．正切函数是不是周期函数？

Qtan
?
x?
?
?
?tanx
?
x?R,且x?k
?< br>?
?
?
?
?
?k
?
,k?z
?
2
?
?
?
?
?
,k?z
?
，
2
?
∴
?
是
y?tanx
?
x?R ,且x?k
?
?
?
?
?
?
,k?z
?的一个周期。
2
?

?
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作
y ?tanx
，
x?
?
?
?
??
?
,
?
的图象
22
??


说明：（1）正切函数的最小 正周期不能比
?
小，正切函数的最小正周期是
?
；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
y?tanx




x?R
，且
x?< br>?
2
?k
?
?
k?z
?
的图象，称“正切曲 线”。
y
y

3
?
?
2
?
?
?
?
2
O
0
?
2
?
x
3
?
x
2
（3）由图 象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线
x?k
?
?
无穷多支曲线组成的 。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：
?
x|x?
（2）值域：R
观察：当
x
从小于
k
?
?
当< br>x
从大于
?
2
?
k?Z
?
所隔开的
?
?
?
?
?k
?
,k?z
?
；
2
?
?
2
?
???

?
k?z< br>?
，
x???k??
时，
tanx??
2
?
2
（3）周期性：
T?
?
；
??
?k
?
?
k?z
?
，
x?
?
2
????
。 ?k
?
时，
tanx?
（4）奇偶性：由
tan
??x
?
??tanx
知，正切函数是奇函数；
??
?
（5）单调性：在开区间
?
?
??k
?
,?k
?
?
k?z
内，函数单调递增。
2
?
2
?
5.余切函 数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
?
?
?
?
?< br>??
y?cotx?tan
?
?x
?
??tan
?< br>x?
?
——即将
y?tanx
的图象，向左平移个
2
?
2
?
2
??
单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得
y? cotx
的图象

定义域：
x?R且x?k
?
,k?z

值域：R，

当
x?
?
k
?
,k
?
?
?
?
?
?
?
??
?
k?z
时
y? 0
，当
x?
?
k
?
?,k
?
?
k ?z
时
y?0

2
?
2
??
周期：
T?
?

奇偶性：奇函数
单调性：在区间
?
k
?
,
?k?1
?
?
?
上函数单调递减
6.讲解范例：
例1 比较
tan
?
?
?
13
?
??
17
?
tan
与
??
?
?
4
??
5
?
?
的大小
?
解：
?tan
?
?
2?
?
?
13
?
??
17
?
?
，
?
??tan
，
tan
?
?
?
??t an
455
4
????
?
2
?
?
?
?
,y?tanx在
?
0,
?
内单调递增，
5
?
2
?
2
??
2
?
?
13
??< br>17
?
,??tan??tan,即tan
?
?
?
?
?tan
?
?
?
?

545
?
4
??
5
?
又：
0?
?
4
?tan
?
4
?tan
例2讨论函数
y?tan
?
x?
?< br>?
?
?
?
的性质
4
?
略解：定义域：?
x|x?R且x?k
?
?
?
?
?
?
,k?z
?

4
?
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在
?
k
?
?
?
?
3
??
?
,k
?
?
?
上是增函数
44
?
图象：可看作是
y?tanx
的图象向左平移
例3求函数< br>y
＝tan2
x
的定义域
?
单位
4
解： 由2
x
≠
k
π＋
?
，(
k
∈Z)
2
k
?
?
得
x
≠＋，(
k
∈Z)
2
4
∴
y
＝tan2
x
的定义域为：｛
x
｜
x
∈R且
x
≠
k
?
?
＋，k
∈Z｝
2
4
例4观察正切曲线写出满足下列条件的
x
的值的范围：tan
x
＞0
解：画出
y
＝tan
x在(－
为：0＜
x
＜
?
?
，)上的图象，不难看出在此 区间上满足tan
x
＞0的
x
的范围
22
?
2

