届高一数学必修4重要知识点总结(最新b4版)

★
高一数学必修4重要知识点总结
学校： 班级： 姓名：
第一章 三角函数
转形成的角；
?
正角：按逆时针方向旋
?
转形成的角；
1．任意角：
任意角
?
负角：按顺时针方向旋

?
零角：不作任何旋转形 成的角.
?
2．角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的 非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几象限角．
?
180
?
7．弧度制与角度制的换算公式：
?
?180?
，
2
?
?360
，
1?
，
1?
?
?57.3
o< br>．
?
180
?
?
?
o
o
?
o
8．若扇形的圆心角为
?
(1)弧长公式：
l?r
?
=
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l< br>，周长为
C
，面积为
S
，则
n
?
r
(
n
为圆心角的角度数)；(2) 扇形的周长：
C?2r?l
；
180
11
2
(3)扇形的 面积公式：
S?lr?
?
r
．
22
9.特殊角的三角函数值：
度
弧度
??
第二象限 角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
；
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k ?360?270,k??
?
；
第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
；
终边 在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?；
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180? 90,k??
?
；
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
? k?90,k??
?
.
第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
；
oooo
ooo
oooooooo
o
oo
o
0?

0
30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

270?

360?

2
?
3
?
5
?
3
?
???
?


2
?

2

3462
643
1

2
3

2
sin
?

0
2

2
2

2
1
3

2
1
3

2
2

2
?
1

2
0 -1 0
cos
?

1
1

2
3

0
?
1

2
3
2

?

2
2
3

3
-1 0 1
tan
?

0
3

3
不存
在
?3

-1
?
0
不存
在
0
10.设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离是
3.由角
?
所在象限判断
?

?
所在象限：
n
?

2
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?
?
?
yxy
，
cos
?
?
，< br>tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
?
?
Ⅰ
?
?
Ⅱ
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
2
11.三角函数在各象限的符 号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦
为正．记忆口诀：一全正， 二正弦，三正切，四余弦.
y
12．三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???．
13.三角函数间的基本关系：
P
T
2222
(1)平方 关系：
sin
?
?cos
?
?1
sin
?
?1?cos
?
,cos
?
?1?sin
?
；
22
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅱ、Ⅳ
??
?
?
Ⅲ
?
?
Ⅳ
?
2OM
A
x
(2)商数关系：
?
2
sin
??tan
?
cos
?
?
Ⅱ、Ⅳ
o
sin?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
14.三角函数的诱导公式：
4．与角
?< br>终边相同的角的集合为
??
?k?360?
?
,k??

5．长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
??
诱导公式一：
sin(2k
?
?
?
)?si n
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?< br>?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
诱导公式二 ：
sin(
?
?
?
)??sin
?
，
co s
?
?
?
?
?
??cos
?
，
t an
?
?
?
?
?
?tan
?
．
诱导公式三：
sin(?
?
)??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
l
6．半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度 数的绝对值是
?
?
．
r
数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第1页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★ 数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第2页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★

★
诱导公式四 ：
sin(
?
?
?
)?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
ta n
?
?
?
?
?
??tan
?
．
公式一~公式四：记忆口诀：函数名称不变，符号看象限．
17
．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：


函



数
性
质

图象

定义域
y?sinx

y?cosx


y?tanx

?
?
?
诱导公式五：
s in(?
?
)?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
2
?
2
?
诱导 公式六：
sin(
?
?
?
?
?
?
?
)?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??s in
?
．
2
?
2
?
3
?
3?
?
?
)??cos
?
，
cos(?
?
)?sin
?
.
22
3
?
3
?
诱导公式八：
sin(?
?
)??cos
?
，
cos(-
?
)??sin
?
.
22
诱导公式七：
sin(
公式五~公式八：记忆口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
公式一~公式八：记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．
15．(1)的图象上所有点向左（右）平移
R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
值域
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
R

?
2
?
k??
?
时，
?2
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
最值
1
，得到函数
y?sin
?< br>x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变）?
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
在
?
2k
?
?
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
y?sin
?
?
x??
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到 函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
2
?

奇函数
?

奇函数
1
(2)函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得 到函数
?
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
2
?
?

在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是
增函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?< br>
在
?
k
?
?
?
个单位长度，得到函数y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x的图象上所有点向左（右）平移
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
??
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
1 6
．函数
y??sin
?
?
x?
?
??
? ?0,
?
?0
?
的性质：

?
k??
?
上是增函数；在
单调性
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2?
?
3
?
??
2k
?
?,2k
??

??
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x ?k
?
?
对称中心
?
k
?
?
2
?
1
?
①振幅：
?
；②周期：
T?
；③频率：
f??
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
． < br>|
?
|
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最 小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
?
2
?
k??
?

?
?
?
?
,0
?
?
k??
?

2
?
对称中心
?
无对称轴
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?


第二章 平面向量
18．向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
11?
??
?
y
max
?y
min
???
?
y
max
?y
min
?
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
222< br>，，．
数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第3页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★ 数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第4页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★

★
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
19
．向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连，首尾连．
⑵平行四边形法则的特点：
作平移，共起点，连对角．

24.(1)定比分点坐标公式：设点
?(x,y)
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y< br>1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，
uuuruuur
?
x?
?
x
2
y
1?
?
y
2
?
,
当
?
1
??< br>?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
1
（ 当
?
?1
时，就是中点坐标公式）
?
．
1?
?< br>1?
?
??
x
1
?x
2
?
x??
2
，即点
?
的坐标为
(
x
1
?x< br>2
,
y
1
?y
2
)
. (2)中点坐标公式 ：
?
y?y
2
22
?
y?
1
2
?
25.重心坐标公式设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?x
3
,y
3
?
，则△ABC的重心坐标
(
r< br>r
r
r
r
r
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a? b
．
C

r
rr
r
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
； r
r
r
rr
rr
r
r
rr
②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
．
????
r
a

r
b

?

