高一数学必修4《向量》教案

2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位
向量、平行 向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课 ，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念
来学习向量的概念，结合图形实物区 分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教学思路： （一）
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上
都是有方向、有长短的量.
C
A
B
D
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
a
A(起点)

B
（终点）

③用有向 线段的起点与终点字母：
AB
；④向量
AB
的大小―长度称为向量的模，记作 |
AB
|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向 相同，这两个向量就是相同
的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同 ，尽管大小和方向相同，也是不同的有
向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合 ①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量
ａ
、
ｂ
、
ｃ
平 行，记作
ａ
∥
ｂ
∥
ｃ
.
（四）理解和巩固：
例1 书本75页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
课堂练习：
书本77页练习1、2、3题
三、小结 ：
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示；
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
四、课后作业：
《学案》P49面的学法引导，及P44面的单元检测卷。

2.1.3 相等向量与共线向量
教学目标：
4. 掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
5. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
6. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学思路：
一、情景设置：
(一)、复习
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
(二)、新课学习
1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？
2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？
三、探究学习
1、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量< br>ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ
＝
ｂ
；（2）零向量与 零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
．．．．．．．．．．
2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
．．．．．．．．．．．

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线 的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
四、理解和巩固：
例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量< br>OA
、
OB
、
OC
相等的向量.
变式一：与向量
OA
长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（
CB,DO,FE
）
例2判断：
（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（ ） A.
ａ
与
ｂ
共线，
ｂ
与
ｃ
共线，则< br>ａ
与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个
相 等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个
顶点，所 以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；
对于C，其条 件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，
即ａ与ｂ至少有一个 是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，
所以有ａ与ｂ都是非零向 量，所以应选C.
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量
AB
与
CD
是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
AB
＝
DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. < /p>

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB
、
AC
在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图
AC
与
BC
共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本77页练习4题
三、小结 ：
2、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
四、课后作业：
《习案》作业十八。

2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题
的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，
并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学思路：
一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等 .因此，我们研究的向
量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下， 移到任何位
置
2、 情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（4）船速为
AB
，水速为< br>BC
，则两速度和：
AB?BC?AC



A B C
C
C
C A B
二、探索研究：
A B
A B
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点
A
，作
AB
＝a，
BC
＝ｂ，则向量
AC
叫做a 与ｂ
的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ
?AB?BC?AC
， 规定： a + 0-= 0 + a



ｂ

A
a
ａ
a
ｂ
B
探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量
a
与
b
不共线时， |
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|；什么时候|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|，什么时候|
a
+
b
|=|
a
|
－|
b
|，
当向量
a与
b
不共线时，
a
+
b
的方向不同向，且|
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|；
当
a
与
b
同向时，则
a
+
b
、
a
、
b
同向，且|
a
+
b
|=|
a
|+|b
|，
当
a
与
b
反向时，若|
a
| >|
b
|，则
a
+
b
的方向与
a
相同，且 |
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|；
若|
a
|<|
b
|，则
a
+
b
的方向与
b
相同，且|
a
+b|=|
b
|-|
a
| .
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向< br>量连加
３．例一、已知向量
a
、
b
，求作向量
a< br>+
b

b
a
O
b
a
a
A
b
B
a
C
b
a+b
a
b
a+b

作法：在平面内取一点，作
OA?a

AB?b
，则
OB?a?b
.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

５．你能证明：向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
) 吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来
进行.
三、应用举例：
例二（P83—84）略
变式1、一艘船从A点出发以
23kmh
的速度向 垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的
大小为
4kmh
，求水流的速度. 变式2、一艘船从A点出发以
v
1
的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流 速为
v
2
，船的
实际航行的速度的大小为
4kmh
，方向与 水流间的夹角是
60?
，求
v
1
和
v
2
.
练习：P84面1、2、3、4题
四、小结
1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|
a
+
b
| ≤ |
a
| + |
b
|，当且仅当方向相同时
取等号.
五、课后作业：《习案》作业十八。
六、备用习题 思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？


2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证
思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.

