高中数学必修4重难点

高中数学必修4重难点
第一章 三角函数
?
正角:按 逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角< br>
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点 与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为 第几象限
角．
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360? 90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?< br>k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?3 60,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
? ?
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为< br>?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
第一象限角的集合为< br>?
k?360?
?
?k?360?90,k??

5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
6、弧度制与角度制的换算公式：
2
?< br>?360
，
1?
7、若扇形的圆心角为
?
l
． r
?
180
，
1?
?
?
180
??
?57.3
．
?
??
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为< br>S
，则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?11
lr?
?
r
2
．
22
8、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?< br>x,y
?
，它与原点的距离是
rr?x
2
?y
2?0
，则
sin
?
?
?
?
yxy
，< br>cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
y
P
O
T
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：
sin
????
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
11、同角三角函数的基本关系：
M
A
x
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
, cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；

1

?
2
?
sin
?
? tan
?
cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??< br>．
tan
?
??
12、同角三角函数的诱导公式：
?1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
??
?
?tan
?
?
k??
?
．
?< br>2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??co s
?
，
tan
?
?
?
?
?
?ta n
?
．
?
3
?
sin
?
?
?< br>?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
? ?tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
??
?
?
??tan
?
．
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
?
5
?
sin
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
?
6
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
??
2
??
2
?
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
13、图像的变换
①函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右）平移?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再
将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象 上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
y ?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?si n
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原 来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
②函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐 标伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
?
y? sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图 象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?< br>?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变 ），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
14、函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
①振幅：
?
；②周期 ：
??
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min ；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
??




11?
?
y
max
?y
min
?
，
??
?
y
max
?y< br>min
?
，
?x
2
?x
1
?
x1
?x
2
?
．
222
2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

y?sinx

性
质
数
y?tanx

图象


定义域
值域

R

R

?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?

2
??
?
?1,1
?

?
当
x? 2k
?
?
?
k??
?
时，
2
y
m ax
?1
；当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
R

最值
?
2

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
2
?

奇函数
?

奇函数
??
在
?
2k
?
? ,2k
?
?
?

?
22
?
??
单调性
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上 是
?
k??
?
上是增函数；
增函数；
在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k? ?
?
上是
减函数．
在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
?
3
?
在
?
2k
??,2k
?
?
?

?
22
?
??
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x ?k
?
?
对称中心
?
k
?
?
?
2
?
k??
?

?
?
?
?
,0?
?
k??
?

2
?
对称中心
?
无对称轴
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?


【三角恒等式的变换】
1．两角和与差的三角函数
；
sin(?)?sincos?cossin
；
cos(?)?coscos?si nsin
??????
??????
tan
?
?tan
?< br>tan(
?
?
?
)?
。
1tan
?
tan
?
2．二倍角公式

3

；
sin2
?
?2sin
?
c os
?
2222
；
cos2?cos?sin?2cos?1?1?2si n
?????
2tan
?
。
tan2
?
?
2
1?tan
?
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公
式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④
尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式
11?co s2
?
1?cos2
?
22
；
cos
。
sin
?
cos
?
?sin2
?
；
sin
?
?
?
?
2
22
（2）辅助角公式
22
asinx?bcosx?ab??sinx?
?
，
??

16、向量：既有大小，又有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度．
数量：只有大小，没有方向的量．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
C
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
a
?
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；


②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
． < br>b
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
? y
2
?
．
?
18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
a?b??C?????C⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a? b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当< br>?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反； 当
?
?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a ?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?< br>y
?
．
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b< br>共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1< br>?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
21、平面向量 基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量 ，那么对于这一平面内的任意向
量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?< br>?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量
的一组基底）

第二章 平面向量

????
??
??
??
22、分点坐标公式： 设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y< br>1
?
，
?
x
2
,y
2
?
， 当
?
1
??
?
??
2
x
1
??
x
2
y
1
?
?
y
2
?．
时，就为中点公式。）
时，点
?
的坐标是
?

,
??
（当
?
?1
1?
?
??
1??
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0 ,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
??

4

⑵性质：设
a
和b
都是非零向量，则①
a
2
?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b< br>2
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a? a?a
．③
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?< br>b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b??
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1< br>x
2
?y
1
y
2
．
????
??
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x
2
?y
2
，或
a?x
2
?y
2
．
2设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b ?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
co s
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2< br>?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
．
2
2
x?y
2
2



【高考零距离】
题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值
【例1】 （2007年高考安徽卷）已知
0?
?
?
?
4
，
?
为
f(x)?cos(2x?
?
8
)
的最小正周期，
2cos
2
?
?sin2(
?
?
?
)
a ?(tan(
?
?),?1),b?(cos
?
,2),a?b?m
，求的值．
4
cos
?
?sin
?
?








题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例2】 （2006年高考浙江卷 ）如图，函数
y?2sin(
?
x?
?
),x?R
（其中< br>0?
?
?
与
y
轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求
?
的值；
（Ⅱ）设
P
是图像上的最高点，M、
N是图像与
x
轴的交点，求
PM
与
PN
的夹 角。










?
2
）的图像
5

题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例3】（山东卷）在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，
t anC?37
．
（1）求
cosC
；
（2）若
CB?C A?
5
，且
a?b?9
，求
c
．
2









(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)
设向量
a?(cos
?< br>,sin
?
),b?(cos
?
,sin
?
)
，
且0?
?
?
?
?
?
,
若
a? b?
值。









(2007·四川 )已知
cos??
??
??
4
4
，
tan
?
?
，求
tan
?
的
5
3
?
113
,cos(???)?,且0
<
?
<
?
<,
2
714
(Ⅰ)求
tan2?
的值.（Ⅱ）求
?
.


6