焦耳的公式高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第2节排列与组合学案理北师大版

第二节 排列与组合
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解排列与组合的概念.2.理解 排列数公式、组合数公式.3.
能利用公式解决一些简单的实际问题．

(对应学生用书第170页)
[基础知识填充]
1．排列、组合的定义
排列的定义
组合的定义

从
n
个不同元素中取出
按照一定的顺
序排成一列
合成一组
m
(
m
≤
n
)个元素
2.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数

组合数 从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
) 个元素的
所有组合的个数
A
n
n
(
n
－1)(< br>n
－2)…(
n
－
m
＋1)
C＝
m
＝
A
m
m
！
m
n
m
定 从
n< br>个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
)个元
义
素的所有排列的个数

公
式

性
质

A
n
＝
n
(
n
－1)(n
－2)…(
n
－
m
＋1)＝
m
n
！

(
n
－
m
)！
A
n
＝
n
！，
0！＝1

n
C
n
＝C
n
，
C
n
＋C
n
＝C
n
＋1

[基本能力自测]
mm
－1
m
mn
－
m
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
(3)若组合式C
n
＝C
n
，则
x
＝
m
成立．( )
( 4)
k
C
n
＝
n
C
n
－1
.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)某高三毕业班有 40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全
班共写了毕业留言( )
A．1 560条B．780条 C．1 600条 D．800条
A[由题意，得毕业留言共A
40
＝1 560条．]
3．(2017·全 国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人
完成，则不同的安排方式共 有( )
A．12种 B．18种
2
xm
kk
－1
1 6
C．24种 D．36种
D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1 项工作，可得安排
4×3
122121
方式为C
3
·C
4< br>·A
2
＝36(种)，或列式为C
3
·C
4
·C2
＝3××2＝36(种)．
2
故选D．]
4．某市委从组织机关1 0名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而
丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85
C．49
B．56
D．28
12
C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C
7
C
2
种方法，
甲、乙两人只有1人入选，有C
2
C
7
种方法，
由分类加 法计数原理，共有C
2
C
7
＋C
2
C
7
＝ 49种选法．
法二(间接法)：从9人中选3人有C
9
种方法，
其中甲、乙均不入选有C
7
种方法，
所以满足条件的选排方法有C
9
－C
7
＝84－35＝49种．]
5．
A
，
B
，
C
，
D
，
E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边(
A
，
B
可以不相邻)，那么
不同的排法共有________种．
60[5 人的全排列，
B
站在
A
的右边与
A
站在
B
的右边各占一半，
1
5
所以满足条件的不同排法共A
5
＝60种．]
2

(对应学生用书第171页)

33
3
3
2112
12


排列问题
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
[解] (1)从7人中选5人排列，有A
7
＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
( 2)分两步完成，先选3人站前排，有A
7
种方法，余下4人站后排，有A
4
种方法，共
有A
7
·A
4
＝5 040(种)．
34
34
5
2 6
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有 5种方法，其余6人有A
6
种排列方法，共有
5×A
6
＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A
6
种排法，其他有
A
5
种排法，共有A
6
A
5
＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A
4
种方法，再将女生全
排列，有A
4
种方法，共有A
4
·A
4
＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A
4
种方法，再在女生 之间及首尾5个空位中任选3个空位
安排男生，有A
5
种方法，共有A
4·A
5
＝1 440(种)．
[规律方法] 求解排列应用问题的六种常用方法
直接法

优先法

捆绑法

把符合条件的排列数直接列式计算
优先安排特殊元素或特殊位置
相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意
捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素
插在前面元素排列的空当中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的
全排列
正难则反、等价转化的方法
343
4
444
4
5252
6
6
插空法

定序问题
除法处理

间接法


[跟踪训练] (1)在航天员进行的一项太空试验中，要先后实 施6个程序，其中程序
A
只能
出现在第一或最后一步，程序
B
和C
在实施时必须相邻，问试验顺序的编排方法共有
( )
A．34种
C．96种
B．48种
D．144种
(2)(2017·北京西城区质 检)把5件不同产品摆成一排，若产品
A
与产品
B
相邻，且
产品A
与产品
C
不相邻，则不同的摆法有________种．
(1)C(2)36 [(1)程序
A
的顺序有A
2
＝2种结果，将 程序
B
和
C
看作一个元素与除
A
外的元素排列有A
2
A
4
＝48种结果，
由分步乘法计数原理，试验编排共有2×48＝96种方法．
(2)记其余两种产品为
D
，
E
，
A
，
B
相邻视为一个元素，先与
D
，
E
排列，有A
2
A
3
种方
法．再将
C
插入，仅有3个空位可选，共有A
2
A
3
C
3< br>＝2×6×3＝36种不同的摆法．]

