高中数学必修45知识点

高中数学必修4第一章知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
1 、任意角
?
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?

?零角:不作任何旋转形成的角
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，
则称
?
为第几象限角．
第 一象限角的集合为
?
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
?

第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?36 0?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?36 0?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集 合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??< br>?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k ?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

4、已知
?
是第几象限角，确定?
n??
*
n
??
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份，
再从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则< br>?
原来是第几
象限对应的标号即为
?
n
终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数 的绝对值是
?
?
l
r
．
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1?
?
180
，
1?
?
?
180
?
?
?
?
?
?5 7.3
．
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为S
，
则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S ?
11
2
lr?
2
?
r
2
．
9 、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标 是
?
x,y
?
，它与原点的
距离是
r
?
r ?x
2
?y
2
?0
?
，则
sin
?
?
y
r
，
cos
?
?
x
r
，< br>tan
?
?
y
x
?
x?0
?
． < br>10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正
切为正，第四 象限余弦为正．
11、三角函数线：
sin
?
???
，
c os
?
???
，
tan
?
???
．
y< br>12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1

P
T
?
si n
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?< br>?1?sin
2
?
?
；
?
2
?
si n
?
cos
?
?tan
?

OM
A
x
?
?
?
sin
?
?tan
?
cos< br>?
,cos
?
?
sin
?
?
tan
?
?
?
．
13、三角函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?c os
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?．

?
3
?
sin
?
?
??
??sin
?
，
cos
?
?
?
?< br>?cos
?
，
tan
?
?
?
?
?? tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为y
min
；当
x?x
2
时，取得最大
值为
y
max
，则
??
11?
?
y
max
?y< br>min
?
，
??
?
y
max
?y
m in
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1< br>?x
2
?
．
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
?
5
?
sin
?
?
?
?
2
?
?
??
?
?cos
?
，
cos
?
?
??
2
?
?
?
?
?
?
sin
?
．
?
6
?
sin
?
?
?
?2
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
2
?
?
?
??
??
sin
?
．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． < br>14、（1）一般地，函数Y=AsinX（A>0且A≠1)的图像可以看作是把Y=sinX的图像< br>上所有的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0得 到的。
（2）一般地，函数Y=sinωX（A>0且A ≠ 1)图像可以看作是把Y=sinX的 图像上
所有的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得
到的。
（3）一般地，函数Y=sin（x+ φ），（ φ ≠0）的图像，可以看作是把 Y=sinx的图
像上所有的点向左（当φ>0）时或向右(当φ<0)时平行移动|φ|个单位而得到 的
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
? ?0,
?
?0
?
的性质：
①
振幅：
?
；
②
周期：
??
2
?
1
?
?
；③
频率：
f?
?
?
2
?
；
④
相位：
?
x?
?
；
⑤
初相：
?
．
性



函


质
数
y?sinx

图
象

定
义
R

域
值
?
?1,1
?

域
当
x ?
2
k
?
?
?
2
?
k??
?最
时，
y
max
?1
；当
值
x?2k
?
?
?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
2
?

y?cosx


R

?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

y?tanx


?
?
?
xx?k
?
?
?
?
2
,k??
?
?

R


既无最大值也无最小值
?

期
性
奇奇函数 偶函数 奇函数
偶
性
在
?
?
?
2
k
?
?
?
2
,2
k
?
?
?
?
2
?
单
?

在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上
?
k??
?
上是增函数；在
是增函数；在
在
?
调
?
?
k
?
?
?
2
,
k
?
?
?
?
2
?
?

?
?
?
?

性
?
2k
?
?
?
3
?
?
?
2k
?,2k
?
?
2
,2k
?
?
2
?
?

?
k??
?
上是增函数．
?
?
k??
?
上是减函数．
k??
?
上是减函数．
对
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称中心对称中心
称
对称轴
?
?
?
?
k
?
?
?
?< br>?
2
,0
?
?
?
k??
?

?
k
?
?
2
,0
?
?
?
?k??
?

性
x?k
?
?
2
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴





16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．

单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向
量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．




⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算 性质：①交换律：
a?b?b?a
；②结合律：
?
a?b
?
?c?a?
?
b?c
?
；③
a?0?0?a?a
．
C

⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
, y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
?
．
a

?

18、向量减法运算：
b

?

a?b??C?????C

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b??
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1< br>,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
? 0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?< br>?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
20、向量共线定理：向量
a
?
a?0
?
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使b?
?
a
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2< br>?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
b?
b?0
?
共线．
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
任 意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?< br>1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?< br>x
2
,y
2
?
，
当
?
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
?
1?
?
,
y
2
?
1?
?
?< br>?
．
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
?
a?0,b?0,0?
?
?180
?
．零向量与任一向量 的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量 ，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；
当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
2
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
??
a
?
?b?
?
?
a?b
?
?a?< br>?
?
b
?
；③
?
a?b
?
?c?a ?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1< br>y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则< br>a
2
?x
2
?y
2
，或
a?x
2< br>?y
2
．
设
a?
?
x
1
,y1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与b
的夹角，则
cos
?
?
a?b
x
2
?y
1
y
2
ab
?
x
1
x
2?y
2
．
11
x
2
?y
2
2224、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?sin
?
；
⑵
cos
?
?
?
??
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；