人教版高中数学必修4课后习题答案-人教版数学必修4课后答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

第二章 平面向量
2．1平面向量的实际背景及基本概念
练习（P77）
1、略. 2、
AB
，
BA
. 这两个向量的长度相等，但它们不等.
3、
AB?2
，
CD?2.5
，
EF?3
，
GH?22
.
4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.
习题2.1 A组（P77）
1
、
B
45°

（
2
）
D
.
C
A
B
O
30°
C
A
3、与
DE
相等的向量有：
AF,FC
；与
EF
相等的向量有：
BD,DA
；
与
FD
相等的向量有：
CE,EB
.
4、与
a< br>相等的向量有：
CO,QP,SR
；与
b
相等的向量有：
PM ,DO
；
与
c
相等的向量有：
DC,RQ,ST

5、
AD?
33
. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.
2
习题2.1 B组（P78）
1、海拔和高度都不是向量.
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与
AM
同向的共有6对，与
AM
反向
的也有6对；与
A D
同向的共有3对，与
AD
反向的也有6对；模为
2
的向量共有4对 ；模为2
的向量有2对
2．2平面向量的线性运算
练习（P84）
1、图略. 2、图略. 3、（1）
DA
； （2）
CB
.
4、（1）
c
； （2）
f
； （3）
f
； （4）
g
.

24

练习（P87）
1、图略. 2、
DB
，
CA
，
AC
，
AD
，
BA
. 3、图略.
练习（P90）
1、图略.
52
2、
AC?AB
，
BC??AB
.
77
说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是
BC
与
AB
反向.
718
3、（1）
b?2a
； （2）
b??a
； （3）
b??a
； （4）
b?a
.
429
4、（1）共线； （2）共线.
111
5、（1）
3a?2b
； （2）
?a?b
； （3）
2ya
. 6、图略.
123
习题2.2 A组（P91）
1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走
102
km；
（4）向西南走
52
km；（5 ）向西北走
102
km；（6）向东南走
102
km.
2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
3、解：如右图所示：
AB
表示船速，
AD
表示河水
的流 速，以
AB
、
AD
为邻边作
□
ABCD
，则
B
C
AC
表示船实际航行的速度.
在Rt△ABC中，
AB?8
，
AD?2
，
所以
AC?AB?AD?8
2
?2
2
?217
< br>22
A
D
水流方向
因为
tan?CAD?4
，由计算 器得
?CAD?76?

所以，实际航行的速度是
217
kmh，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
4、（1）
0
； （2）
AB
； （3）
BA
； （4）
0
； （5）
0
； （6）
CB
； （7）
0
.
5、略
6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.
7、略. 8、（1）略； （2）当
a?b
时，
a?b?a?b

1
9、（1）
?2a?2b
； （2）
10a?22b?10c
； （3）
3a?b
； （4）
2(x?y)b
.
2
10、
a?b?4e
1
，
a?b??e
1
?4e
2
，
3a?2b??3e
1
?10e
2
.
11、如图所示，
OC??a
，
OD??b
，

（第11题）
25

DC?b?a
，
BC??a?b
.

12 、
AE?
113
b
，
BC?b?a
，
DE?(b? a)
，
DB?a
，
444
3111
EC?b
，< br>DN?(b?a)
，
AN?AM?(a?b)
.
4848
1 3、证明：在
?ABC
中，
E,F
分别是
AB,BC
的中点 ，
1
所以
EFAC
且
EF?AC
，
2
1
即
EF?AC
；
2
1
同理，
HG?AC
，
2
所以
EF?HG
.
习题2.2 B组（P92）
1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.
2、不一定相等，可以验证在
a,b
不共线时它们不相等.
（第12题）
G
D
C
F
H
E
A
（第13题）
B
乙
丙
11
AC
，
AM?AB
，
33
1111
所以
MN?AC?AB?(AC?AB)?BC
.
3333
4、（1）四边形
ABCD
为平行四边形，证略
（2）四边形
ABCD
为梯形.
1
证明：∵
AD?BC
，
3
∴
ADBC
且
AD?BC

∴四边形
ABCD
为梯形.
D
（3）四边形
ABCD
为菱形.
3、证明：因为
MN?AN?AM
，而
AN?
证明：∵
AB?DC
，
∴
ABDC
且
AB?DC

∴四边形
ABCD
为平行四边形
又
AB?AD

∴四边形
ABCD
为菱形.
5、（1）通过作图可以发现四边形
ABCD
为平行四边形.
证明：因为
OA?OB?BA
，
OD?OC?CD

而
OA?OC?OB?OD

A
甲
（第1题）
C
B
A
（第4题(2)）
B
C
D
A
（第4题(3)）
M
D
B
C
26

O
（第5题）

所以
OA?OB?OD?OC

所以
BA?CD
，即
AB
∥
CD
.
因此，四边形
ABCD
为平行四边形.
2．3平面向量的基本定理及坐标表示
练习（P100）
1、（1）
a?b?(3,6)
，
a?b?(?7,2)
； （2）
a?b?(1,11)
，
a?b?(7,?5)
；
（3）
a?b?(0,0)
，
a?b?(4,6)
； （4）
a?b?(3,4)
，
a?b?(3,?4)
.
2、
?2a?4b?(?6,?8)
，
4a?3b?(12,5)
.
3、（1）
AB?(3,4)
，
BA?(?3,?4)
； （2）
AB?(9,?1)
，
BA?(?9,1)
；
（3）
AB?(0,2)
，
BA?(0,?2)
； （4）
AB?(5,0)
，
BA?(?5,0)

4、
AB
∥
CD
. 证明：
AB?(1,?1)，
CD?(1,?1)
，所以
AB?CD
.所以
AB
∥
CD
.
5、（1）
(3,2)
； （2）
(1,4)
； （3）
(4,?5)
. 6、< br>(
10
3
,1)
或
(
14
3
,?1 )

7、解：设
P(x,y)
，由点
P
在线段
AB
的延长线上，且
AP?
33
2
PB
，得
AP??< br>2
PB


AP?(x,y)?(2,3?)x?(2 y?,
，
PB?(4,?3)?(x,y)?(4?x,?3?y)

?
∴
(x?2,y?3)??
3
?
?
x?2??
3
2
(4?x)
2
(4?x,?3?y)
∴
?

