购房公式1.2排列与组合

1.2 排列与组合
1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
目标定位 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识
解决简单的实际问题.
自 主 预 习
1.排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫
做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元
素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
3.排列数公式
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N
*
，m≤n)＝.
即 时 自 测
1.思考题
(1)同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？
提示 由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素.
(2)排列与排列数的区别是什么？
提示 “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排 列是指完成的具体的一
件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所< br>有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数.
2.下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算.
A.①④ B.①② C.④ D.①③④
解析 根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题.
答案 A
3＝17×16×15×…×5×4，则n＝，m＝.
解析 17×16×15×…×5 ×4中的最大数为17，共有17－4＋1＝14(个).所以＝，
n＝17，m＝14.
答案 17 14
4.由1，2，3，4可组成个无重复数字的三位数.
解析 由 1，2，3，4组成无重复数字的三位数，即为从4个不同元素中任选3
个元素的排列问题，不同的三位 数共有＝4×3×2＝24(个).
答案 24
类型一 排列的概念
【例1】判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价
相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信.
解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，
所以不是排列问题；
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长 或当学习委员是不同的，存在顺序问题，
属于排列问题；
(6)A给B写信与B给A写信是不 同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所
以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题.
规律方法 确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认.
(1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题.
(2)其次要保证选出的元素被安排 的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有
顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否 变化，有变化就是有顺
序，无变化就是无顺序.
【训练1】 下列问题是排列问题吗？并说明理由.
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若 选出3个座位安排三
位客人，又有多少种方法？
(2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任 取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点
在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上 的双曲线方程－＝1?
解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队” 问题，
与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.
(2)第一问不是排列问题，第 二问是排列问题.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭
圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双 曲线－＝1中，不管a＞b还是a
＜b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线， 故是排列问
题.
类型二 列举法解决排列问题(互动探究)
【例2】 (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不
同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列.
[思路探究]
探究点一 利用什么可将题(1)中的两位数不重不漏地列出来？
提示 利用树形图，即把同一元素为首的若干排列按照一定的顺序一一列举出来.
探究点二 用什么计数原理计算题(2)中的排列种数？用什么将所有排列列出
来？
提示 利用分步乘法计数原理可计算所有排列种数，采用树形图能具体地列出所
有排列.
解 (1)由题意作树形图，如图.
故所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32， 34，41，42，43，共有12
个.
(2)由题意作树形图，如图.
故所有的排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个.
规律方法 “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表
示方式.在操作 中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，
进行分类，在每一类中再按余下的元素 在前面元素不变的情况下确定第二位元素，
再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到 不重不漏，然后再
按树形图写出排列.
【训练2】 将A，B，C，D四名同学按一定顺序排 成一行，要求自左向右，且A
不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列 出所
有可能的排法.
解 树形图为(如图)：
由树形图知，所有排法为，，，，，，，，，共有9种排法.
类型三 排列数公式的应用
【例3】 求解下列问题：
(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)( n∈N
*
且n<55)；
(2)计算＋7－)；
(3)解方程：＝140.
解 (1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为 69－n，且共有69－n－(55
－n)＋1＝15(个)，所以(55－n)·(56－n)…(6 9－n)＝.
(2)＋7－)＝
＝＝1.
(3)根据原方程，x应满足
解得x≥3，x∈N
*
.
根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x ·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2).
因为x≥3，两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝
35(x－2). 即4x
2
－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝5(因为x为整数，所以应舍去).所
以原方程的解为x＝3.
规律方法 1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数
的方程和不等式问题.
2.排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问
题，具体应用时注意提 取公因式，可以简化计算.
【训练3】 (1)解不等式：＜6；
(2)证明 －＝，并用此结论计算＋2＋3＋…＋8.
(1)解 原不等式等价于
整理得
即5＜x≤6且x∈N
*
，从而解得x＝6.
(2)证明 －＝(n＋1)！－n!
＝(n＋1)n！－n！＝n·n！＝.
＋2＋3＋…＋8
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)
＝－＝9！－1＝362 879.
[课堂小结]
1.排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”.这 里
“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元
素与“顺序” 有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准.
2.排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.
1.已知下列问题：①从甲、乙、丙三 名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣
小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③ 从a，b，c，d中选
出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数 .
其中是排列问题的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题，是排列问题的是①
和④.
答案 B
2.设m∈N
*
，且m<15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于( )

