高一数学必修四知识点

基本三角函数
Ⅰ
?

?

2
?
?
Ⅰ
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅰ、Ⅲ
?
?
Ⅱ
?
?
Ⅲ
?
2
?
2
?
Ⅱ、Ⅳ
?
Ⅱ、Ⅳ
y轴上的角的集合：
?
?
Ⅳ
?
2
Ⅱ ? 终边落 在x轴上的角的集合：
?
??
?
??
,
?
?z?
? 终边落在
????
?
?
? 终边落在坐标轴上的角的集 合：
??
?
??
?,
?
?z
??
?
?
,
?
?z
??
??

2
2
??
??
? 基本三角函数符号记
1
?
?弧度
“一全，二正弦，三切，四
?

忆：
11
2
180
S?l r?
?
r
余弦”
22
180
1 弧度?度

?
?
180?
?
弧度
l?
?
r
360度?2
?
弧度
?
.
tan
?
cot
?
?1
?倒数关系：
Sin
?
Csc
??1
正六边形对角线上对应的三角函数之积为1
Cos
?
Sec
?
?1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对
22
平方关系：
Sin
?
?Cos
?
?1

边对应的三角函数的平方
tan
2
?
?1?Sec
2?
1?Cot
2
?
?Csc
2
?
乘积关系：< br>Sin
?
?tan
?
Cos
?
， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Sin
?
?
?2k
?
?
?Sin
?
, k?z
Cos
?
?
?2k
?
?
?Cos
?
, k?z
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z
Sin
?
?
?
?
??Sin
?
< br>Cos
?
?
?
?
?Cos
?
tan
?
?
?
?
??tan
?
?
角
?
与角?
?
关于x轴对称

Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
角
?
?
?
与角
?
关于y轴对称


Cos
?
?
?
?
?
??Cos
?
tan
?
?
?
?
?
??tan
?

?
角
?
?
?
与角
?
关于原点对 称
Sin
?
?
?
?
?
??Sin
?
Cos
?
?
?
?
?
??Cos
?
tan
?
?
?
?
?
?tan
?

?
角
?
2
?
?
与角
?
关于y?< br>?
?
?
?
?
?
Sin
?
?
?
?
?Cos
?
Sin
?
?
?
?
?Cos
?
2
??
?
2
?
?
x对称
?
?
?
?
?
?
Cos
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?
?
?
??Sin
?
?
2
?
?
2
?
?< br>?
?
?
?
?
tan
?
?
?
?
?cot
?
tan
?
?
?
?
??cot
?
?
2
?
?
2
?
上述的诱导公式记忆口诀 ：“奇变偶不变，符号看象限”
Ⅳ 周期问题
?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
y?ACo s
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b ?0 , T?
2
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
2
?

?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b?0 , T?
?
?< br>?
?
??
y?Acot
?
x?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?

?
?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
Ⅴ 三角函数的性质

y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
性 质
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
y?Sin x

R
y?Cos x

R
?
?1,1
?

2
?

奇函数
?
?1,1
?

2
?

偶函数
??
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
,k?z,增函数
2k
?
?,2k
?
?,k?z,增函数

?
22
???
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
,k?z,减函数
?
3
?
??
2k
?
?,2k< br>?
?,k?z,减函数
??
22
??

对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

x?k
?
?
?
??
?
k
?
?,0
?
,k ?z

2
??
x?k
?
,k?z

对称轴
?
2
,k?z

图


像
-π 2
-8

5
4
5
4
3
2
3
y
y
2
1
x
1
-8
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
-π 2Oπ 2
2
π
4
3π 2
6
2π
8
3π 2
O
-1
x
6
-1
-2π
-6
-3π 2
-4
-π
-2
π 2
2
π
4
2π
8
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5

-6






性 质
定义域
y?tan x

??
?
?
xx?
??
?,
?
?z
?

2
??
R
?

奇函数
??
??
?
k
?
? ,k
?
?
?
,k?z,增函数

22
??
y?cot x

?
xx?
??
,
?
?z
?

R
?