?
?
?
y?3??
3
2
(?3?y)
∴
?
?
x?8
，所以点
P
的坐标为
(8,?15)
?
y??15
.
习题2.3 A组（P101）
1、（1）
(?2,1)
； （2）
(0,8)
； （3）
(1,2)
.
说明：解题时可设
B(x,y)
，利用向量坐标的定义解题.
2、
F
1
?F
2
?F
3
?(8,0)

3、解 法一：
OA?(?1,?2)
，
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)

而
AD?BC
，
OD?OA?AD?OA?BC?(1,5)
. 所以点
D
的坐标为
(1,5)
.
27

解法二：设
D(x,y)
，则
AD?(x?(?1), y?(?2))?(x?1,y?2)
，
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)

由
AD ?BC
可得，
?
?
x?1?2
?
y?2?7
，解得 点
D
的坐标为
(1,5)
.
4、解：
OA?(1,1)
，
AB?(?2,4)
.

AC?
1
2
AB?(?1,2
，
)
AD?2AB? (?4,8)
，
AE??
1
2
AB?(1,?2)
.

OC?OA?AC?(0,3
，所以，点
)
C
的坐标为
(0,3)
；

OD?OA?AD?(?3,9
，所以，点
)
D
的坐标为
(?3,9)
；

OE?OA?AE?(2,?1)
，所以，点
E
的坐标为
(2,?1 )
.
5、由向量
a,b
共线得
(2,3)?
?
( x,?6)
，所以
2
x
?
3
?6
，解得
x ??4
.
6、
AB?(4,4)
，
CD?(?8,?8)
，
CD??2AB
，所以
AB
与
CD
共线.
7、
OA
?
?2OA?(2,4)
，所以点
A
?
的坐标 为
(2,4)
；

OB
?
?3OB?(?3,9
，所以点
)
B
?
的坐标为
(?3,9)
； 故
A
?
B
?
?(?3,9)?(2,4)?(?5,5)

2.3 B组（P101）
1、
OA?(1,2)
，
AB?(3,3)
.
当t?1
时，
OP?OA?AB?OB?(4,5)
，所以
P(4,5)< br>；
当
t?
1
2
时，
OP?OA?
1< br>2
AB?(1,2)?(
335757
2
,
2
)?(
2
,
2
)
，所以
P(
2
,
2)
；
当
t??2
时，
OP?OA?2AB?(1,2)? (6,6)?(?5,?4)
，所以
P(?5,?4)
；
当
t ?2
时，
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(7,8)
，所以
P(7,8)
.
2、（1）因为
AB?(?4,?6)
，
AC?( 1,1.5)
，所以
AB??4AC
，所以
A
、
B
、
C
三点共线；
（2）因为
PQ?(1.5,?2)
，
PR?(6,?8)
，所以
PR?4PQ
，所以
P
、
Q< br>、
R
三点共线；
（3）因为
EF?(?8,?4)
，< br>EG?(?1,?0.5)
，所以
EF?8EG
，所以
E
、< br>F
、
G
三点共线.
3、证明：假设
?
1
? 0
，则由
?
1
e
1
?
?
2
e2
?0
，得
e
1
??
?
2
?
e
2
.
1
28
习题

所以e
1
,e
2
是共线向量，与已知
e
1
,e2
是平面内的一组基底矛盾,
因此假设错误，
?
1
?0
. 同理
?
2
?0
. 综上
?
1
?
?
2
?0
.
4、（1）
OP?19
. （2）对于任意向量
OP?xe1
?ye
2
，
x,y
都是唯一确定的，
所以向量的坐标表示的规定合理.
2．4平面向量的数量积
练习（P106）
1、
p?q?p?q?cos?p,q??8?6?
1
2
?24.
2、当
a?b?0
时，
?ABC
为钝角三角形；当
a?b?0
时，
?ABC
为直角三角形.
3、投影分别为
32
，0，
?32
. 图略
练习（P107）
1、
a?(?3)
2
?4
2
? 5
，
b?5
2
?2
2
?29
，
a?b?? 3?5?4?2??7
.
2、
a?b?8
，
(a?b)(a?b) ??7
，
a?(b?c)?0
，
(a?b)
2
?49
.
3、
a?b?1
，
a?13
，
b?74
，< br>?
?88?
.
习题2.4 A组（P108）
1、
a? b??63
，
(a?b)
2
?a
2
?2a?b?b
2
?25?123
，
a?b?25?123
.
2、
BC< br>与
CA
的夹角为120°，
BC?CA??20
.
3、a?b?a
2
?2a?b?b
2
?23
，
a?b?a< br>2
?2a?b?b
2
?35
.
4、证法一：设
a
与
b
的夹角为
?
.
（1）当
?
?0
时，等式显然成立；
（2）当
?
?0
时，
?
a
与
b
，
a
与
?b
的夹角都为
?
，
所以
(
?
a)?b?< br>?
abcos
?
?
?
abcos
?

?
(a?b)?
?
abcos
?

a?(
?
b)?a
?
bcos
?
?
?
abcos
?

所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
；
（3）当
?
?0
时，
?a
与
b
，
a
与
?
b
的夹角都为
180??
?
，
则
(
?
a)?b?
?
abcos(180??
?
)??
?
abcos
?

29

?
(a?b)?
?
abcos?
??
?
abcos
?

a?(
?
b )?a
?
bcos(180??
?
)??
?
abcos?

