高中数学必修四试卷(含详细答案)[1]

高中数学必修四试卷(含详细答案)[1]
高中数学必修四试卷
一、选择题
1
?
，那么
sin(?A)?

22
1111
A. B. C. D.
2222
2005
4.函数
y?si n(
?
?2004x)
是
2
3.如果
cos(
?
?A)??
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
6.如果点
P(sin2
?
，
cos2
?
)
位于第三象限，那么角
?
所在象 限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
uuuruuuruuuruuur
CD?0
，
AB?DC< br>，那么四边形
ABCD
的形状是 7.在四边形
ABCD
中，如果
AB
g
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形
8.若
?< br>是第一象限角，则
sin
?
?cos
?
的值与
1的大小关系是
A.
sin
?
?cos
?
?1
B.
sin
?
?cos
?
?1

C.
sin
?
?cos
?
?1
D.不能确定
9.在△
ABC
中，若
sinC?2cosAsinB
，则此三角形必是
A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.设扇 形的周长为
8cm
，面积为
4cm
，则扇形的圆心角的弧度数是 .
2
3
，则
tan
?
?
.
5
rr
r
r
4sin
?
?2cos
?
13.已知
a?(3
，
1)
，
b?(sin
?，
cos
?
)
，且
a
∥
b
，则＝ .
5cos
?
?3sin
?
12.已知
tan
?
?2
，
tan(
?
?
?
)??

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分13分）
已知函数
f(x)?sin
xx
?3cos
，
x?R
.
22
（1）求函数
f(x)
的最小正周期，并求函数
f(x)< br>在
x?[?2
?
,2
?
]
上的单调递增区间；
（2）函数
f(x)?sinx(x?R)
的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以 得到函数
f(x)
的
图象.

1 6

高中数学必修四试卷(含详细答案)[1]
rr
vv
b

17.已知
a?(3sinx,m?cosx )
，
b?(cosx,?m?cosx)
, 且
f(x)?a
g
(1) 求函数
f(x)
的解析式;
(2) 当
x?
?
?
?
??
?
,
?
时,
f(x)
的最小值是－4 , 求此时函数
f(x)
的最大值, 并求出
63
??
相应的
x
的值.



18.（本小题满分13分）
uuuruuuruuur
已知向量
O A?(3,?4)
，
OB?(6,?3)
，
OC?(5?m,?3?m).
（1）若点
A,B,C
能够成三角形，求实数
m
应满足的条件；
（2）若△
ABC
为直角三角形，且
?A
为直角，求实数
m
的值.





19.（本小题满分13分）
uuuruuuruuuur
OA?(1,7)OB?(5,1)OM?(2,1)
，点P
是直线
OM
上的一个 设平面内的向量，，
uuuruuuru uur
动点，且
PA
g
PB??8
，求
OP
的坐标 及
?APB
的余弦值.





20.（本小题满分13分）
rr
3x3xxx
?
,sin)，
b?(cos,?sin)
，且
x?[,
?
]
. 已知向量
a?(cos
22222
rr
rr
b
及
a ?b
； （1）求
a
g
rrrr
b?a?b
的最大值， 并求使函数取得最大值时
x
的值.
（2）求函数
f(x)?a
g

2 6

高中数学必修四试卷(含详细答案)[1]
高中数学必修（4）试卷参考答案及评分标准
一、选择题
题号
答案
1
B
2
C
3
B
4
B
5
A
6
B
7
A
8
A
9
A
10
C
二、填空题
11. 2 12. -13 13.
三、解答题
5
14. （1）（2）（3）
7
535
?
?
?
?
?
，所以
?
?2
?
?3
?
. ………………………（2分）
422
4
2
因此
cos2
?
??1?sin2
?
??
. ………………………………（4分）
5
15.解：（1）因为
2
由
cos2
?
?2cos
?
?1
，得
cos
?
??
10
. ……………………（8分）
10
（2）因 为
sin(
?
?x)?sin(
?
?x)?2cos
???
10
，
10
所以
2cos
?
(1?sinx)??
因为
x
为锐角，所以
x?
16.解：
y?sin
10
1
，所以sinx?
. ………………………（11分）
10
2
. ………………………………………………（13分）
?
6
xxx
?
?3cos?2sin(?)
.
2223
2
?
（1）最小正周期
T??4
?
. ……………………………………………（3分）
1
2
1
?
??
令
z?x?
， 函数
y?sinz
单调递增区间是
[??2k
?
,?2k
?
](k?Z)
.
2322
?
1
??
由
??2k
?
?x???2k
?
，
2232
5
??
?4k
?
?x??4k
?
,k?Z
. ………………………………（5分） 得
?
33
5
??5
??
?x?
，而
[?,]
?
[?2
?
,2
?
]
， 取
k?0
，得
?
3333
xx5
??
所以，函数
y?sin?3cos
，
x?[?2
?
,2
?< br>]
得单调递增区间是
[?,]
.
2233
…………………………………………………………………………（8分）
3 6