结合周期性，可知在
x
∈R，且
x
≠
k
π＋
?
?
上满足的
x
的取值范围为(
k
π，
k
π＋)(
k
∈Z)
22
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵
y
＝tan
x
在
x
∈(90°，270°)上是增函数
∴tan135°＜tan138°
三、巩固与练习
P．71．练习2，3，6
求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象
解：（ 1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠
即x≠
?
＋
ｋ
π，
ｋ
∈Z
2
k
?
?
＋，
ｋ
∈Z
2
4
k
?
，
ｋ
∈Z｝
42
?< br>k
?
?
（2）设
ｔ
＝2x，由x≠
?
，ｋ
∈Z｝知
ｔ
≠＋
422
ｋ
π，
ｋ
∈ Z
∴y＝tan
ｔ
的值域为（－∞，＋∞）
即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）
?
（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x
2
?
∴y＝tan2x的周期为．
2
（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图


四、小 结：本节课学习了以下内容：
∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜， x≠
?
?
1.因为正切函数
y?tanx
的定义域是
{x| x?R,x?k
?
?
?
2
,k?Z}
，所以它的图象被x??
?
3
,?
?
,......
等相互平行的直线所 隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
22
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为 一个周期（-π2，π2）的区间内的函数的图
象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离 是π个单位，就可以得到整个正切
函数的图象。
讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的 单调性；形如
y
＝tan(ω
x
)，
x
≠
k
?
?
?
?
?
(
k
∈Z)的周期
T
＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的
2
?
?
五、课后作业：
六、板书设计：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（2）
教学目的：
知识目标：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；

能力目标：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
二、讲解新课：
例1：求下列函数的周期：
（1）
y?3tan
?
x?
（ 2）
y?tan
?
3x?
?
?
?
?
? 答：
T?
?
。
5
?
?
?
?
?
?
答：
T?
。
6
?
3
?
说明：函数
y?A tan
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0< br>?
的周期
T?
例2：求函数
y?tan
?
3x??
．
?
?
?
?
?
?
的定义域、值域 ，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说
3
?
得
x?
明它的图象可 以由正切曲线如何变换得到。
k
?
5
?
，
?
3 2318
?
k
?
5
?
??
?,k?z
?< br>，值域为R，周期
T?
，是非奇非偶∴所求定义域为
?
x|x?R,且 x?
318
3
??
?
k
??
k
?
5
?
?
?,?
函数，在区间
??
?
k?z
?
上是增函数。
?
318318
?
?
?
?
?
将
y?tanx
图象向右平移个单位，得到
y?tan
?
x?
?
的图象；再将
3
?
3
?
?
?< br>1
?
y?tan
?
x?
?
的图象上所有点的横坐标变 为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数
3
3
??
?
??
y ?tan
?
3x?
?
的图象。
3
??
解：由3x?
?
?k
?
?
?
例3：用图象求函数
y? tanx?3
的定义域。
3
， 解：由
tanx?3?0
得 < br>tanx?
利用图象知，所求定义域为
?
k
?
?
亦可 利用单位圆求解。

?
?
?
3
,k
?
?
?
?
?
?
k?Z
?
，
2
?
y

T
3

0
y

3

0
?

?

A
x

x

三、巩固与练习
1．“
tanx?0
”是“
x?0
”的 既不充分也不必要 条件。
2．与函数
y?tan
?
2x?

?
A< br>?
x?
?
?
?
?
?
的图象不相交的一条直线 是（ D ）
4
?
?
2

?
B
?
x??
?
2

?
C
?
x?
?
4

?
D
?
x?
?
8

3．函数
y?1?tanx
的定义域是
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?4
?
?
?
k?Z
?
．
?
3
?
,??
?
．
?
?
4?
4．函数
y?tanx?tanx?1
?
x?k
?
?
2
?
?
?
?
,k?Z
?
的值域是
2
?
5．函数
y?tanx?cotx
的奇偶性是 奇函数 ，周期是
四、小 结：本节课学习了以下内容：
正切函数的性质。
五、课后作业：
以下函数中，不是奇函数的是( )
．．
A.y＝sinx＋tanx Ｂ．y＝xtanx－1 Ｃ．y＝
?
．
2
sinx?tanx?tanx
Ｄ．y＝lg
1?cosx
1?tanx
3.下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数 Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋
六、板书设计：
?
3
）｜的周期是
?
Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2
π
的偶函数
2
4-1.5函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0的图象
教学目标：
1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数
图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A> 0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图