所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a ?(
?
b)
；
综上所述，等式成立.
证法二：设
a ?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y2
)
，
那么
(
?
a)?b?(
?
x
1
,
?
y
1
)?(x
2
,y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

?
(a?b)?
?
(x
1,y
1
)?(x
2
,y
2
)?
?
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

a?(
?
b)?(x
1
,y
1
)?(
?
x
2
,
?
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?< br>b)
；
5、（1）直角三角形，
?B
为直角.
证明：∵
BA?(?1,?4)?(5,2)?(?6,?6)
，
BC?(3,4)? (5,2)?(?2,2)

∴
BA?BC??6?(?2)?(?6)?2?0

∴
BA?BC
，
?B
为直角，
?ABC
为直角三角形
（2）直角三角形，
?A
为直角
证明：∵
AB?(19,4)? (?2,?3)?(21,7)
，
AC?(?1,?6)?(?2,?3)?(1,?3)∴
AB?AC?21?1?7?(?3)?0

∴
AB?AC
，
?A
为直角，
?ABC
为直角三角形
（3）直角三角形，
?B
为直角
证明：∵
BA?(2,5)?( 5,2)?(?3,3)
，
BC?(10,7)?(5,2)?(5,5)

∴
BA?BC??3?5?3?5?0

∴
BA?BC
，< br>?B
为直角，
?ABC
为直角三角形
6、
?
?135?
.
7、
?
?120?
.

(2a?3b)(2a?b) ?4a
2
?4a?b?3b
2
?61
，于是可得
a?b?? 6
，
30

cos
?
?a?b
ab
??
1
2
，所以
?
?120?.
8、
cos
?
?
23
40
，
?< br>?55?
.
9、证明：∵
AB?(5,?2)?(1,0)?(4,?2)< br>，
BC?(8,4)?(5,?2)?(3,6)
，
DC?(8,4)?(4,6)?(4,?2)

∴
AB?DC
，
AB?BC?4?3?(?2)?6?0

∴
A,B,C,D
为顶点的四边形是矩形.
10、解：设
a?(x,y)
，
?
x
2
?y2
?9
?
?
x?
35
?
x??
35< br>则
?
?
?
y
，解得
?
?
5
?
，或
?
?
5
.
?
x?
2
?< br>?
?
y?
65
?
5
?
?
y??65
5
于是
a?(
356
5
,
5
5< br>)
或
a?(?
35
5
,?
65
5
)
.
11、解：设与
a
垂直的单位向量
e?(x,y)
，
?
5
?
2
x?x??
5
则
?
?< br>x?y
2
?1
?
?
5
?
?
5
x?2y?0
，解得
?
或
?
4
.
?
?
?
?
y??
25
?
5
?
?
y?< br>25
5
于是
e?(
5
5
,?
255255
)
或
e?(?
5
,
5
)
.
2.4 B组（P108）
1、证法一：
a?b?a?c?a?b?a?c?0? a?(b?c)?0?a?(b?c)

证法二：设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
c?(x
3
,y
3
)
.
先证
a?b?a?c?a?(b?c)

a?b?x
1
x< br>2
?y
1
y
2
，
a?c?x
1
x< br>3
?y
1
y
3

由
a?b?a?c
得
x
1
x
2
?y
1
y
2
?x1
x
3
?y
1
y
3
，即
x
1
(x
2
?x
3
)?y
1
(y
2
? y
3
)?0
31
习题

而b?c?(x
2
?x
3
,y
2
?y
3
)
，所以
a?(b?c)?0

再证
a?(b?c)?a?b?a?c

由
a?(b?c)?0
得
x
1
(x
2
? x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0
，
即
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>?x
1
x
3
?y
1
y
3
，因此a?b?a?c

2、
cos?AOB?
OA?OB
OAOB< br>?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?< br>.
3、证明：构造向量
u?(a,b)
，
v?(c,d)
.
cos?u,v?

u?v?uv
，所以
ac?bd ?a
2
?b
2
c
2
?d
2
cos?u,v ?

∴
(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)cos
2
?u,v??(a2
?b
2
)(c
2
?d
2
)

4、
AB?AC
的值只与弦
AB
的长有关，与圆的半径无关.
证明：取
AB
的中点
M
，连接
CM
，
1
则
CM?AB
，
AM?AB

2
又AB?AC?ABACcos?BAC
，而
?BAC?
2
1
所以
AB?AC?ABAM?AB

2
C
AM
AC

A
M
（第4题）
B
5、（1）勾股定理：
Rt?ABC< br>中，
?C?90?
，则
CA?CB?AB

证明：∵
AB?CB?CA

∴
AB?(CB?CA)
2
?CB?2CA?CB?CA
.
由
?C?90?
，有
CA?CB
，于是
CA?CB?0

∴
CA?CB?AB

（2）菱形
ABCD
中，求证：
AC?BD

证明：∵
AC?AB?AD
，
DB?AB?AD,

∴
AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD)?AB?AD
.
∵四边形
ABCD
为菱形，∴
AB?AD
，所以
AB?AD?0

22
222
222
222
22

32

∴
AC?DB?0
，所以
AC?BD

（3）长方形
ABCD
中，求证：
AC?BD

证明：∵ 四边形< br>ABCD
为长方形，所以
AB?AD
，所以
AB?AD?0

∴
AB
2
?2AB?AD?AD
2
?AB
2
?2AB?AD?AD
2
.
∴
(AB?AD)
2
?(A B?AD)
2
，所以
AC
2
?BD
2
，所以
AC?BD

（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.
2．5平面向量应用举例
习题2.5 A组（P113）
1、解：设
P(x,y)
，
R(x
1
,y
1
)

则
RA?(1,0)?(x
1
,y
1
)?(1?x
1
,?y
1
)
，
AP?(x,y)?(1,0)?(x?1,0)

由
RA?2AP
得
(1?xx?1,y)
，即
?
?
x
1
??2x?3
1
,?y
1
)? 2(
?
y
1
??2y

代入直线
l
的方程得
y?2x
. 所以，点
P
的轨迹方程为
y?2x
.
A
2、解：（1）易 知，
?OFD
∽
?OBC
，
DF?
1
2
B C
,
所以
BO?
2
3
BF
.
D
F
O
AO?BO?BA?
2
3
BF?a?
2
3< br>(
1
2
b?a)?a?
1
3
(a?b)
< br>（2）因为
AE?
1
B
E
C
2
(a?b)< br>
（第2题）
所以
AO?
2AO
3
AE
， 因此
A,O,E
三点共线，而且
OE
?2

同理可知：BOCOAOBO
OF
?2,
OD
?2
，所以
OE?
OF
?
CO
OD
?2

3、解：（1）
v?v
B
?v
A
?(?2,7)
；
（2）
v
在
v
v?v
A
A
方 向上的投影为
v
?
13
5
.
A
（第4题） 4、解：设
F
1
，
F
2
的合力为
F
，
F
与
F
1
的夹角为
?
，
则
F?3?1
，
?
?30?
；
F
3< br>?3?1
，
F
3
与
F
1
的夹角为150°.
习题2.5 B组（P113）
1、解：设
v
0
在水平方向的速 度大小为
v
x
，竖直方向的速度的大小为
v
y
，
33

则
v
x
?v
0
c os
?
，
v
y
?v
0
sin
?
.
1
?
h?vtsin
?
?gt,(g为重力加速度)
0?
2
设在时刻
t
时的上升高度为
h
，抛掷距离为
s
，则
?