奇函数
值 域
周期性
奇偶性
单调性
?
k
?
,k
?
?
?
?
,k?z, 增函数

?
??
,0
?
,k?z
?
k?
?
2
??
对称中心
对称轴


图

像
?
k
?
,0
?
,k?z

无
10
8

无
y

6
4
y
2
x
-15-10-5
-3π 2-π -π 2Oπ 2π 3π 2
51015
-2
0
x
-4
-6
-8
-10

?
怎样由y?Sin x变化为y?ASin
?
?
x?
?
?
?k
？
振幅变化：
y?Sinx

y?ASinx
左右伸缩变化：

y?ASin
?
x
左右平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)

上下平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)?k

Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量
a,a?0,b,如果有
??
一个实数
?
,使得b?
?
a,a?0,则b与a是共线向量 ；反之如果b与a是共线向量

??

那么又且只有一个实数
?
,使得b?
?
a.

Ⅶ 线段的定比分点
点
P
分有向线段
P
1
P
2
所成的比的定义式
P
1
P?
?
PP
2

.
线段定比分点坐标公式

线段定比分点向量公式
?

x
1
?
?
x
2



1?
?

OP
1
?
?
OP
2
.
OP?
y
1
?
?
y
2

y?
1?
?

1?
?



x?
?
当
?
?1
时
?
当
?
?1
时

线段中点坐标公式 线段中点向量公式



x
1
?x
2
x?

2



OP
1
?OP
2


y?
y
1
?y
2

OP?
2
.


2


Ⅷ 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理：
b?
?
a
?
a?0
?


?
推广
?
平面向量基本定理：
a?
?
e ?
?
e ,
?
?
其中e
1
,e
2
为该平面内的两个
?

1122
??
?
不共线的向量
?

?
推广
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?
?
3
e
3
,
空间向量基本定理：
??

其中e,e,e为该空间内的三个
123
??
?不共面的向量
?
??
Ⅸ一般地，设向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0,如果a
∥
b那么x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

反过来，如果
x
1y
2
?x
2
y
1
?0,则a
∥
b.
Ⅹ 一般地，对于两个非零向量
a,b
有
a?b?abCos
?
，其中θ为两向量的夹角。
Cos< br>?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?
y
12
x
2
2
?
y
2
2

特别的，
a?a?a?a 或者 a?
2
2
a?a

Ⅺ
如果 a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0 , 则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
特别的 , a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

Ⅻ
若正n边形A
1
A
2
???A
n
的中心为O , 则OA
1
?OA
2
?????OA
n
?0

三角形中的三角问题
A?B?C
?
A?B
?
C
?
A?B?C?
?
, ? , ? -
2 2222
?
A?B
??
C
?
Sin
?
A? B
?
?Sin
?
C
?
Cos
?
A?B
?
??Cos
?
C
?
Sin
??
?Cos
??

?
2
??
2
?

?
A?B
??< br>C
?
Cos
??
?Sin
??
?
2
??
2
?
? 正弦定理：
abca?b?c

???2R?
SinASinBSinCSinA?SinB?SinC
余弦定理：
a
2< br>?b
2
?c
2
?2bcCosA , b
2
?a
2
?c
2
?2acCosB
c?a?b?2abCosC
222

b
2
?c
2?a
2
a
2
?c
2
?b
2
CosA ? , CosB ?
2bc2ac
变形：
222
a?b?c
CosC ?
2ab
?
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC

三角公式以及恒等变换
, S
(
?
?
?
)

? 两角的和与差 公式：
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?Cos
?
?Cos
?
Sin
?

Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?C os
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)

tan
?
?tan
?
, T< br>(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
? 二倍角公式：
Sin2
?
? 2Sin
?
Cos
?
变形：
tan
?
?t an
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?
其中
?
,
?
,
?
为三角形的三个内角
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?< br>??
1?tan
?
tan
?
?
Cos2
?< br>?2Cos
2
?
?1?1?2Sin
2
?
?Cos< br>2
?
?Sin
2
?
tan2
?
?
2 tan
?
1?tan
2
?