教学难点：减法运算时方向的确定.
教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中，
CB?BA?AD?
. 解：
CB?BA?AD?CA?AD?CD

二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 ?a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = ?b， b = ?a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a ? b
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作
OA
= a，
AB
= b 则
BA
= a ? b
b
a
b
a?b
O
a
B
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1?
AB
表示a ? b. 强调：差向量“箭头”指向被减数
2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)






4． 探究：
１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b ? a.
２）若a∥b
，
如何作出a ? b

？


a
b
a
b
O
a
?
b
A
?
b
B
B
a
?
b
O B
A
B’
O
a
?
b
A
B
b
B
b
a
O
B’
?
b
a
B
b
A
a+ (?b)
a
?
b
O
A

三、 例题：
例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、c?d.
解：在平面上取一点O，作
OA
= a，
OB
= b，
OC
= c，
OD
= d，
作
BA
，
DC
， 则
BA
= a?b，
DC
= c?d




a
b
d
c
O
C
A B
A B
D
D C
例二、平行四边形
ABCD
中，
AB?
a，
AD?
b， 用a、b表示向量
AC
、
DB
.
解：由平行四边形法则得：
AC
= a + b
，

DB
=
AB?AD
= a?b
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与a?b可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）

例 3. 如图， 已知一点O到平行四边形ABCD

的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，

试用向量a、b、c表示OD.
练习：1。Ｐ87面1、2题
2．在△ABC中，
BC
=a，
CA
=b，则
AB
等于( B )
A.a+b B.-a+(-b) C.a-b
四：小结：向量减法的定义、作图法|
五：作业：《习案》作业十九

2．3．3平面向量的坐标运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
D.b-a

（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平 面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一
向量
a
，有且只有一对实数λ1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+ λ
2
e
2

(1)我们把不共线向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量
ａ
在给出基 底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a< br>，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标运算
思考1：已知：
a?
(
x
1
,
y
1
)
，
b?(x
2,y
2
)
，你能得出
a?b
、
a?b
、
?
a
的坐标吗？
设基底为
i
、
j
，则
a?b
?
(
x
1
i?y
1
j
)
?
(
x
2
i?y
2
j
)
?(x
1< br>?x
2
)i?(y
1
?y
2
)j

即
a?b
?
(
x
1
?x
2
,
y< br>1
?y
2
)
，同理可得
a?b
?(x
1?x
2
,y
1
?y
2
)

（1） 若
a?
(
x
1
,
y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
??
?< br>?
?
?
?
?

（2）若
a?(x,y)
和实数
?
，则
?
a?(
?
x,
?
y)
.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为< br>i
、
j
，则
?
a
?
?
(xi?yj )?
?
xi?
?
yj
，即
?
a?(
?x,
?
y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
?
思考2：已知
A< br>(
x
1
,
y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，怎样求
AB
的坐标？
（3） 若< br>A
(
x
1
,
y
1
)
，
B( x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

AB
=
OB
?
OA
=( x
2，
y
2
) ? (x
1
，y
1
)= (x
2
? x
1
， y
2
? y
1
)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
思考3：你能标出坐标为(x
2
? x
1
， y
2
? y
1
)的P点吗？
向量
AB
的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
三、讲解范例：
例1 已知
a
=(2，1)，
b
=(- 3，4)，求
a
+
b
，
a
-
b
，3
a
+4
b
的坐标.
例2 已知平面上三点的坐标分别为A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点
构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由
AB?DC
得D
1
=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D
2
=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D
3
=(?6， 0)
例3已知三个力
F
1
(3， 4)，
F
2
(2， ?5)，
F
3
(x， y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
，求
F
3
的坐标.
解：由题设
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
得：(3， 4)+ (2， ?5)+(x， y)=(0， 0)
?
3?2?x?0
?
x??5
即：
?
∴
?
∴
F
3
(?5，1)
4?5?y?0y?1
??