高中数学必修四试卷(含详细答案)[1]
?
?
，得到函数
y?sin(x?)
的图象，…（10分）
3
3
（2）把函数
y?sinx
图象向左平移
再把函数
y?sin(x?
?
3
x
?
变，得到函数
y?sin(?)
的图象， …………………………………（11分）
23
)
的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不
然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即可得到函数
x
?
（13分）
)
的图象. ……………………………………… …………
23
vv
b?(3sinx,m?cosx)
g
(cosx ,?m?cosx)

17.解 (1)
f(x)?a
g

y?2sin(?
22
即
f(x)?3sinxcosx?cosx?m
(2)
f(x)?
3sin2x1?cos2x
??m
2

22

?sin(2x?
由
x?
?
?

??
?
1
)??m
2

62
?
?
?
5
?
?
?
?
1
??
??
?
,
?
,
?2x??
?
?,
?
,
?sin(2x?)?
?
?,1
?
,
6
?
66
?
6
?
2
??
63
?
11
??m
2
??4
,
?m??2

22
11
??
?

?f(x)
max
?1??2??
, 此时
2x??
,
x?
.
22626
uuuruuuruuur
18.解：（1） 已知向量
OA?(3,?4)
，
OB?(6,?3)
，
OC?(5? m,?3?m)
，
r
uuur
uuu
若点
A ,B,C
能构成三角形，则这三点不共线，即
AB
与
BC
不共线. ……（4分）
uuuruuur

AB?(3,1)
，
AC?(2?m,1?m)
，
故知
3(1?m)?2?m
，
1
时，满足条件. …………………………………………………（8分）
2
uuur
（若根据 点
A,B,C
能构成三角形，必须任意两边长的和大于第三边的长，即由
AB

∴实数
m?
uuuruuur
?BC?CA
去解答，相应给分）
uuuruuur
（2）若△
ABC
为直角三角形，且
?A
为直角，则
AB?AC
， …………（10分）
4 6

高中数学必修四试卷(含详细答案)[1]
∴
3(2?m)?(1?m)?0
，
解得
m?
uuur
OP?(x,y)
. 19.解：设
7
. …………………………………………………………………（13分）
4
∵点
P
在直线
OM
上，
uuuruuuuruuuur
∴
OP
与
OM
共线，而
OM
?(2,1)
，
uuur
∴
x?2y?0
，即
x?2y
，有
OP?(2y,y)
. ………………………………（2分）
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
P A?OA?OP?(1?2y,7?y)PB?OB?OP?(5?2y,1?y)
，……（4分） ∵，
uuuruuur
∴
PA
g
PB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)
，
uuuruuur
2
即
PA
g
PB?5y?20y?12
. …………………………………………………（6分）
uuuruuur
2
又
PA
g
PB??8
， ∴
5y?20y?12??8
，
uuur
所以
y?2
，
x?4
，此时
OP?(4,2)
. ……………………………………（8分）
uuuruuur

PA?(?3,5),PB?(1,?1)
.
uuuruuuruuuruuur
于是
PA?34,PB?2,PA
g
PB??8
. …………………………………（10分）
uuuruuur
PA
g
PB?8417
??
∴
cos?APB?
uu
. ………………………（13分）
uruuu r
?
17
34?2
PA?PB
rr
3xx3xx
2 0.解：（1）
a
g
b?coscos?sinsin?cos2x
， ……………………（3分）
2222
rr
3xx3xx
a?cos)
2
?(sin?sin)
2
………………………（4分）
?b?(cos
2222

?2?2(cos
3xx3xx
cos?sinsin)

2222

?2?2cos2x?2cosx
…………………………………………（7分）
∵
x?[
?
2
,
?
]
， ∴
cosx?0
.
5 6

高中数学必修四试卷(含详细答案)[1]
rr
∴
a?b??2cosx
. …………………………………………………………（9分）
rrrr
（2）
f(x)?a
g
b?a?b?cos2x?2c osx?2cos
2
x?2cosx?1


?2(cosx?)?
∵
x?[
1
2
2
3
…………………………………………………（11分）
2
?
2
,
?
]
， ∴
?1?cosx?0
， ……………………………………（13分）
∴当
cosx??1
，即
x?
?
时
f
max
(x)?3
. ………………………………（15分）
6 6