? 半角公式：
S in
?
2
??
1?Cos
?
2
tan
?< br>2
??
1?Cos
?
Cos??
22
2
?< br>1?Cos
?
Sin
?
1?Cos
?

??
1?Cos
?
1?Cos
?
Sin
?
1?Cos2
?

? 降幂扩角公式：
Cos
2
?
?
1?Cos2
?
, Sin
2
?
?
2

1
?
Si n
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?< br>?
?
?
2
1
? 积化和差公式：
Cos
?< br>Sin
?
?
?
Sin
?
?
?
??
?Sin
?
?
?
?
?
?

2
1
Cos
?
Cos
?
?
?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
?
?
?
?
?
2
1
Sin
?
Sin
?
??
?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
?
?
?
?
?
2
Sin
?
Cos< br>?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
Sin
?
?Sin
?
?2Sin
??
C os
??
?
2
??
2
?
?
?
?< br>?
??
?
?
?
?
Sin
?
?Sin
?
?2Cos
??
Sin
??
? 和差化积公式：
?
2
??
2
?
?
?
?
?
???
?
?
Cos
?
?Cos
?
?2Cos
??
Cos
?
?
2
??
2
?
?
?
?
??
?
?
?
Cos
?
?Cos
?
??2Sin
??
Sin
?
?
2
??
2
2tan
Sin
?
?
S?S?2SC
（
S?S ?2CS
?
?
?
?
?
?
C?C?2CC
C ?C??2SS
）
?
2
1?tan
2
?
2
? 万能公式:
1?tan
2
Cos
?
?
1?tan
2
?
?
2
2
(
S?T?C??
)
tan
?
?
2tan
?
2

1?tan
2
?
2
3
3
?

? 三倍角公式：
Sin3
?
?3Sin
?
?4Sin
?

tan3
?
?
3tan
?
?tan
21?3tan
?
Cos3
?
?4Cos
3
?
? 3Cos
?
“三四立，四立三，中间横个小扁担”
?
1. y?aSin
?
?bCos
?
?
b
a
a
2 . y?aCos
?
?bSin
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
b
? a
2
?b< br>2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
b
3. y? aSin
?
?bCos
?
?a
2
?b
2
S in
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
a
??a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
4. y?aCos
??bSin
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?

a

b
b
?a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以
??a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它
的就可以直接写出.
一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一
项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.

tan
?
?tan
?
, T
(
?
?
?
)
? 补充： 1. 由公式

1?tan
?
tan
?
tan
?
?ta n
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
可以推导 ：
当
?
?
?
?
??
?
在有些题目中应用广泛。
?
4
时,
?
?z ,
?
1?tan
?
??
1?tan
?
?
?2

2.
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
?
tan
?
tan
?
?tan?
?
?
?
?

3. 柯西不等式
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.


补充
1．常见三角不等式：（1）若
x?(0,
(2) 若
x?( 0,
22222
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
?
2
22
2.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
?
?sin
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?< br>.
)
，则
1?sinx?cosx?2
. (3)
|sinx|?|cosx|?1
.
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,tan
?
?
3. 三倍角公式 ：
sin3
?
?3si n
?
?4sin
3
?
?4sin
?
sin(
b
).
a
?
?
?
)sin(?
?
)
.
33
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
.
33
??
3tan
?
?tan
3
?? ?
tan3
?
??tan
?
tan(?
?
)tan (?
?
)
.
1?3tan
2
?
33
4. 三角形面积定理：（1）
S?
111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
222
111
（2）
S?absinC? bcsinA?casinB
.
222
uuuruuur
2
u uuruuur
2
1
(3)
S
?OAB
?(|OA|?|O B|)?(OA?OB)
.
2
C
?
A?B
?2C?2?
?2(A?B)
.
??
222
k
?
?
5.三角形内角和定理 在△A BC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
?
2
6. 正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴为
x?
?
?
?
(k?Z)
；对称中心为
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；类似可得余弦函数 型的对称轴和对称中心；
?
〈三〉易错点提示：
1. 在解三角问题时，你注意到 正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的
有界性了吗？

2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有
着广泛的应用．
3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角
化同角，异名化同名，高次化低次）
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(

)