高中数学老师毕业寄语-高中数学教与学 期刊
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高中数学必修4知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、
任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转
形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的
非负半轴重合,终边落在第几象
限,则称
?
为第几象限角.
??
第
二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?<
br>
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?
第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
终边
在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?9
0,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?<
br>?
,k??
?
第一象限角的集合为
?
k?360<
br>o
?
?
?k?360
o
?90
o
,k??<
br>
oooo
oooo
oooo
o
oo
o
o<
br>4、已知
?
是第几象限角,确定
?
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n
等
n
*
份,再从
x<
br>轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则
?
原来
?
终边所落在的区域.
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
是第几象限对应的标号即为
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所
对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
l
.
r
?
180
?
7、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360
,
1?
,
1?
?
?57.
3
o
.
?
180
?
?
?
o
o<
br>?
o
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C
,面积为S
,
11
则
l?r
?
,
C?2r?l
,
S?lr?
?
r
2
.
22
9、设
?<
br>是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?x,y
?
,它与原点
的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
,则
sin
?
?
?
?
yxy
,
cos
?
?
,
tan
?
?
?
x?0
?
.
rrx
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10、三角函数在各象限的符号:第一
象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限
正切为正,第四象限余弦为正.
11、三角函数线
:
sin
?
???
,
cos
?
???
,<
br>tan
?
???
.
12、同角三角函数的基本关系:
?1
?
sin
?
?cos
?
?1
22
y
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,co
s
2
?
?1?sin
2
?
?
;
?
2
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?<
br>cos
?
,cos
?
?
??
.
tan
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
P
T
OM
A
x
13、三角函数的诱导
公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,cos
?
2k
?
?<
br>?
?
?cos
?
,tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
.
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??
sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
??
?cos
?
,
tan
?
?
?
???tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
?
5
?
sin
??
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
?sin
?
. ?
2
??
2
?
?
?
6
?
si
n
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
??sin
?
.
?
2
??
2
?
?
口诀:正弦与余弦
互换,符号看象限.
14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的
横坐标伸长(缩
短)到原来的
1
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来
的
?
倍(横坐标不
变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
1
倍(纵坐标不变),
?
?
个单
?
位长度,得到函数
y?sin
?
?
x?
?<
br>?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所
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有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横
坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数y??sin
?
?
x?
?
??
??
0,
?
?0
?
的性质:
①
振幅:
?
;<
br>②
周期:
??
2
?
?
;
③
频率:<
br>f?
1
?
;
④
相位:
?
x?
?;
⑤
初相:
?
?2
?
?
.
函数y??sin
?
?
x?
?
?
??
,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x
2
时,取得
11?
?
y
max
?y
min
?
,
??
?
y
max
?y
min
?
,
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
.
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y?cosx
y?tanx
数
y?sinx
性
最大值为
y
max
,则
??
质
图
象
定
义
域
值
域
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
?
?1,1
?
?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时,
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
R
?
2
最
值
时,<
br>y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
2
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
既无最大值也无最小
值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
?
2
?
2
?
周
期
性
奇奇函数 偶函数 奇函数
偶
性
单
??
?
在
?
2k
??
?
,2k
?
?
?
k??
?
?????
2k
?
?,2k
?
?k
?
?,k
?
?
在 在
调
??
??
22
?
22
???
性 上是增函数;在
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在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k??
?
上是增函数;
?
k??
?
上是增函
数.
?
3
?
??
2k
?
?,2k
??
??
22
??
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心对称中心
?
?
?
对
?
k
?
,0
??
k??
?
k
?
?,0
?
?
k??
?
?
称
2
??
对称轴
性
?
对称轴x?k
?
?
k??
?
x?k
?
?
?
k??
?
2
对称
中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?
无对称轴
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不
等式:
r
r
r
r
r
r
a?b?a?b?a?b.
⑷运算性质:①交换律:
r
r
r
rr
rr
rr
rr
r
r
rr
a?b?b?a
;②结合律:
a
?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?a?a
.
????
rr
r
r
⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,
y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y<
br>1
?y
2
?
.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
C
r
a
r
b
?
r
r
r
r
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2,y
1
?y
2
?
.
uuur
设
?<
br>、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
??
?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2<
br>?
.
19、向量数乘运算:
r
r
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C
?
a?
?
a
;
r
rr
②当
?<
br>?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
r
r
r
r
r
?
?0
时,
?
a?0
.
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⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?<
br>a?
?
a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b
.
⑶坐标运算:设
a?
?
x,
y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
rrrrr
?
r
r
?
r
r
rr
rr
r
rr<
br>r
20、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有
唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
??
r
r
r
r
r
rr
r
bb?0
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,其中
b?0
,
则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、
b?
?
x
2
,y
2
?
,
??
共线.
uruur
21、平面向量基本定理
:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对
于这一平面
uruururuur
r
r
内的任意向量
a
,有
且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?<
br>1
e
1
?
?
2
e
2
.(不共线的向
量
e
1
、
e
2
作
为这一平面内所有向量的一组基底
)
22、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?<
br>x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,
y
2
?
,
uuuruuur
?
x?
?
x<
br>2
y
1
?
?
y
2
?
,
当<
br>?
1
??
?
??
2
时,点
?
的坐标
是
?
1
?
.
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
r
r
r
r
?
r
r
r
r
oo
?
.零向量与任一向量的数量积为
0
.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
a?b?ab
;⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?
0
.②当
a
与
b
同向时,
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
r
r
当
a
与
b
反向时,
a?b??ab<
br>;
a?a?a?a
或
a?a?a
.③
a?b?ab
.
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
rrr
r
r
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b;③
a?b?c?a?c?b?c
.
??????
r
r
r
r
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,
y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y<
br>2
.
若
a?
?
x,y
?
,则
a?
x?y
,或
a?
22
r
r
2
r
x
2
?y
2
.
r
r
r
r
设
a?<
br>?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?<
br>x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r<
br>?
.
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos?
?sin
?
sin
?
;
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
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sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos<
br>?
sin
?
;
⑷
sin
?
?
?<
br>?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
??
);
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2<
br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
(
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
).
⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,
其中
tan
?
?
?
?
.
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