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高中数学必修4知识点

第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角: 按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、 象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落
在第几象限，就 是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何
象限，叫做轴线角。
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
??k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?< br>k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180 ?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

oooo
ooo
oooo
oooo
o
oo
o
3、与角
?
终边相同的角，连同角
?
在内，都可以表示为集合{
?
|
?
?
?
?k?360,k?Z
}
4、弧度制：
（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为< br>r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
（2）度数与弧度数的换算：
360
?2
?
，
180?
?
rad，1 rad
?(
o?
?
l
．
r
180
?)
?
?57.30
?
?57
?
18
'

注：角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为
n
，弧度为
?
；
o
- 1 -

①角度化为弧度：
n
o
?n
o
?
?
180
o
?
n
?
o
180
o
?
180
?
?
?
?< br>180
，②弧度化为角度：
?
?
?
?
?
< br>??
??
（3）若扇形的圆心角为
?
（
?
是角的弧度 数），半径为
r
，则：
弧长公式： ?
l?
n
?
（用度表示的）,
?
l?|
?
|r（用弧度表示的）
；
180
n
?
r
2
11
(用度表示的)
?
S
扇
?|
?
|r
2
?lr
（用弧度表示的 ）
扇形面积：?
s
扇
?
360
22

5、三角函数:
（1）定义①：设
?
是一个任意大小的角，
?的终边上任意一点
?
的坐标
P(x,y)

是
?x,y
?
，它与原点的距离是
rOP?r?
则
sin
?
?

y

?
x
2
?y
2
?0
，
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?< br>x?0
?

rrx
o

y
x

定义②：设
α
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P
(x,y)， 那么v叫做
α
的正弦，记作sin
α
,即sin
α
?< br>y;u叫做
α
的余
弦，记作cos
α
，即cos
α
=x; 当
α
的终边不在y轴上时，

P(x,y)

o
x
yy
叫做
α
的正切，记作tan
α
, 即tan
α
=
.
xx
（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S正，T正，C正。

y
y
y

_
_
+
+
+
+
_
O
_
x
_
O
x
O
+
+
_
x



口诀：第一象限全为正；
sin
?

cos
?

tan
?

二正三切四余弦.
（3）特殊角的三角函数值
?
的角度
0?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

2
?

3
3
?

4
5
?

6
?
的弧度
0

?

6
?

4
?

3
- 2 -
?

2
?

sin
?

cos
?

0

1

2
3

2
3

3
2

2
2

2
3

2
1

0

3

2
2

2
1

2
0

1

0

1

2
?
1

?
2

?
3

2
22
?1

0

tan
?

1

3

不存在
?3

?1

?
3

3
?
的角度
210?

225?

240?

270?

300?

315?

330?

360?

?
的弧度
sin
?

7
?

6
5
?

4
4
?

3
3
?

2
5
?

3
?
7
?

4
11
?

6
2
?

0

1
3
2
?

?

?

2
2
2
?
?1

1
3
2

?
?

2
2
2
cos
?

1
3
2

?

?

2
2
2
3

3
0

1

2
2

2
3

2
?
3

3
1

0

tan
?


1

3

不存在
?3

?1

（4）三角函数线：如下图

（5）同角三角函数基本关系式
（１） 平方关系：
sin
?
?
cos
?
?
1
（２）商数关系：
tan
?
?
22
sin
?

cos
?
6、三角函数的诱导公式：
?
1
?
si n
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?t an
?
?
k??
?
．
口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．
?
2
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
??
?
?
?cos
?
，
tan
?
??
?
??tan
?
．
- 3 -

?
3
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
???tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
5
?
sin
?
2
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
2
?
?
?
?
?c os
?
，
tan
?
2
?
?
?
?< br>??tan
?
．
口诀：函数名称不变，正负看象限．
?
6
?
sin
?
?
??
?
??
?
?< br>?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?< br>?
?
?
sin
?
，
tan
?
??
?
?
cot
?
．
?
2
??
2
??
2
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??
sin
?
，
tan
?
?
?
?
??
cot
?
．
?
2
??
2
??
2
?
?
?
7
?
sin
??
?
口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．
?
诱导公式记忆口诀：“奇 变偶不变，符号看象限”。
即将括号里面的角拆成
?
?k?
2
??
的形式。








7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图

象

定

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
- 4 -

义
域
值域：
?
?1,1
?

当
x?
2
k
?
?
值域：
?
?1,1
?