?
?
s?v
0
tcos?
2
2
2
所以，最大高度为
v
0
sin
?
sin2
?
2g
，最大投掷距离为
v
0
g.
2、解：设
v
1
与
v
2
的夹角为
?
，合速度为
v
，
v
2
与
v
的夹角为?
，行驶距离为
d
.
则
sin
?
?
v
1
sin
?
?
，
d?
0.5
v
v
?
10sin
v
sin
?
?
20sin
?
. ∴
d
v
?
1
20sin
?
.
所以当
?
?90?
，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
3、（1）
(0,?1)

解：设
P(x,y)
，则
AP?(x?1,y?2)
.
AB?(2,?22)
.
将
AB
绕点
A
沿顺时针 方向旋转
?
4
到
AP
，相当于沿逆时针方向旋转
7
4
?
到
AP
，
于是
AP?(2cos
7
4
?
?22sin
7
4
?
,2sin
7
4
?
?22cos
7
4
?
)?(?1,?3)
所以
?
?
x?1??1
，解得
x?
?
y?2? ?3
0,y??1

（2）
y??
3
2x

解：设曲线
C
上任一点
P
的坐标为
(x,y)
，
OP
绕
O
逆时针旋转
?
4
后，点
P的坐标为
(x
?
,y
?
)
?
x
??xcos
?
?ysin
?
?
?
x
2
则
?
?
?
44
?
?
?
2
(x?y )
?
??
，即
?
2

?
?
y?
?xsin
4
?ycos
?
4
?
?
y
?
?
2
(x?y)
又因为
x
?
2
?y
?
2
?3
，所以
1
2
(x?y)
2
?
1
2
(x?y)
2
?3
，化简得
y??
3
2x

复习参考题
A组（P118）
1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.
2、（1）
D
； （2）
B
； （3）
D
； （4）
C
； （5）
D
； （6）
B
.
3、
AB?
12
(a?b)
，
AD?
1
2
(a?b)

34


第二章

4、略解：
D E?BA?MA?MB??
21
3
a?
3
b

AD ?
2
3
a?
211
3
b
，
BC?
3
a?
3
b

EF??
1
3
a?
1
3
b
，
FA?DC?
1
3
a?
2
3
b

CD??
1
3
a?
2
3
b
，
AB?
21
3
a?
3
b

CE??a?b

5、（1）
AB?(8,?8)
，
AB?82
；
（2）
OC?(2,?16)
，
OD?(?8,8)
； （3）
OA?OB?33
.
6、
AB
与
CD
共线.
证明：因为
AB?( 1,?1)
，
CD?(1,?1)
，所以
AB?CD
. 所以
AB
与
CD
共线.
7、
D(?2,0)
. 8、
n?2
. 9、
?
??1,
?
?0
.
10、
cosA?34
5
,cosB?0,cosC?
5

11、证明：
(2n?m)?m?2n?m?m
2
?2cos60??1?0
，所以
(2n ?m)?m
.
12、
?
??1
. 13、
a?b?13
，
a?b?1
. 14、
cos?
?
519
8
,cos
?
?
20

复习参考题
B组（P119）
1、（1）
A
； （2）
D
； （3）
B
； （4）
C
； （5）
C
； （6）
C
； （7）
D
.
2、证明：先证
a?b?a?b?a?b
.
a?b?(a?b)
2
?a
2
?b
2
?2a?b
，
a?b?(a?b)
2
?a
2
?b
2
?2a? b
.
因为
a?b
，所以
a?b?0，于是
a?b?a
2
?b
2
?a?b
.
再证
a?b?a?b?a?b
.
由于
a?b?a
2
?2a?b?b
2
，
a?b?a
2
?2a?b? b
2

由
a?b?a?b
可得
a?b?0
，于是
a?b

所以
a?b?a?b?a?b
. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】
3、证明：先证
a?b?c?d

35
第二章

c?d?(a?b)?(a?b)?a?b

又
a?b
，所以
c?d?0
，所以
c?d

再证
c?d?a?b
.
由
c?d
得c?d?0
，即
(a?b)?(a?b)?a?b?0

所以
a?b
【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】
111
4、
AD?AB?BC?CD?a?b
，
AE?a?b

2
42
311111
而
EF?a
，
EM?a< br>，所以
AM?AE?EM?a?b?a?(a?b)

444242
P
3
22
22
5、证明：如图所示，
OD?OP
1
? OP
2
，由于
OP
1
?OP
2
?OP
3< br>?0
，
所以
OP
3
??OD
，
OD?1

所以
OD?OP

1
?PD
1
所以
?OP P
12
?30?
，同理可得
?OPP
13
?30?