231
23
24
1


3 6
组合问题
某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长 ．现
从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选．
[解] (1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C
5
·C
8
＝
350种．
(2)两队长当选，共有C
2
·C
11
＝165种．
(3 )至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有
C
2
· C
11
＋C
2
·C
11
＝825种．(或采用排除法：C< br>13
－C
11
＝825(种))．
(4)至多有两名女生当选含有三 类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生
当选．故选法共有C
5
·C
8
＋C
5
·C
8
＋C
8
＝966种．
[规律方法] 组合问题的常见类型与处理方法
1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ：“含”，则先将这些元素取出，再由另
外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素 中选取.
2“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求
解.
[跟踪训练] (1)(2018·银川质检)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一< br>考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化
学、生物三 科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共
有( )
【导学号：79140342】
A．6
C．18
B．12
D．24
23145
142355
23
14
(2)若从1 ,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的
取法共有( )
A．60种
C．65种
B．63种
D．66种
(1)C(2 )D[(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物
理、化学、生物三科中 任选一科有C
3
种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、
地理三科中任选二科有C
3
种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C
3
C
3
种 不同
的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C
3
种
不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C
3
种不同的选法， 根
4 6
1
2
212
1
据分步乘法计数原理，共有C< br>3
C
3
种不同的选法．根据分类加法计数原理，考生共有
C
3
C
3
＋C
3
C
3
＝18种不同的选考方法，故选C ．
法二：依题意，考生共有C
6
－2C
3
＝18种不同的选考方法 ，故选C．
(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，
所以不同的取法共有C
5
＋C
4< br>＋C
5
C
4
＝66种．]

4422
33
1221
21


排列与组合的综合应用
(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个 偶数，组成没有重复数字的四
位数的个数为( )
A．300
C．180
B．216
D．162
(2)(2017·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分 别保送到北京大学，上海交通大学，
浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法 有( )
A．240种
C．150种
B．180种
D．540种
(1)C(2)C[(1)分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶
数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C
3
C
2
A
4
＝72个
没有重复数字的四位数；第2类，取0，此时2和4只能取一个 ，再取两个奇数，
组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C
2
C
3
(A
4
－A
3
)＝108
个没有重复数字的四 位数．
根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)．
(2)5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．
1
223
当5名 学生分成2,2,1时，共有C
5
C
3
A
3
＝90种方法； 当5名学生分成3,1,1时，共
2
有C
5
A
3
＝60种方 法．
由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．]
[规律方法] 1.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列.
当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为 标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，
但需确定一个总数.
2.1不同元素的分配问题 ，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀
分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注 意各种分组类型中，不同分组方法的求法.
2对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.
5 6
33
1243
224
[跟踪训练] (1)(东北三省四市模拟(一))哈市 某公司有五个不同部门，现有4名在校大学
生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安 排两名，则不同的安排方
案种数为( )
【导学号：79140343】
A．40
C．120
B．60
D．240
(2)(2017 ·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队
员2人组成4人服务队，要求 服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选
法．(用数字作答)
(1)B(2)660 [从五个不同部门选取两个部门有C
5
种选法，将4名大学生 分别安排在
这两个部门有C
4
C
2
种方法，所以不同的安排方案有C
5
C
4
C
2
＝60种，故选B．
(2)法一：只 有1名女生时，先选1名女生，有C
2
种方法；再选3名男生，有C
6
种方< br>法；然后排队长、副队长位置，有A
4
种方法．由分步乘法计数原理，知共有C
2
C
6
A
4
＝
480(种)选法．
有2名女生时 ，再选2名男生，有C
6
种方法；然后排队长、副队长位置，有A
4
种方法．由分步乘法计数原理，知共有C
6
A
4
＝180(种)选法．所以依 据分类加法计数原
理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．
法二：不考虑限制条件，共有A
8
C
6
种不同的选法，
而没有女生的选法有A
6
C
4
种，
故至少有1名女生的选 法有A
8
C
6
－A
6
C
4
＝840－18 0＝660(种)．]
2222
22
22
22
22
213 2
13
22222
2
6 6