像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
教学重点：
函数y = Asin(wx+?)的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系，以及对各种变
换内在联系的揭示。
教学难点：
各种变换内在联系的揭示。
教学过程：
一、 复习旧知
1.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？
2. 函数y = sin(x?k)(k>0)的图象和函数y = sinx图像的关系是什么？
生答：函数y = sin(x ?k)(k>0)的图像可由函数y = sinx的图像向左(或右)平移k 个
单位而得到，学生回答后，教师应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点坐标的
变 化，然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k个单位，这
种变换称为平 移变换。
3. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx的图像沿x轴伸长(w<1)或缩
短(w>1)到原来的
1
倍而得到，称 为周期变换。
?
演示：教师运用多媒体演示变化过程，并要求学生观察图像上点坐标 的变化，然后进一
步总结这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(01)到 原来的
4. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = Asinx的图像可由函数y = sinx的图像沿y轴伸长(A>1)或缩短(x<1)
到原来的A倍而得到的，称为振幅变换。
演示：教师利用多媒体，运用制好的课件将变化过程演示给学生看，并要求学生具体观
察图像上点坐标的变化，然后归纳出这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | )
或缩小(0 二、创设情境
上面我们学习和复习了三种函数y = sin(x ?k)，y = sinwx，y = Asinx的图像和函数
1
倍。
?

y = sinx图像的关系，那么函数y = Asin(wx+?)(a>0，w>0) 的图像和函数y = sinx的图
像有何关系呢？三、尝试探究
1. 函数y = Asin(wx+?)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+?)的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”
作函数y = Asin(wx+?)的图像。
?
)的简图。
3
z?
z?
?
?
??
3
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin?，x==
?
，分别取z = 0，，
2
33
2
26
例：作函数y = 3sin(2x+?，
??
?
7?
5?
3?
?
，2?，则得x为
?
，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x
?
)
2
3
6
612
3
12
?
5?
，]图象上起关键作用的 点。
6
6
在一个周期[
?
⑵列表
x
?
?

6
?

12
?

2
1
3
?

3
?
0
0
7?

12
3?

2
?1
?3
5?

6
2?
0
0
?

3
?
sin(2x+)
3
?
3 sin(2x+)
3
2x+
0
0
0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利 用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过
平移变化→周期 变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+?)图像的。
归纳1：先把函数y = sinx的图像上的所有点向左平行移动
?
3
?
个单位，得到y = sin(x+)
33
1
?
的图像，再把y = sin(x +)的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，
3
2
得到y = sin(2x +
??
)的图像，再把y = sin(2x +)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原
33
?
)图像。
3
来的3倍(横坐标不变)，从而得到y = 3sin(2x +
归纳2：函数y = Asin(wx+?)，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图 像上
所有的点向左(?>0)或向右(?>1)平移|?|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1 )或伸长

(01
倍(纵坐标不变)，再把所得各点 的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0?
来的A倍，(横坐标不变)。即：平移变 换→周期变换→振幅变换。三、尝试探究
1. 函数y = Asin(wx+?)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+?)的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点
法”作函数y = Asin(wx+?)的图像。
?
)的简图。
3
z?
z?
?
?
??
3
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin?，x==
?
，分别取z = 0，，
2
33
2
26
例：作函数y = 3sin(2x+
?，
??
?
7?
5?
3?
?
，2?，则得 x为
?
，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x
?
)
23
6
612
3
12
?
5?
，]图象上起关键作 用的点。
6
6
在一个周期[
?
⑵列表
x
?
?