四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且
MP?
1
MN
， 求P点的坐标
2
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则
AB
?2
BC
= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结：平面向量的坐标运算；
六、课后作业：《习案》作业二十


平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
（2）理解平面里的任何一个 向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际
问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作：λ
a

（1）|λ
a
|=|λ||
a
|；
??
??

（2）λ>0时λ
a
与
a
方向相同；λ<0时λ
a
与
a
方向相反；λ=0时λ
a
=
0

2．运算定律
?????
?
??????
?
?
结 合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
；分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
， λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

??
??
3. 向量共线定理 向量
b
与非零向量
a共线则：有且只有一个非零实数λ，使
b
=λ
a
.
二、讲解新课：
1．思考：（1）给定平面内两个向量
e
1
，e
2
，请你作出向量3
e
1
+2
e
2
，
e
1
-2
e
2
，
（2）同一平面内的任一向量 是否都可以用形如λ
1
e
1
+λ
2
e
2
的 向量表示？
平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量
a
，有且只有一对实 数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1< br>+λ
2
e
2
.
2．探究：
(1) 我们把不共线 向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量
a
在给 出基底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
3．讲解范例：
例1 已知向量
e
1
，
e
2
求作向量?2.5
e
1
+3
e
2

例2

??
?
P
O
B
A
如图， OA、 OB 不共线,且
AP?t AB (t?R), 用 OA，OB 表示 OP .

本题实质是
已知O、A、B三点不共线，
若点 P 在直线 AB 上，则 OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.

4．练习1：
1.设
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个向量，则有( D )
A.
e
1
、
e
2
一定平行
B
.
e
1
、
e
2
的模相等 C.同一平面内的任一向量
a
都有
a
＝λ
e
1
+μ
e
2
(λ、μ∈R)
D. 若
e
1
、
e
2
不共线，则同一平面内的任一向量
a
都有
a
=λ
e
1
+
ue
2
(λ 、
u
∈R)
2.已知向量
a
＝
e
1
-2
e
2
，
b
＝2
e1
+
e
2
，其中
e
1
、
e
2
不共线，则
a
+
b
与
c
＝6
e
1
-2
e
2
的关系（Ｂ ）
A.不共线
B
.共线 C.相等 D.无法确定
３.已知λ
1
＞0，λ
2
＞0，
e
1
、
e
2
是一组基底，且
a
＝λ
1
e< br>1
+λ
2
e
2
，则
a
与
e
1
不共线，
a
与
e
2
不共线．
(填共线或不共线).
?
?
?
?
?
?
?
?
5．向量的夹角:已知两个非零向量
a
、
b
，作
OA
?
a
，
OB?b
，则∠AOB＝
?
，叫向量< br>a
、
b
的
?
?
?
?
?
?< br>?
?
夹角，当
?
=0°，
a
、
b
同 向，当
?
=180°，
a
、
b
反向，当
?
=90°，
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b
。
6．平面向量的坐标表示
（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，< br>如何表示呢？
如图，在直角坐标系内，我们分别取与
x
轴、
y轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为基底.任作一
1
个向量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
a?xi?yj
…………○
2
我们把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
a?(x,y)
…………○

2
式叫做向量的坐标表 示.与其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上的坐标，○
．
a
相等的向
．．．．
量的坐标也为
．．．．．．
(x,y)
. 特别地，
i ?(1,0)
，
j?(0,1)
，
0?(0,0)
.
如图 ，在直角坐标平面内，以原点O为起点作
OA?a
，则点
A
的位置由
a
唯一确定.
设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标< br>(x,y)
就是点
A
的坐标；反过来，点
A
的坐标
( x,y)
也就是向
量
OA
的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向 量都是可以用一对实数唯一表示.
7．讲解范例：
例2．教材P96面的例2。
8．课堂练习：P100面第3题。
三、小结：（1）平面向量基本定理；
（2）平面向量的坐标的概念；
四、课后作业：《习案》作业二十一