解析 因为15－m，16－m，…，20－m中的最大数为20－ m，且共有20－m－(15
－m)＋1＝6(个).所以(15－m)(16－m)…(20－m)＝ .
答案 C
3.8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有种不同的种法(用数字
作答).
解析 将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种
种在4块不同土 质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问
题.所以不同的种法共有＝8×7×6× 5＝1 680(种).
答案 1 680
4.三个人A，B，C坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来.
解 画出树形图，如图所示.
故所有排列为：
，，，，，.共6种.
基 础 过 关
1.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B.甲乙丙，乙丙甲
C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D.甲乙，甲丙，乙丙
解析 选出两人，两人的不同顺序都要考虑.
答案 C
2－)＝( )
A.12 B.24 C.30 D.36
解析 ＝7×6×，＝6×，所以原式＝)＝36.
答案 D
3.若x＝，则x＝( )

答案 B
4.从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分 母，则可产生不同
的分数的个数是，其中真分数的个数是.
解析 所有不同的分数个数即是从4个元素中任取出2个元素的排列数，即＝
12(个)，真分数个数为6个.
答案 12 6
5.已知＝2，则25＝；n＝.
解析 由＝2得，2n(2n－ 1)(2n－2)＝2(n＋1)·n·(n－1)(n－2)，即n＝5或n＝0(舍
去)，∴
5
25＝2，5＝2.
答案 2 2
6.10个人走进只有6把不同椅子的屋子 ，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多
少种不同的坐法？
解 坐在椅子上的6个人是走进屋 子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看
成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽 象为从10个元素中取6
个元素占据6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题. 从而，
共有＝151 200种坐法.
7. 判断下列问题是否是排列问题
(1) 从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多
少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的

出入方式共有多少种？
解 (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作 纵坐标的顺序
有关，所以这是一个排列问题.
(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学 校开座谈会的方式不用考虑两人的顺
序，所以这不是排列问题.
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.
∴(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题.
8.某药品研究所研制了5种消炎药a< br>1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5，4种退热药b
1
，b
2
，b
3
，
b
4
，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a
1
，a
2两种药或同
时用或同时不用，a
3
，b
4
两种药不能同时使用， 试写出所有不同试验方法.
解 如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a
1
a
2
b
1
，a
1
a
2
b
2
，a
1
a
2
b
3
，a
1
a
2< br>b
4
，
a
3
a
4
b
1
，a
3
a
4
b
2
，a
3
a
4
b
3
，a
3
a
5
b
1
，a
3a
5
b
2
，a
3
a
5
b
3< br>，a
4
a
5
b
1
，a
4
a
5
b
2
，a
4
a
5
b
3
，a4
a
5
b
4
，
共14种.
能 力 提 升
9.将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( )
A.50 B.60 C.120 D.90
解析 5本书进行全排列，＝120.
答案 C
10.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到
a－ b的不同值的个数是( )
A.9 B.10 C.18 D.20
解析 首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有＝20种排
法，
因为＝，＝，
所以从1，3，5，7，9这五个数中，
每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到 a－ b的不同值的个数是20－2
＝18.
答案 C
11.有3名大学毕业生，到5家 招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新
员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职， 则共有种不同的招聘方案(用
数字作答).
解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置 ，从中任选3个位置给3名大
学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不 同的招
聘方案共有＝5×4×3＝60(种).
答案 60
12.在庆祝“教师节 ”大会上，将玫瑰花、康乃馨、百合花各一束分别送给甲、乙、
丙三位优秀教师代表，每人一束，共有种 不同的送法；甲分得百合花共有种送法.
解析 三束花分别送给甲、乙、丙三人，不同的送法即是三束 花的全排列＝6；甲
分得百合花的送法即是另两束花的全排列＝2.
答案 6 2
13.某国的篮球职业联赛共有16支球队参加.
(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？
(2)若16支球队恰 好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，
各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛 区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行
多少场比赛？
解 (1)任意两队之间要进行一场 主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队
任取两支的一个排列，比赛的总场次是＝16×15＝2 40.
(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是×2＋1＝8×7×2＋1＝113.
探 究 创 新
14.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运
车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解 由题意可知，原有车票的种数是种，现有车票的种数是种，
∴－＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.
∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
∵m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N
*

∴
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站.