26.
平面向量的数量积：

x
1?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
r
r
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x< br>2
,y
2
?
，
r
r
则
a?b?< br>?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
20
．向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?

ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C

r
r
r
r
r
r
r
r
oo
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
??
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr< br>2
r
2
rrr
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a?
?
x< br>1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?，
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?(x< br>2
?x
1
,y
2
?y
1
)
．
21
．向量数乘运算：

rr
⑴实数
?
与向量a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①r
r
rr
r
r
r
r
r
r
r< br>r
rrr
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
????
??
rr
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y< br>2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
r
r
r
2
rr
2222
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?x?y
． 设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?，则
?
a?
?
a
；
rr
r
r
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0．
r
r
r
r
r
r
设
a
、< br>b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，< br>?
是
a
与
b
的夹角，则
r
r
x1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos?
?
r
r
?
．
2222
ab
x1
?y
1
x
2
?y
2

第三章 三角恒等变换
27.记住15°的三角函数值：
r
r
rrrr
?
a?0
．②当
?
?0
时，当
?
?0
时，当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同 ；
?
a
的方向与
a
的方向相反；
r
r
r< br>r
rrrrr
⑵运算律：①
?
?
?
a
??
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b ?
?
a?
?
b
．
??
⑶坐标运算：设
a ?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x ,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
． < br>rr
rr
r
rr
r
22．向量共线定理：向量
aa? 0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??
r
r
r
r
r
rr< br>r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b ?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
??< br>uruur
r
23.平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，< br>uruururuur
r
?
?
有且只有一对实数
1
、
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2< br>作为这一平面内所有向量的一组
基底）
?

?

12
28.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

sin
?

6?2

4
cos
?

tan
?

3

6?2

2?
4
(1)
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
c os
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第5页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★ 数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第6页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★

★
(2)sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin
??
?
?
?
?sin
?
cos
?
?co s
?
sin
?
；
③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?
)
；⑤
2< br>?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
；
tan
?
?tan
?
(3)
tan
?
?
?
?
?
?

?
（tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
1 ?tan
?
tan
?
(4)
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
??
）．
1?tan
?
tan
?
等等
（2） 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通
常化切 为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角 函数值，例如常数“1”
的代换变形有：

1?sin
?
?cos
?
?tan
?
cot
?
?sin90?tan45
.
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处 理的方法。常
用降幂公式有： ； 。 降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理
式
1?cos
?
常用升幂化为有理式 ，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
22oo
29.
二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴
si n2
?
?2sin
?
cos
?
．
?1?sin2< br>?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
co s
?
?(sin
?
?cos
?
)

⑵cos2
?
?cos
2
222
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

2
?
升幂公式:
1?cos
?
?2cos
?
22
cos2
?
?11?cos2
?
2
，
sin
?
?
．
?
降幂公式:
cos
2
?
?
22
⑶tan2
?
?
,1?cos
?
?2sin
2
?

如：
1?tan
?
1?tan
?
?__ _____________
；
?______________
；
1? tan
?
1?tan
?
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
? ___________
；
tan
?
?tan
?
?___ _________
；
1?tan
?
tan
?
?_____ ______
；
2tan
?
．
1?tan
2
?
2tan
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；

）
tan
?
?
；
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（其中
asin
?
?bcos
?
?
= ；
?
2
?
30.万能公 式：
sin
?
?
2
;
cos
?
?
2
1?tan
1?tan
2
?
2

2
1?tan
31.半角公式：
2
?
sin
?< br>2
??
1?cos
?
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
??
;
cos
?
??
;
tan
?
??
.
221?cos
?
1?cos
?
sin
?
（6）三角函数式的化简运算通常从：“ 角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次 化低次，无理化有理，特殊
值与特殊角的三角函数互化。
oo
如：
sin50(1?3tan10)?
；
tan
?
?cot
?
?
。
34.易错点提示：
1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域 了吗？你注意到正弦函数、余弦函数
的有界性了吗？
2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
?
（后两个不用判断符号，更加好用）
32. 辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?< br>?
)
，其中
tan
?
?
b
．(合一变形?
把两个三角函
a
数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式.)
33. 有关三角变换常用的数学思想方法技巧：
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换 能力，要学会创设条件，灵活运用三角公
式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如 下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之 间的和
差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的
变形如：
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有
着广泛的应用．
3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异
角化同角，异名化同名，高次化低次）
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式 吗？（
l?r
?
，
S?
5．常见三角不等式：（1）若
x? (0,
(2) 若
x?(0,
?
??
的二倍；是的二倍；
224
30
o
?
?
ooooo
?
；
cos?
； ②
15?45?30?60?45?
； 问：
sin
2
1212
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；
?
是11
lr?
?
r
2
）.
22
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
?
2
)
，则
1?sinx?cosx?2
. (3)
|sinx|?|cosx|?1
.
数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第7页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★ 数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第8页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★

★
赠同学们：1、知识改变命运，学习成就未来. 2、学如逆水行舟，不进则退.
祝同学们：学习进步！快乐成长！做一位对祖国对人民有用的人.
数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第9页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★ 数学教师赠同学们：★要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想★ ★第10页 共8页★ ★聪明来自勤奋，知识在于积累★