P
1
O
P
2
（第5题）
D
所以
?P
3
PP
12
?60?
，同理可得
?PP
12< br>P
3
?60?
，
?P
2
P
3
P1
?60?
，所以
?PP
12
P
3
为正三角形 .
6、连接
AB
.
由对称性可知，
AB
是
?SMN
的中位线，
MN?2AB?2b?2a
.
7、（1）实际前进速 度大小为
4
2
?(43)
2
?8
（千米／时），
沿与水流方向成60°的方向前进；
（2）实际前进速度大小为
42
千米／时，
沿与水流方向成
90??arccos
6
的方向前进.
3
N
M
A
O
S
（第6题）
B
8 、解：因为
OA?OB?OB?OC
，所以
OB?(OA?OC)?0
，所以
OB?CA?0

同理，
OA?BC?0
，
OC?AB?0
，所以点
O
是
?ABC
的垂心.
9、（1 ）
a
2
x?a
1
y?a
1
y
0
? a
2
x
0
?0
； （2）垂直；
（3）当< br>A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
时，
l
1
∥
l
2
；当
A
1
A2
?B
1
B
2
?0
时，
l
1
?l
2
，
夹角
?
的余弦
cos
?
?

A
1
A
2
?B
1
B
2
A?B
2
12
1
A
2
?B
2
22
；
36

（4）
d?
Ax
0
?By
0
? C
A
2
?B
2





第三章 三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习（P127）
1、
cos(
?
2
?
?
)?cos
?
2
cos
?
?sin
?
2
sin
?
?0?cos
?
?1?sin
?
?sin
?
.

cos
?
(2?
?
?)co
?
s2
?
c?os
?
sin
?
2?s?in
?
?1?cos
?
?0
.
?
2、解：由
cos
?
??
3
5
,
?
?(
?
2
,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?
3
)
2
4
5
?
5
；
所以
cos(
?
4
?
?
)?cos
??
2
4
cos
?
?sin
4
sin?
?
2
?(?
3
5
)?
2
2
?
4
5
?
2
10
.
3、解：由
sin< br>?
?
15
，
?
是第二象限角，得
cos
?< br>??1?sin
2
?
??1?(
15
)
2
8
17
17
??
17
；
所以
cos (
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
??
8
?
1
?
15< br>?
3
?
?8?153
33317217234
.
4 、解：由
sin
?
??
23
?
25
3
,< br>?
?(
?
,
2
)
，得
cos
???1?sin
2
?
??1?(?
3
)
2
??
3
；
又由
cos
?
?
3
37
4
,
?
?(
3
?
2
,2
?
)
，得
sin
?
??1?cos
2
?
??1?(
4
)
2
??
4
.
所以
cos(?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
3
?(?
5
3
)?(?< br>7
4
)?(?
2?35?27
43
)?
12
.
练习（P131）
1、（1）
6?2
4
； （2）
6?26?2
4
； （3）
4
； （4）
2?3
.
2、解：由
cos
?
??
3,
?
?(
?
,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?
3
)
2
4
52
5
?
5
；
所以
sin(< br>?
?
???
41334?33
3
)?sin
?
cos
3
?cos
?
sin
3
?
5
?< br>2
?(?
5
)?
2
?
10
.
3、 解：由
sin
?
??
12
13
，
?
是第三 象限角，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?125
13
)
2
??
13
；

37

所以
cos(
?
6
?
?)?cos
?
6
cos
?
?sin
?
6
sin
?
?
3
2
?(?
5
13
)?1
2
?(?
12
13
)?
?53?12
26< br>.
tan
?
?tan
?
4、解：
tan(
?
?
?
4
4
)??
3?1
??2
. 1?tan
?
?tan
?
1?3?1
4
5、（1）1； （2）
1
3
2
； （3）1； （4）
?
2
；
（5）原式=
?(cos34?cos26?? sin34?sin26?)??cos(34??26?)??cos60???
1
2
；
（6）原式=
?sin20?cos70??cos20?sin70???(si n20?cos70??cos20?sin70?)??sin90???1
.
6、（1） 原式=
cos
?
3
cosx?sin
??
3
sin x?cos(
3
?x)
；
（2）原式=
2(
3
2
sinx?
1
2
cosx)?2(sinxcos
?
6
?cosxsin
?
6
)?2sin(x?
?
6
)
；
（3）原式=
2(
2
2
sinx?
22
cosx)?2(sinxcos
?
4
?cosxsin
?< br>4
)?2sin(x?
?
4
)
；
（4）原式=
22(
1
2
cosx?
3
2
sinx)?22(c os
?
3
cosx?sin
?
3
sinx)?22cos(
?
3
?x)
.
7、解：由已知得
sin(
??
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
) sin
?
?
3
5
，
即
sin[(
?
?
?
)?
?
]?
33
5
，sin(?
?
)?
5

所以
sin
?
??
3
5
. 又
?
是第三象限角，
于是
cos
?
??1 ?sin
2
?
??1?(?
3
)
2
??
4
55
.
因此
sin(
?
?
5?
4
)?sin
?
cos
5
?
4
?c os
?
sin
5
?
324272
4
?(?
5
)(?
2
)?(?
5
)(?
2
)?
10
.
练习（P135）
1、解：因为
8
?
?
?< br>?12
?
，所以
?
?
?
3
?
8?
2

sin
?
?
3
又由cos
?
8
??
4
5
，得
sin
?< br>8
??1?(?
43
?
8
5
)
2
? ?
5
，
tan
8
??
5
?
3

cos
?
8
?
4
4
5
所以
sin
?
4
?sin(2?
?
8
)?2sin?
8
cos
?
8
?2?(?
3424
5
)?(?
5
)?
25


co?
s
4
?cos?(
???
4
2
3
2
7
8
2?)
2
c
8
o?s
2
8< br>si?n?
5
(??
5
)(

?
25
)
38

3
2tan
2?
?

tan
??
8
4
?tan(2?
8
)??
4
?
3
?
16
?
24

1?tan
2?
1?(
3
4
)
2
277
8
2、解： 由
sin(
?
?
?
)?
3
，得
sin?
??
3
，所以
cos
2
?
?1?sin2
?
?1?(?
3
)
2
16
555
?
25

所以
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?
1637
25
?(?< br>5
)
2
?
25

3、解：由
sin2
?
??sin
?
且
sin
?
?0
可得
c os
?
??
1
2
，
又由
?
?(
?
2
,
?
)
，得
sin
?
?1?cos< br>2
?
?1?(?
1
2
)
2
?
32
，所以
tan
?
?
sin
?
cos
?
?
3
2
?(?2)??3
.
4、解：由
tan 2
?
?
1
3
，得
2tan
?
1
1 ?tan
2
?
?
3
. 所以
tan
2
?
?6tan
?
?1?0
，所以
tan
?
??3?1 0

