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新人教版高中数学必修4知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 14:01
tags:高中数学必修4

高中数学有关书籍-高中数学复合函数概念


高中数学必修4知识点总结

第一章:三角函数

1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合:
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、
?
?
?
??
?
?
?2k
?
,k?Z
?
.
l
.
r
3、弧长公式:
l?
n
?
R?
?
R
.
180
n
?
R
2
1
?lR
. 4、扇形面积公式:
S?
3602

1.2.1、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P
?
x ,y
?
,那么:
sin
?
?y,cos
?
?x,t an
?
?
2、 设点
A
?
x,y

si n
?
?
(设
r?
?
为角
?
终边上任意一点 ,那么:
y

x
x
2
?y
2

x
yxy

cos
?
?

tan
?
?

cot
?
?

y
rrx
y
P
T
3、
sin
?

cos
?

tan
?
在四个象限的符号和三角函数线的 画法.
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT
4、 特殊角0°,30°,45°,60°,
90°,180°,270等的三角函数值.
0
?

?
6
O
M
A
x
?

4
?
3

?
2

2
?
3
3
?
4
?

3
?
2
2
?


sin
?

cos
?

tan
?



































1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系:
sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
2、 商数关系:
tan
?
?
sin
?
.
cos
?


3、 倒数关系:
tan
?
cot
?
?1

§1.3、三角函数的诱导公式
(概括为
“奇变偶不变,符号看象限”
k?Z

sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
,
1、 诱导公式一:
cos
?
?
?2k
?
?
?cos< br>?
,
(其中:
k?Z

tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.
sin
?
?< br>?
?
?
??sin
?
,
2、 诱导公式二: cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,< br>
tan
?
?
?
?
?
?tan
?< br>.
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
3、诱导公式三:
cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
4、诱导公式四:
cos
?
?
?
?
?
??c os
?
,

tan
?
?
?
?
?< br>??tan
?
.
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
??
?
cos
?
?
?
?
?sin
?.
?
2
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
??
?
cos
?
?
?
?
??sin
?< br>.
?
2
?
5、诱导公式五:
6、诱导公式六:

1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象:

y
y=sinx

?
3
?
-5
?
-
1

2
2
2
o
?
?-2
?
-3
?
-
?< br>2
?
5
?3
?

-4
?
-7
?
-3
?
-1
22
2
2

y

y=cosx
?
3
?
-5
?

1
-
-
?
2
3
?-3
?
2
?
2
-7
?
o
?
-2
?
-3
?
2
?5
?
-4
?
-1
2

2
2< br>2
7
?
2
4
?
x
7
?
2< br>4
?
x
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期性.
3、会用五点法作图.



0,0)(,,1)(,
?
,0)(,
y?sin x

x?[0,2
?
]
上的五个关键点为:

?< br>2
3
?
,-1)(,2
?
,0).

2
1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象:
yy=tanx
-
3
?
2
-
?
-
?2
o
?
2
?
3
?
2
x

2、记住余切函数的图象:
y
y=cotx
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
2
?
x
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性 、周期性.

周期函数定义:对于函数
f
?
x
?
,如果存在一个非零常数T,使得当
x
取定义域内的每一个值时,都有
f
?< br>x?T
?
?f
?
x
?
,那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.


图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx


图象

定义域
值域
x?2k
?
?

R

[-1,1]
?
2
R

[-1,1]

{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

R




,k?Z时,y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时,y
mi n
??1
x?2k
?
,k?Z时,y
max
?1
x ?2k
?
?
?
,k?Z时,y
min
??1

周期性
奇偶性
2
T?2
?


在< br>[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]上单调递增
2
T?2
?



[2k?
?
?
,2k
?
]
上单调递增
T?
?



(k
?
?
?,k
?
?
?
)
上单调递增
22
单调性
k?Z


[2k
?
?
?
,2k
?
?
3
?
]
上单调递减

[2k
?,2k
?
?
?
]
上单调递减
22
对称性
对称轴方程:
x?k
?
?
?
2

对称轴方程:
x?k
?