2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作
OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝θ（０≤θ≤π）叫
ａ
与
ｂ
的夹角 .
说明：（1）当θ＝０时，
ａ
与
ｂ
同向；
（2）当θ＝π时，
ａ
与
ｂ
反向；
（3）当θ＝
?
时，
ａ
与
ｂ
垂直，记
ａ
⊥
ｂ
；
2
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?
（2）两向量共线的判定
（3）练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
（4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cos?叫
ａ
与ｂ
的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
?探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个 向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量
的数量的 积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（ 3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b= 0.
因为其中cos?有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc
?
a=c.但是a?b = b?c a = c

如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
2．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0；
当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，
1、a?b ? a?b = 0
2、当a与b同向时，a?b = |a||b|； 当a与b反向时，a?b = ?|a||b|.
特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

|a?b| ≤ |a||b| cos? =
a?b

|a||b|
探究：平面向量数量积的运算律
1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a
2．数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证：若
?
> 0，(
?
a)?b =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，a?(
?
b) =
?
|a||b|cos?，
若
?
< 0，(
?
a)?b =|
?
a||b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?.
3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作
OA
= a，
AB
= b，
OC
= c， ∵a + b （即
OB
）在c方向上的投影等
于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?
1
+ |b| cos?
2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?
1
+ |c| |b| cos?
2
， ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c
说明：（1）一般地，(
ａ
·< br>ｂ
)с≠
ａ
（
ｂ
·с）
（2）
ａ
·с＝
ｂ
·с，с≠0
ａ
＝
ｂ

２２
（3）有如下常用性质：
ａ
＝｜
ａ
｜，

（
ａ
＋
ｂ
）（с＋
ｄ
）＝
ａ
· с＋
ａ
·
ｄ
＋
ｂ
·с＋
ｂ
·
ｄ< br>
三、讲解范例：
例1．证明：(
ａ
＋
ｂ
)＝ａ
＋２
ａ
·
ｂ
＋
ｂ

２２２
?
?
?
?
例2．已知|a|=12， |b|=9，
a?b??542
，求
a
与
b
的夹角。

例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60
o
求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|.
（ 利用
|a|?a?a
）
例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a- kb互相垂直.
四、课堂练习：
1．P106面1、2、3题。
2．下列叙述不正确的是（ ）
A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律
C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数
3．|a|=3，|b|=4，向量a+
33
b与a-b的位置关系为（ ）
44
A.平行 B.垂直 C.夹角为
?
D.不平行也不垂直
3
4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.
五、小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；
3．向量垂直的条件.
六、作业：《习案》作业二十三。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：

2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4?cos? =
3．练习：
a?b
； 5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
（1）已知|a|=1，|b|=
2
，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为
?
，那么向量 m=a-4b的模为（ ）
3
A.2 B.2
3
C.6 D.12
二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，怎样用a
和
b
的坐标表示
a?b
？
.
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

2. 平面内两点间的距离公式
（1）设
a?(x,y)
，则
|a |?x?y
或
|a|?
222
x
2
?y
2
.
（2）如果表示向量
a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
，
那么
|a|?(x
1
?x
2
)
2?(y
1
?y
2
)
2
(平面内两点间的距离公式)
3． 向量垂直的判定
设
a?(x
1
,y
1
)< br>，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b

?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

4． 两向量夹角的余弦（
0?
?
?
?
）
cos? =
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
2 2
x
2
?y
2
22

二、讲解范例：
例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.