5、（1）
sin15?cos15??
1
2
sin3 0??
1
4
； （2）
cos
2
?< br>8
?sin
2
?
8
?cos
?
4
?
2
2
；
（3）原式=
12tan22.5?11
2< br>?
1?tan
2
22.5?
?
2
tan45??2
； （4）原式=
cos45??
2
2
.
3.1 A组（P137）
1、（1）
cos(
3
?
2
?
?
)?cos
3
?
2
cos
?
?sin
3
?
2
sin
?
?0?cos
?
?(?1)?sin
?
??sin
?
；
（2）
sin (
3
?
2
?
?
)?sin
3
?
2
cos
?
?cos
3
?
2
sin
?
??1?cos
?
?0?sin
?
??cos
?
；
（3）
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
??1?cos
?< br>?0?sin
?
??cos
?
；
（4）
sin (
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?0?cos
?
?(?1)?sin
?
?sin
?
.
2、解：由
cos
?
?
3
5
,0?
?
?
?
，得
sin
?
? 1?cos
2
?
?1?(
34
5
)
2
?< br>5
，
所以
cos(
?
?
?
6
)?cos
?
cos
??
43
6
?sin
?
sin
6
?
5
?
2
?
3
5?
1
2
?
43?3
10
.
3、解：由
sin
?
?
2
3
,
?
?(
?
2
,
?
)
，得
cos
?
??1?sin
2< br>?
??1?(
25
3
)
2
??
3
，
又由
cos
?
??
3
4
,
?< br>?(
?
,
3
?
2
)
，得
sin?
??1?cos
2
?
??1?(?
3
)
2< br>7
4
??
4
，
所以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?< br>sin
?
??
532735?27
3
?(?
4
)?
3
?(?
4
)?
12
.
4、解：由
cos
?
?
1
，
?
是锐角，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(
1
)
2
43< br>7
7
?
7

39
习题

因为
?
,
?
是锐角，所以
?
?
?
?(0,
?
)
，
又因为
cos(
?
?
?
)??
11
14
，所以< br>sin(
?
?
?
)?1?cos
2
(
??
?
)?1?(?
11
)
2
53
14
?
14

所以
cos
?
?cos[(?
?
?
)?
?
]?cos(
?
?
?< br>)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?< br>
?(?
1115343
14
)?
7
?
14
?
7
?
1
2

5、解：由
60??
?
?150?
，得
90??30??
?
?180?

又由
sin(30??
?
)?
3
5
， 得
cos(30??
?
)??1?sin
2
(30??
?< br>)??1?(
34
5
)
2
??
5

所以
cos
?
?cos[(30??
?
)?30?]?cos(30 ??
?
)cos30??sin(30??
?
)sin30?
??
4
5
?
331?43?3
2
?
5
?
2
?
10

6、（1）
?
6?2
4
； （2）
?
2?6
4
； （3）
?2?3
.
7 、解：由
sin
?
?
2
3
,
?
?(
?
2
,
?
)
，得
cos
?
??1?si n
2
?
??1?(
25
3
)
2
??
3
.
又由
cos
?
??
3
4
，
?
是第三象限角，得
sin
?
??1?cos
2
?
??1?(?
37
4
)
2
??
4
.
所 以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

??
5327
3< br>?(?
4
)?
3
?(?
4
)

?
35?27
12

sin(
?
?
?)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?< br>
?
2
3
?(?
3
4
)?(?
5< br>3
)?(?
7
4
)

?
?6?35
12

8、解：∵
sinA?
513
,cosB?
3
5
且
A,B
为
?ABC< br>的内角
∴
0?A?
?
,0?B?
?
124
2
，
cosA??
13
,sinB?
5

当
cosA??
12
13
时，
sin(A?B) ?sinAcosB?cosAsinB

?
5312433
13
?
5
?(?
13
)?
5
??
65
?0


40

A?B?
?
，不合题意，舍去
∴
cosA?
124
13
,sinB?
5

∴
cosC??cos(A?B)??(cosAcosB?sinAsinB)
< br>?(
1235
13
?
5
?
13
?
4
5
)??
16
65

9、解：由
sin
?
?
3
34
5
,
?
?(
?
2
,
?
)
，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?()
2
5
??
5
.
∴
tan
?
?
sin
?
cos
?
?
3
5< br>?(?
5
4
)??
3
4
.
3
∴< br>tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan?
?
4
?
1
2
1?tan
?
?tan
?
???
2
.
1?(?
3
)?
1
11
42
?
3
?
1

tan(
??
?
)?
tan
?
?tan
?
42
1 ?tan
?
?tan
?
???2
.
1?(?
3< br>4
)?
1
2
10、解：∵
tan
?
,tan
?
是
2x
2
?3x?7?0
的两个实数根.
∴< br>tan
?
?tan
?
??
3
2
，
t an
?
?tan
?
??
7
2
.
?
3
∴
tan(
?
?
?
)?
tan
??tan
?
2
1
1?tan
?
?tan
????
.
1?(?
7
2
)
3
11、解：∵< br>tan(
?
?
?
)?3,tan(
?
?
?< br>)?5

∴
tan2
?
?tan[(
?
?< br>?
)?(
?
?
?
)]?
tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)
1?tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)
?
3?5
1?3?5
??
4
7

tan2
?
?tan[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?)
3?51
1?tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)
?
1?3?5
??
8

12、解：∵
BD:DC:AD?2:3:6

B
∴
tan
?
?
BD1DC1
AD
?
3
,tan
?< br>?
AD
?
2

D
1
∴
tan?BA C?tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?
1
1?tan
?
?tan
?
?
32
?1

1?
11
α
3
?
2
又∵< br>0???BAC?180?
，∴
?BAC?45?