6
?

12
?

2
1
3
?

3
?
0
0
7?

12
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2
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5?

6
2?
0
0
?

3
?
sin(2x+)
3
?
3 sin(2x+)
3
2x+
0
0
0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利 用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过
平移变化→周期 变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+?)图像的。四、指导创新
上面我们学习了函数y = Asin(wx+?)的图像可由y = sinx图像平移变换→周期变换→
振幅变换的顺序而得到，若按下列顺序得到y = Asin(wx+?)的图象吗？
⑴周期变换→平移变换→振幅变换
⑵振幅变换→平移变换→周期变换
⑶平移变换→振幅变换→周期变换
教师利用制作好的课件，运用多媒体逐一演示验证，让学生发现规律：若周期变换在前，
平移变换在后， 则得到的函数图像不是函数y = Asin(wx+?)的图像，振幅变换出现在前或

后不会影响得到函数y = Asin(wx+?)的图像。
教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数y = Asin(wx+?) (A>0，w>0)图像的原因，
并通过在平移变换过程中的单位变换而调整到函数y = Asin(wx+?)图像的一般公式。
周期变换
平移变换
????????
???
原因：y = sinx y =Asinwx
????
1
平移?个单位
伸长或缩短倍?
振幅变换
y = sinw(x+?) = sin(wx+w?)
???????
y = Asin(wx+w?)
伸长或缩短A倍
一般公式：将平移变换单位改为：
五、归纳小结
本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+?)(A> 0，w>0)
的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到
的函数图像不是函数y =Asin(wx+?)的图像由y = sinx图像的得到。
六、变式练习
1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指出它的图像是如何由函数y = sinx
的图像而得到的。
?
w
即可。
1?
1
?
⑴y = 5sin(x+)；⑵y =sin(3x
?
)
2
6
24
2. 完成下列填空
5?
个单位所得图像的函数表达式为 ？
12
??
⑵函数y = 3cos(x+)图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为 ？
43
⑴函数y = sin2x图像向右平移
⑶函数y = 2log
a
2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式 ？
⑷函数y = 2tg(2x+
七、布置作业(略)
?
)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为 ？
3
4-1.6三角函数模型的简单应用
【知识与技能】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
【过程与方法】

例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化 曲线，
要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.
例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的 认识，这是研究数学问
题的常用方法.显然，函数
y?sinx
与正弦函数有紧密的联 系.
例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数< br>有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的
数学关 系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间， 一方面要注意利用周期性以及问题的条
件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第73页的 “思 考”问题，实际上，在货船
的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因 为这样不能保
证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题
例题：一根为Lcm的线， 一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，
离开平衡位置的位移s(单位：cm)与 时间t(单位：s)的函数关系是
?
g
?
?
（1）求小球摆动的周期 和频率；（2）已知g=980cms
2
，要
?
,t?[0,??)
，
s?3sin
?
t?
?
l6
?
??
使小 球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
解：（1）
?
?
?
【情态与价值】
一、选择题
1. 初速度v
0
，发射角为
?
，则炮弹上升的高度y与v
0
之间的关系式为（ ）
A.
y?v
0
t
B .
y?v
0
?sin
?
?t?
g2
?
?T ??2
?
l
?
l1
,f?
g2
?
g
g
；（2）
若T?1，即l??24.8cm
.
2
4
?
l
1
g?t
2
C.
y?v
0
?sin
?
?t
D.
y?v
0
?cos
?
?t

2
2. 当两人提重为
G
的书包时，夹角为
?
，用力为
F
，则
?
为____时，
F
最小（ ）
A．
?
2
B.
0
C.
?
D.
?
2
3
?
3.某人向正东方向走x千米后向右转
150
，然后朝新 的方向走3千米，结果他离出发点恰好
3
千米，那么x的值为 （ ）
A．
3
B.
23
C.
23或3
D.
3

二、填空题
4. 甲 、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为
45
，从甲楼顶望乙楼顶俯角为
30< br>，
0?