对称中心
(k
?
?
无对称轴
对称中心
(
k?Z

对称中心
(k
?
,0)


?
2
,0)

k
?
2
,0)
< br>1.5、函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的 图象
1、对于函数:
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
?
A?0,
?
?0
?
有:振幅A,周期T?
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
2
?
?
,初相
?
,相位
?
x?
?
,频率
f?1
T
?
2
?
?
.
y?Asin
?< br>?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩:
y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

y?Asin
?
x?
?
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

(左加右减)

横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变


横坐标变为原来的
|
平移
|B|
个单位

(上加下减)
1
?
|

y?Asin
?
?
x?
?
?
?B


② 先伸缩后平移:
y?sinx

横坐标不变
y?Asinx

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
?
?
y?Asin
?x

1
?
|

个单位

y?Asin
?
?
x?
?
?

(左加右减)
平移
|B|
个单位

(上加下减)
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心
函数
y?sin(
?
x?
?
)
,x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
,x∈R(A,
?
,
?
为常数,且A≠0)的周期
T?
函数
y?tan(
?
x?
?
)

x?k< br>?
?
2
?

|
?
|
?
2< br>,k?Z
(A,ω,
?
为常数,且A≠0)的周期
T?
?.
|
?
|
对于
y?Asin(
?
x?
?
)

y?Acos(
?
x?
?
)
来说 ,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图像的对称轴与对称中心,只需令
?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)

?
x??
?k
?
(k?Z)

解出
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征:
A?
?
要根据周 期来求,
?
要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值:
?

sin
?

cos
?

tan
?

?
12
y
max
?y
min
y?y
min

B?
max
.
22

6?2
4

6?2
4

2?3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?


2、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?

3、
cos
?
?
?< br>?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

4、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

tan
?
?tan
?
5、
tan
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
tan
?
.
tan
?
?tan
?
6、
tan
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
tan
?
.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?

变形:
sin
?
cos
?
?
1
.
2
sin2
?
2、
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
.
变形如下:
2
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
升幂公式:
?

2
?
?
1?cos2
?
? 2sin
?
?
cos
2
?
?
1
(1?co s2
?
)
?
2
降幂公式:
?

2
?
sin
?
?
1
(1?cos2
?
)
?2
3、
tan2
?
?
2tan
?
.
21?tan
?
4、
tan
?
?
sin2
?1?cos2
?
?

1?cos2
?
sin2
?
§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
y?asinx?bcosx? a
2
?b
2
sin(x?
?
)

(其中 辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?< br>?
第二章:平面向量
2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
b
).
a


uuur
2、 向量
AB
的大小,也就是向量AB
的长度(或称模),记作
AB
;长度为零的向量叫做零向量;长度
等 于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行.
2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.






2、
a?b

a?b
.
2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.






2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定:实数
?
与向量
a
的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作:
?
a
,它的长度和方 向规定
如下:

?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a< br>的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理:向量
aa?0

b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理:如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量
a

有且只有一对实数
?
1
,
?
2
,使
a?< br>?
1
e
1
?
?
2
e
2
.
??


2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设
a?
?
x
1< br>,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2?
,则:

a?b?
?
x
1
?x< br>2
,y
1
?y
2
?


a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2?


?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?


ab?x
1
y< br>2
?x
2
y
1
.
2、 设
A
?< br>x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则:

AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设
A
?
x
1< br>,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
,则
?
⑵△ABC的重心坐标为
?
⑴线段AB中点坐标为
x
1
? x
2
2
y
2

,
y
1
?
2
?
x
1
?x
2
?x
3
3
,< br>y
1
?y
3
2
?y
3
.
?
2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
a?b?abcos
?
.
2、
a

b
方向上的投影为:
acos
?
.
3、
a?a
.
4、
a?
2
2
a
.
2
5、
a?b?a?b?0
.
2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
,则:

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2


a?x
1
2
?y
1
2

rrr r

a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

rrrr

ab?a?
?
b ?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0


2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则:
AB?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?< br>y
2
?y
1
?
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
.
3、 两向量的夹角公式
rr
a?b

cos
?
?
rr
?
ab
4、点的平移公式
x?y?x
2
?y
2
2
1
2
1
22
uuur
平移前的点为
P(x,y)
(原坐标),平移后的对应 点为
P
?
(x
?
,y
?
)
(新坐标),平 移向量为
PP
?
?(h,k)

?
x
?
?x?h

?

?
?
y?y?k.
r
函数
y?f(x)
的图 像按向量
a?(h,k)
平移后的图像的解析式为
y?k?f(x?h).

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