A
β
（第12题）
C
13、（1）
65sin(x??
?
x
?
2
6
)
； （2）
3sin(
3
?x)
； （3）
2sin(
2
?
6
)
； （4）
2
sin(
7
?
12
?x)
；
41

（5）
2
1
； （6）； （7）
sin(
?
?
?
)
； （8）
?cos(
?
?
?
)
； （9）
?3
； （10）
tan(
?
?
?
)
.
2
214、解：由
sin
?
?0.8,
?
?(0,
?
2
)
，得
cos
?
?1?sin
2
?
? 1?0.8
2
?0.6

∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?0.8?0.6?0.96

cos2< br>?
?cos
2
?
?sin
2
?
?0.62
?0.8
2
??0.28

15、解：由
cos?
??
3
3
,180??
?
?270?
，得< br>sin
?
??1?cos
2
?
??1?(?
363
)
2
??
3

∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?(?
63
3
)?( ?
3
)?
22
3

cos2
?
?cos< br>2
?
?sin
2
?
?(?
3
)
2< br>?(?
6
33
)
2
??
1
3
tan2
?
?
sin2
?
cos2
?
?
22
3
?(?3)??22

16、解：设
sinB?sinC?
512
13
，且
0??B?90?
，所以
cosB?
13
.
∴
sinA?sin(180??2B)?sin2B?2sinBcos B?2?
5
13
?
12120
13
?
169

cosA?cos(180??2B)??cos2B??(cos
2
B?sin
2
B)??((
12
)
2
?(
5
)
2
119
1313
)??
169

tanA?
s inA
cosA
?
120
169
?(?
169120
119
)??
119

2?
113
17、解：
t an2
?
?
2tan
?
3tan
?
?
?< br>1?tan
2
?
?
3
?
，
tan(
?
?2
?
)?
tan2
?
?tan
?
?t an2
?
?
74
?1
.
1?(
1
3)
2
41
1?
1
7
?
3
4
1 8、解：
cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(< br>?
?
?
)sin
?
?
1
3
?
cos[(
?
?
?
)?
?
]?
11
3< br>，即
cos
?
?
3

又
?
?(3
?
2
,2
?
)
，所以
sin
???1?cos
2
?
??1?(
122
3
)
2
??
3

∴
sin2
?
?2sin
?cos
?
?2?(?
221
3
)?
3
??42
9

cos2
?
?cos
2
?
? sin
2
?
?(
1
3
)
2
?(?
22
2
7
3
)??
9

∴
cos(2?
?
?
4
)?cos2
?
cos
?
4
?sin2
?
sin
?
72
4
??
9?
2
?(?
42
9
)?
2
2
?
?72?8
18

19、（1）
1?sin2
?
； （2）
cos2
?
； （3）
1
4
sin4x
； （4）
tan2
?
.
3.1 B组（P138）
1、略. < br>2、解：∵
tanA,tanB
是
x
的方程
x
2?p(x?1)?1?0
，即
x
2
?px?p?1?0
的两个实 根
42
习题

∴
tanA?tanB??p，
tanA?tanB?p?1

∴
tanC?tan[
??(A?B)]??tan(A?B)
??
由于
0?C?
?
，所 以
C?
tanA?tanB?p
????1

1?tanA?tanB1?(p?1)
3
?
.
4
3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）
3
（证明略）
4
本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：
3
sin
2
(
?
?30?)?cos
2
?
?sin(
?
?30?)cos
?
?

4
3
sin
2
(
?
?15?)?cos
2
(
?
?15?)?s in(
?
?15?)cos(
?
?15?)?

4
3
sin
2
?
?cos
2
?
?sin
?< br>cos
?
?
，其中
?
?
?
?30?
，等等
4
思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对
认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.
sin
2
?
?cos
2
(
?
?30?)?sin
?cos(
?
?30?)?
2222
4、因为
PA?PP
12
，则
(cos(
?
?
?
)?1)?sin(
?
?
?
)?(cos
?
?cos
?
)?(sin?
?sin
?
)

即
2?2cos(
?
?
?
)?2?2cos
?
cos
?
?2sin
?
sin
?

所以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

3．2简单的三角恒等变换
练习（P142）
1、略. 2、略. 3、略.
1
?
?
k
??
k
?
1
4、（1）
y?sin4x
. 最小正周期为，递增区间为
[??,?],k?Z
，最大值为；
282822
2
（2）
y?cosx?2
. 最小正周期为
2
?
，递增区间为
[
?
?2k
?
,2
?< br>?2k
?
],k?Z
，最大值为3；
?
?
5
?
k
??
k
?
（3）
y?2sin(4x?)
. 最小正周期为，递增区间为
[??,?],k?Z
，最大值为2.
3242242
2
习题3.2 A组（ P143）
1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略；
（4）提示：用
sin< br>2
?
?cos
2
?
代替1，用
2sin
?< br>cos
?
代替
sin2
?
；
（5）略； （ 6）提示：用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
；
（7）提示：用
2sin
2
?
代替
1?cos2
?
，用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
； （8）略.
11
2、由已知可有
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
……①，
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
…… ②
23
（1）②×3－①×2可得
sin
?
cos
??5cos
?
sin
?

（2）把（1）所得的两边同除以cos
?
cos
?
得
tan
?
?5tan?


43

注意：这里
cos
?cos
?
?0
隐含与①、②之中
1
2?(?)
12tan
?
4
2
3、由已知可解得
tan
?
? ?
. 于是
tan2
?
?

???
1?tan2
?
1?(?
1
)
2
3
2
2
1
??1
?
1
4
?
2
tan(
?
?)??

4
1?tan
?
?tan
?
1?(?< br>1
)?1
3
42
tan
?
?tan
?
?
∴
tan2
?
??4tan(
?
?)