值域：
R

值



域
?
2
?
k??
?
时，
?
2


当
x?2k
?
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
y
max
?1
；当
x?2k
?
?< br>?

?
k??
?
时，
y
min
??1
． 周期为
y?sinx
是周期函数；
?
k??
?
时，y
min
??1
．
y?cosx
是周期函数；周期




周
y?tanx
是周期函数；
周
期
T?2k
?
,k?Z
且
k?0
；
为
T?2k
?
,k?Z
且
k?0
； 期为
T?k
?
,k?Z
且
最小正周期为
2
?
性 最小正周期为
2
?

奇
偶
性
在
?
2
k
?
?
单
调
奇函数
k?0
；最小正周期为
?

偶函数 奇函数
?
?
?
2
,2
k
?
?
?
?
2
?
?

在
?
2k
?
?
?
,2k< br>?
?
?
k??
?
上
是增函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

在
?< br>k
?
?
?
k??
?
上是增函数；在
??
?
2
,
k
?
?
?
?
?
2
?
?
3
?
??
2k
?
? ,2k
?
?

?
性
?
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对
称
对称轴
x?k
?
?
性
对称中心对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称中心
?
2
?
k??
?

?
? ?
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
无对称轴
8、（1）
y??sin< br>?
?
x?
?
?
?b
的图象与
y?sinx< br>图像的关系：
图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍


- 5 -

①振幅变换：
y?sinx

y?Asinx


图象上每个点的横坐标变为原来的
1
?
倍，纵坐标不变
②周期变换：
y?sinx

y?sin
?
x


图象整体向左（
?
? 0
）或向右（
?
?0
）平移
?
个单位
③相位变换：
y?sinx

y?sin(x?
?
)


图象整体向上（
b?0
）或向下（
b?0
）
平移
④平移变换：
y?Asin(
?
x?
?
)

y??sin
?
?
x?
?
?
?b


b
个单位
注：函数
y?sinx
的图象怎样变换得到函 数
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象 ：（两种方法）
① 先平移后伸缩：
y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

（左加右减）

纵坐标不变

y?sin(
?
x?
?
)

横坐标变为原来的
|
1
?
|
倍

横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
平移
|B|
个单位

（上加下减）
y?Asin
?
?
x?
?
?

y?Asin
?
?
x?
?
?
?B


② 先伸缩后平移：
y?sinx



纵坐标不变
y?sin
?
x

横坐标变为原来的< br>|
平移
?
?
1
?
|
倍
个单位

y?sin(
?
x?
?
)

y?Asin
?
?
x?
?
?

（左加右减）

横坐标不变
纵坐标变为原来的A倍
平移
|B|
个单位

y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

- 6 -

（上加下减）
（2）函数
y?As in(
?
x?
?
)?b
①振幅：
?
；②周期：??
定义域：
R

值域：
?
?A?b,A?b
?

当
?
x?
?
?
2
k
?
?
当
?
x?
?
?
2
k
?
?
(A?0,
?
?0)
的性质：
；③频率：
f?
2
?
?
1
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
?
?2
?
?
2
?
k??
?
时，
y
m ax
?A?b
；
?
k??
?
时，
y
min
??A?b
．
(A?0,
?
?0)
是周期函数；周期为
T?
?
2
周期性：函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b
单调 性：
?
x?
?
在
?
2
k
?
?2
?
?

?
?
?
2
,2
k
?
?
?
?
?
k??
?
上时是增函数； < br>?
2
?
?
x?
?
在
?
2k
?
?
对称性：对称中心为
?
?
?
?
2
,2 k
?
?
3
?
?
?
k??
?
上时是 减函数．
2
?
?
?
?
k
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?
；对称轴为
?
x?
?
?k
?
?
?
k??
?

2
?
?
?

第二章 平面向量
1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．
2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作
0
；零向量的方向是任意的．
e??
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量
a
平行的单位 向量：
a
|a|
．
4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 叫平行向量也叫共线向量，记作
ab
；
规定
0
与任何向量平行．
5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
注意：
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
- 7 -

6、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点：
起点相同
⑶运算性质：
C

r
a

r
rr
r
①交换律：
a?b?b?a
；
r
r
r
rr
rr
r
r
rr
②结合律：
a? b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
．
????
r
b

?

?

ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C

⑷坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?r
r
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
r
r
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
7、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
r
r
⑵坐标运 算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b ?
?
x
2
,y
2
?
，则
r
r< br>a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2< br>,y
2
?
，则
uuur
???
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
．
8、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的 运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
r
r
?
a?
?
a
；
r
r
rr
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与< br>a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；
r
r
r
r
当
?
?0
时，
?
a?0
．
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?a?
?
b
．
??
- 8 -

⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?< br>?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
r
r
r
r
r
rr
r< br>9、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??
r
r< br>r
r
r
rr
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y< br>2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、bb?0
??
共线．
uruur
10、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
uruur
uruur
r
r
的任意向量
a
，有且只 有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量< br>e
1
、
e
2
作为
这一平面内所有向量的一组基底）
11、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y< br>2
?
，
uuuruuur
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是< br>?
1
?
．
1?
?
1?
?
??
12、平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r
oo
⑴定义：< br>a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零 向量与任一向量的数量积为
0
．
??
r
r
r
r< br>r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；
r
r
r< br>r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
r
r
当
a
与
b
反向时，
a?b?? ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab．
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
????
??< br>r
r
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2< br>,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?
22
r
r
2r
x
2
?y
2
．
r
r
r
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x< br>1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r
?
．
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
第三章 三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
- 9 -

（１）平 方关系：
sin
?
?
cos
?
?
1
（２）商数关系：
tan
?
?
22
sin
?

cos
?
（３）倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

tan
2
?
1
2

sin
?
?
；
cos
?
?
2< br>2
1?tan
?
1?tan
?
2
注意：
sin
?
,cos
?
,tan
?
按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

S
(
?
?
?
)
：
sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：< br>cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
??sin
?
sin
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?< br>?
?
)?
T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan< br>?

1?tan
?
tan
?
ta n
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
正切和公式：
tan
?
?tan
?
?tan(
?< br>?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)
3、辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
??
??
ab
?
sinx?cosx
?

222 2
a?b
?
a?b
?
?a
2
?b
2
(sinx?cos
?
?cosx?sin
?
)?a
2
? b
2
?sin(x?
?
)

（其中
?
称为 辅助角，
?
的终边过点
(a,b)
，
tan
?
?< br>4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?

b
）
a
C
2
?
：
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1

T
2
?
：
tan2
?
?
2tan
?

1?tan
2
?
2|sin
?
|
，
1?cos2
?
?2|cos
?
|
； *二倍角公式的常用变形：①、
1?cos2
?
?
- 10 -

②、
1
?
1
cos2
?
?|sin
?
|
，
1
?
1
cos2
?
?|cos
?
|

22
22
4 422
sin
2
2
?
③
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?
?1?
；
2
cos
4
?
?sin
4
?
?cos2
?
；
*降次公式：
sin
?
cos
?
?
1
1?cos2
?
11
sin2
?

sin
2
?
???cos2
?
?

2222
1?cos2
?
11
cos
2
?
??c os2
?
?

222
5、*半角的正弦、余弦和正切公式：
sin
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos?
；
cos??
，
222
sin
?
1?cos
?
1?cos
?
??

si n
?
1?cos
?
1?cos
?
tan
?
2
??
6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）
22
①
sin
?
?1?cos
?
；
sin
?
??1?cos
2
?
；
cos
2
?
?1?sin
2
?
；
cos
?
??1?sin
2
?
；
cos
2
?
?sin
2
?
2
?
②
tan
?
?cot
?
?
，
sin
?
cos
?sin2
?
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
cot
?
?tan
?
???2cot2
?

sin
?
cos
?
sin2
?
③
(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin?
cos
?
?1?sin2
?
；
1?sin2
?
?|sin
?
?cos
?
|

7、补充公式：
?
①万能公式
2tan
sin
?
?
1?tan
?
②积化和差公式
?
2
2
1?tan
2
；
cos
?
?
?
?
2
；
tan
?
?
2
2tan
1?tan
?
2
2
?< br>2
1?tan
2
?
2

- 11 -

1
[sin(
?
?
?
)?sin (
?
?
?
)]

2
1

co s
?
sin
?
?
[sin(
?
?
?
)
?
sin(
?
?
?
)]

2
1

cos
?
cos
?
?
[cos(
?
?
?
)
?
cos(
?
??
)]

2
1

sin
?
sin
?
??
[cos(
?
?
?
)
?
c os(
?
?
?
)]

2

sin
?
cos
?
?
?
③和差化积公式

sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?< br>2222
?
?
??
?
?
?
?
??< br>?
?

cos
?
?cos
?
?2cos
；
cos
?
?cos
?
??2sin

cossin
2222

注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式
cos
?
?
?
；
sin
?
?sin?
?2cos
?
?
?
sin
?
?
?< br>
- 12 -