人教版数学高中必修4知识点整理

高中数学必修4知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?

1、任意角
?负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、 角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限 ，则称
?
为第几象限角．
3、与角
?
终边相同的角的集合为
??
?k?360
o
?
?
,k??

4、已知< br>?
是第几象限角，确定
?
?
n??
*
?
所在 象限的方法：先把各象限均分
n
等份，再从
x
轴的正半轴的上方起，依次n
??
将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标号即 为
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
?
n
终边所落在的区域．
6、半径为
r
的圆的圆心角?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
??
l
．
r
?
180
?
o
7、弧度制 与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1?
，
1?
?
．
?57.3
?
180
?
?
?
o
o
?
o
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C，面积为
S
，则
l?r
?
，
C?2r?l
，< br>?
x,y
?
，它与原点的距离是
r
?
r?
1 1
S?lr?
?
r
2
．
22
9、设
?< br>是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
x2
?y
2
?0
，则
?
sin
?
?yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?< br>?
x?0
?
．
rrx
10、三角函数在各象限的符号：第一 象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
t an
?
???
．
y
P
T
OM
A
x
12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
?
sin
?< br>2
?
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,co s
?
?
??
．
tan
?
??
sin
?
?tan
?

cos
?
13、三角函数的诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”
诱导公式一：
sin(
?
?2k
?
)?sin
?< br>，
cos(
?
?2k
?
)?cos
?
，其中
k?Z

诱导公式二：
sin(180?
?
)?
诱导公式三：
o
?sin
?
；
cos(180
o
?
?
)??
cos
?

sin(?
?
)??sin
?
；
cos(?
?
)?cos
?

oo
诱导公式四：< br>sin(180?
?
)?sin
?
；
cos(180?
?
)??cos
?

诱导公式五：
sin(360?
?
)??sin
?
；
cos(360?
?
)?cos
?


Sin
－
?

－sin
?

oo
?
?
?

sin
?

?
?
?

－sin
?

2
?
?
?

－sin
?

2k
?
?
?
?
k?Z
?

sin
?

?
2
?
?

cos
?

Cos
cos
?

o
－cos
?
－cos
?

cos
?
cos
?
sin
?

（1）要化的角的形式为
k?180?
?
（
k
为常整数）；
（2）sin(kπ+α)=(－1)
k
sinα；cos(kπ+α)=(－1)< br>k
cosα(k∈Z)；
（3）
sin
?
x?
?< br>?
?
?
?
?
?
??
?
?????
?
?cos?x?cosx?cosx??sin?x
；
?????? ???
。
4
?
4444
????????
14、由y＝s inx的图象变换出y＝sin(
ω
x＋
?
)的图象一般有两个途径，只有区 别开这两个途径，才能灵活进行图象变
换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但 先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是
对字母x而言，即图象变换要看“变量” 起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sinx的图象向左(
?
＞0)或向右(
?
＜0＝平移｜
?
｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
0)，便得y＝sin(
ω
x＋?
)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的
便得y＝sin(
ω
x＋
?
)的 图象。
1
倍(
ω
＞
?
1|
?
|
倍(
ω
＞0)，再沿x轴向左(
?
＞0)或向右(
?
＜0＝ 平移个单位，
?
?
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象
定义域
值域
当
R

[-1,1]
R

[-1,1]
当
x?2k
?
?
?
?

?
xx?k
?
?,k??
?
2
??
R < br>x?2k
?
?
?
2
?
k??
?
时，
x?2k
?
?
?
k??
?
时，
y
max
?1
；
既无最大值也无最小值 最值
y
max
?1
；当
?

当
x?2k
?
?
?

?
k??
?
时，
2
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
y
min
??1
．
2
?

2
?
在
在

?

奇函数
在
?
k
?
?
?
,k
?< br>?
?
?

??
22
??
奇函数
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
??
上增；
?
22
?
??
在
?
2k< br>?
?
?
,2k
?
?
3
?
?
上减
?
22
?
??
对称中心
偶函数
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上增；
单调性
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k??
?
上减
?
2
?
?
k??
?
上是增函数．
对称中 心
?
k
?
,0
?
?
k??
?

??
?
k
?
,0
??
k??
?

?
2
对称中心
?
k
?
?
?
,0< br>?
k??

?
??
?
对称轴
x?k
?
对称性
对称轴
x?k
?
?
?
2
?
?
k??
?< br>
?
k??
?

无对称轴

函数y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
??0
?
的性质：
2
?
①振幅：
?
；②周期：
??
16、向量加法运算：
?
；③频率：
f?
1
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
?
?2
?
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
r
rr
r
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；②结
r
r
rrr
rr
r
r
rr
合律：
a?b?c?a?b?c；③
a?0?0?a?a
．
????
C

r
a

r
b

r
r
r
r
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
， 则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
17、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?

r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
, y
1
?y
2
?
．
uuur
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?< br>，
?
x
2
,y
2
?
，则
????
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?

ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C

rr
?
a?
?
a
rr
；
r
r< br>rrrr
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与< br>a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
．
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①
?
?< br>?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
??
⑶坐标运算：设
a?
r
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,< br>?
y
?
．
r
rr
r
r
rr
r
r
19、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且 仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．设
a??
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
??
r
r
r
rr
r
其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
??
uruur
r
20、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任意向量
a
，有且只有一
uruururuur
r
对实数< br>?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
uuuruu ur
21、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?< br>x
1
,y
1
?
，
?
x
2
, y
2
?
，当
?
1
??
?
??
2< br>时，点
?
的坐标是
?
?
x
1
?
?< br>x
2
y
1
?
?
y
2
?
,< br>?
．
1?
?
1?
?
??
22、平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r
oo
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与 任一向量的数量积为
0
．
??
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，

r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
a?b?? ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab．
r
r
rr
r
r
r
r
r
r r
r
rrr
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
??????
r
r
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1< br>,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1y
2
．
若
a?
r
?
x,y
?
，则
a
r
2
r
?x
2
?y
2
， 或
a?x
2
?y
2
．
r
r
r
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x< br>1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
r
r
r
r
r
a?b
r
r
r
设< br>a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2< br>?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
cos
?
?
r
r
?
ab
23、两角和与差的正弦、余弦和 正切公式：
⑴
cos
⑶
sin
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1x?y
2
2
2
2
．
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
si n
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin
?
??
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan< br>?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?< br>）；
1?tan
?
tan
?
tan
?
?t an
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
⑸
tan
⑹
tan
24、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
2
?2sin
?
cos
?
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

2tan
?
cos2
?
?11?cos2
?
2
，
sin
?< br>?
）．⑶
tan2
?
?

2
1?tan?
22
??cos
?
??
2
??
2
s in
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
．
?
（
cos
?
?
25、
?sin
?