调兵山高中数学补课-高中数学集合教材阅读
归海木心 QQ:634102564
高中数学必修4知识点总结
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
??
??
?
?
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
?
??
?
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
; ?
?
?
??
??
?
?
??
②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?a?a
.
????
C
?
?
?
?
⑸坐标运算
:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?.
?
a
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
?
?
?
?
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y<
br>2
?
.
????
??
设
?
、
?<
br>两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
??
?
x
1
x
2
y,
1
?y
2
?
?
?
b
?
?
.<
br>?
?
????????????
a?b??C?????C
19、向量数乘运算:
?
⑴实数
?
与向量
a
的积
是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
??
①
?
a?
?
a
;
?
??
?
?
?
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?a?0
.
?
?????
?
?
?
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?<
br>?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b<
br>.
??
??
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
??
?
??<
br>?
20、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有
唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
??
?
?
?
??
?
?
?
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2<
br>,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1<
br>y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a<
br>、
bb?0
共线.
??
?????
?
21、平面向
量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向
量,那么对于这一平面内的任意向量
a
,
?????
?????
?<
br>有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a??
1
e
1
?
?
2
e
2
.(不
共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基<
br>归海木心 QQ:634102564
归海木心
QQ:634102564
底)
22、分点坐标公式:设点
?
是线段?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
时,点
?
的坐标是
?
?
?
x
1
?
?x
2
1?
?
,
y
1
?
?
y<
br>2
?
(当
?
?1时,就为中点公式。)
?
.
1?
?
?
????????
,
?
x
2
,y
2
?
,当
?
1
??
?
??
2
23、平面向量的数量积:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,
0?
?
?180
?
.零向量与任一向量的数量积为
0
. <
br>??
????
???
??
?
?
?
?
?
⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?
0
.②当
a
与
b
同向时,
a?b?ab
;当
a
与
b
反
?
???
2
?
2
?<
br>?
?
?
向时,
a?b??ab
;
a?a?a?a或
a?
??
?
?
?
?
a?a
.③a?b?ab
.
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
⑶运算律:①
a?b
?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?
a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c
.
?????
?
?
?
?
?
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?<
br>x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
?
?
若
a?
?
x,y
?
,则
a
?
?
a?b?
1
2
?x?y
22
?
,或
a?x?y
22
?
?
. 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
x2
x?
1
.
y0y?
2
?
?
是
a
与
b
的夹角,则
?
?
?
?
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
?
?
a?b
cos
?
?
?
?
?
ab
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
.
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑶
sin
?
?
?
?
?
?si
n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;⑷<
br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co
s
?
?cos
?
sin
?
;
⑸
tan<
br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan<
br>?
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
?
(<
br>tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
;
??
1?tan
?
tan
?
?
)
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
??
).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
222
⑴
s
in2
?
?2sin
?
cos
?
.
?1?sin2
?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
c
os
?
?(sin
?
?cos
?
)
⑵<
br>cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
2222
归海木心
QQ:634102564
归海木心 QQ:634102564
?
升幂公式
1?cos
?
?2cos
?
降幂公式
co
s
?
?
2
2
?
2
,1?cos
?
?2sin
2
?
2
.
cos2
?
?1
2
,
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?ta
n
?
:
2
.
万能公式:
2tan
α
1?
tan
2
α
26、
半角公式
α
2
;cosα?
1?cosαα1?cosα
2
αcos??;sin??
1?tan1?tan
2222
2
α
1
?
cos
α
sin
α
1
?
cos
α
tan????
2
1
?
cos
α
1
?
cos
α
sin
α
?
(后两个不用判断符号,更加好用)
sinα?
2
2
α
2
27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角
,一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式。?sin
?
??cos
?
????sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
22
?
?
.
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条
件,灵活运用三角
公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
(1
)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,
倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
①
2
?
是
?
的二倍;
4
?
是
2<
br>?
的二倍;
?
是
30
2
?(
o
?<
br>2
的二倍;
?
12
?
2
是
?
4的二倍;
?
12
②
15
o
?45?30
o
o
?60
o
?45
o
?
;问:
sin
?<
br>4
?
?
)
;
?
;
cos?
;
③
?
?(
?
?
?
)?
?
;④
?
4
?
?
??
2
⑤
2
?
?(
?
?
?
)?
(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
;等等
(2)函数名称变换:三角变
形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常
化切为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”
的
代换变形有:
1?sin
?
?cos
??tan
?
cot
?
?sin90
22o
?tan45
o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采
用降幂处理的方法。常用
降幂公式有: ;
。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式
1?cos
?
常用升幂化为有理式,常用
升幂公式有: ; ;
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
1
?tan
?
1?tan
?
?_______________
;
?______________
; 如:
1?tan
?
1
?tan
?
tan
?
?tan
?
?___________
_
;
1?tan
?
tan
?
?___________;
归海木心 QQ:634102564
归海木心
QQ:634102564
tan
?
?tan
?
?_______
_____
;
1?tan
?
tan
?
?_________
__
;
2tan
?
?
;
1?tan
2
?
?
; tan20
o
?tan40
o
?3tan20tan40
oo<
br>?
;
sin
?
?cos
?
?
= ;
asin
?
?bcos
?
?
= ;(其中
)
tan
?
?
;
1?cos
?
?
;
1?cos
?
?
;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化
弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值
与特殊角的三角函数互化
。
如:
sin50
o
(1?3tan10)?
;
o
tan
?
?cot
?
?
。
归海木心
QQ:634102564
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