例2 设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1
o
)
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
例3 已知a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－ １），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－１）
有a·b＝
3
＋１＋
3
（
3
－１）＝４，｜a｜＝ ２，｜b｜＝２
2
．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
a?b2
?
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
?
4
a?b2
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
三、课堂练习：1、P107面1、2、3题
2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-
四、小结： 1、
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

2、平面内两点间的距离公式
|a|?
3、向量垂直的判定：
设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b

?
x
1
x
2?y
1
y
2
?0

五、课后作业：《习案》作业二十四。
思考：
1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求点B和向量
AB
的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则
OB
= (x， y)，
AB
= (x?5， y?2)
∵
OB
?
AB
∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x
2
+ y
2
?5x ? 2y = 0
又∵|
OB
| = |
AB
| ∴x
2
+ y
2
= (x?5)
2
+ (y?2)
2
即：10x + 4y = 29
1
)在线段AB的中垂线上，则x= .
2
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

?
73
?
x?x?
?
x ?y?5x?2y?0
?
?
2
2
?
1
2
?
?
或
?
由
?

37
?
10x?4 y?29
?
y
1
??
?
y
2
?
?
2
?
2
?
22

∴B点坐标
(,?)
或
(,)
；
AB
=
(?,?)
或
(?,)

2 在△ABC中，
AB
=(2， 3)，
AC
=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.
解：当A = 90?时，
AB
?
AC
= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =< br>?
7
2
3
2
37
22
3
2
7
2
73
22
3

2
当B = 90?时，
AB
?
BC
= 0，
BC
=
AC
?
AB
= (1?2， k?3) = (?1， k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11

3
3?13

2
当C = 90?时，
AC
?
BC
= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =


2.5.1平面几何中的向量方法
教学目的：
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算
及数 量积表示.；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学过程：
一、复习引入：
1. 两个向量的数量积：
a?b? |a||b|cos
?
.

2. 平面两向量数量积的坐标表示:
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.

3. 向量平行与垂直的判定:
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0.

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0.

4. 平面内两点间的距离公式：
|AB|?
5. 求模：
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

a?a?a

a?x
2
?y
2

a?(x< br>1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2)
2

练习
教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.
二、讲解新课：
例1. 已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90
o
.
证明：设
AO?a?OC,
OB?b,
a?b,

B
A
O
C
AB?AO?OB?a?b,BC?a?b,

AB?BC?(a?b)?(a?b)?a?b?0,

22
?AB?BC,

??ABC?90
o




例2. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证： AD，BE，CF相交于一点.

A

F

E

H


B
D


C
例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，
AC? AB?AD,DB? AB?AD,

你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

D
C

思考1：
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
AB


思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”：
(1)建立平面 几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问
题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例4．如图，
□
ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、 BF分别与AC交于R、T两
点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
F
D< br>C
E
A
R
T
B

课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问
题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
课后作业
1. 阅读教材P.109到P.111; 2. 《习案》作业二十五.


2.5.2向量在物理中的应用举例
教学目的：
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题
的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；
2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会
数学在现实生活中的作用.
教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
教学过程：
一、复习引入：
1. 讲解《习案》作业二十五的第4题.
已知A(1,0),直 线l:y?2x?6,点R是直线l上的一点,若RA?2AP,求点P的轨迹方程.


2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？
二、讲解新课：
例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角 越大越费力；在单杠上
做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？

探究1：
(1)
?
为何值时，|
F
1
|最小，最小值是多少?
(2)|
F
1
|能等于|
G
|吗?为什么?



探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.

例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|
v
1
|
＝10 kmh，水流速度|
v
2
|＝2 kmh，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？

思考:
1. “行驶最短航程”是什么意思？
2. 怎样才能使航程最短？

例3.有两个向量e
1
?(1,0),e
2
?(0,1),今有动点P从P
0
(?1,2)开始沿着与向量e
1
?e
2
相同的方向做匀 速运动,速度为|e
1
?e
2
|,另有一动点Q,从Q
0
( ?2,?1)开始沿着与

3e
1
?2e
2
相同的方向做 匀速运动,速度为|3e
1
?2e
2
|,设P、Q在时刻t?0秒时分别在< br>P
0
、Q
0
处,则当PQ?P
0
Q
0
时，求t的值.







三、课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.

四、课后作业
1. 阅读教材P.111到P.112; 2. 《习案》作业二十六.