4
4、由已知可解得
x?sin
?
，
y?cos
?
，于是
x
2
?y
2
?sin
2
?
?co s
2
?
?1
.
?
?
?
k
?7
?
k
?
5、
f(x)?2sin(4x?)
，最小正 周期是，递减区间为
[?,?],k?Z
.
3242242
2
习题3.2 B组（P143）
1、略.
2 、由于
76?2?7?90
，所以
sin76??sin(90??14?)?cos 14??m

即
2cos
2
7??1?m
，得
cos7??
3、设存在锐角
?
,
?
使
?
?2?
?
m?1

2
2
?
??
?
，所以
?
?
?
，
tan(?
?
)?3
，
232
3
又
tan
?
，
tan
?< br>?2?3
，又因为
tan(?
?
)?
?
2
2
1?tantan
?
2
?
tan
?
2
?t an
?
所以
tan
?
?tan
?
?tan(??
)(1?tantan
?
)?3?3

222
??
由此可解得
tan
?
?1
，
?
?
经检验
?
?
?
4
，所以
?
?
?
6
.
?
6
，
?
?
?
4
是符合题意的两锐角.
11
4、线段
AB
的中点
M
的坐标为
((cos< br>?
?cos
?
),(sin
?
?sin
?
) )
. 过
M
作
MM
1
垂直于
x
轴，交x
轴
22
11
y
于
M
1
，
? MOM
1
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
?
?
)
.
22
B
?
?
??< br>?
?
C
在
Rt?OMA
中，
OM?OAcos
.
?cos
M
22
A
?
?
??
??
在
Rt?OM
1
M
中，
OM
1
?O Mcos?MOM
1
?cos
，
cos
22
O
M
1
x
44

（第4题）

?
?
??
?
?
M1
M?OMsin?MOM
1
?sin
2
cos
2.
于是有
1
2
(cos
?
?cos
?)?cos
?
?
??
?
?
2
cos
2
，
1
2
(sin
?
?sin
?
)?si n
?
?
??
?
?
2
cos
2
< br>5、当
x?2
时，
f(
?
)?sin
2
?< br>?cos
2
?
?1
；
当
x?4
时，
f(
?
)?sin
4
?
?cos
4
??(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
? 2sin
2
?
cos
2
?

?1?
12
sin
2
2
?
，此时有
1
2
≤f(
?
)≤1
；
当
x?6
时，
f(
?
)?sin
6
?
?cos
6
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
3
?3sin
2?
cos
2
?
(sin
2
?
?cos
2
?
)
?1?
3
4
sin
2
2
?
，此时有
1
4
≤f(
?
)≤1
；
由此猜想，当
x?2k,k?N
1
?
时，
2
k?1
≤f(
?
)≤1

6、（1）
y?5(
3
5
sinx?
4
5
cosx)?5sin(x?
?
)
，其中
cos
?
?
34
5
,sin
?
?
5

所以，
y
的最大值为5，最小值为﹣5；
（2 ）
y?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
，其 中
cos
?
?
a
a
2
?b
2
,s in
?
?
b
a
2
?b
2

所以，
y
的最大值为
a
2
?b
2
，最小值为
?a
2
?b
2
；
复习参考题
A组（P146）
1、
16
65
. 提示：
?
?(
?
?
?
)?
?

2、
565
??
65
. 提示：
sin(
?
?
?
)??sin[
?
?(
?
?
?
)] ??sin[(
4
?
?
)?(
4
?
?
)]

3、1.
4、（1）提示：把公式
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
变形；
（2）
3
； （3）2； （4）
?3
. 提示：利用（1）的恒等式.
5、（1）原式=
co s10??3sin10?4sin(30??10?
sin10?cos10?
?
)
sin20?
?4
；
（2）原式=
sin40?(
s in10?
cos10?
?3)?sin40??
sin10??3cos10?cos10?

=
?2sin40?cos40??sin80?
cos 10?
?
cos10?
??1
；
45

第三章

（3）原式=
tan70?cos10?(3sin20?
cos20?
?1)?tan70?cos10??
3sin20 ??cos20?
cos20?

=
sin70??2sin10??sin 20?
cos70?
?cos10??
cos20?
?
cos70?
??1
；
（4）原式=
sin50??(1?
3sin10?
cos10?
)?sin50??
cos10??3sin10?
cos10 ?

?sin50??
2cos50?sin100?
cos10?
?
cos10?
?1

6、（1）
9
5
； （2）
24
25
；
（3）
?
22
. 提示：
sin
4
?
?cos
4
?
?(sin
2< br>?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?
cos
2
3
?
；
（4）
17
25
.
7、由已知可求得
cos
?
c os
?
?
2
5
，
sin
?
sin
?
?
1
5
，于是
tan
?
tan
?
?
sin
?
sin
?
cos
?
cos
?
?
1
2
.
8、（1）左边=
2cos
2
2
?
?1?4cos2
?
?3?2(cos
2
2
?
?2cos2
?
?1)

?2(cos2
?
?1)
2
?2(2cos
2
?
)
2
?8cos
4
?
=右边
（2）左边=
sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
2cos
2< br>?
?2sin
?
cos
?
?
(sin
??cos
?
)
2
2cos
?
(cos
?
?sin
?
)

?
sin
?
?cos
?
2cos
?
?
1
2
tan
?
?
1
2
=右边
（3）左边=
sin(2
?
?
?< br>)?2cos(
?
?
?
)sin
?
sin[(
?
?
?
)?
?
]
sin
?
?
? 2cos(
?
?
?
)sin
?
2cos
?
(cos
?
?sin
?
)

?
sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
sin
?
?
sin
?
sin
?
=右边
（4）左边=
3?4cos2A?2cos
2
2A? 1
3?4cos2A?2cos
2
2A?1
?
2(cos
2
2A?2cos2A?1)
2(cos
2
2A?2cos2A?1)

?
(1?cos2A)
2
(2sin
2
A
(1?c os2A)
2
?
)
2
(2cos
2
A)
2
?tan
4
A
=右边
9、（1）
y?1?sin2x?1 ?cos2x?sin2x?cos2x?2?2sin(2x?
?
4
)?2

递减区间为
[
?
8
?k
?
,
5
?
8
?k
?
],k?Z

（2）最大值为
2?2
，最小值为
2?2
.
10、
f(x )?(cos
2
x?sin
2
x)(cos
2
x?sin< br>2
x)?2sinxcosx?cos2x?sin2x?2cos(2x?
?
4
)
（1）最小正周期是
?
；
46

?
??
5
?
?
3
?
（ 2）由
x?[0,]
得
2x??[,]
，所以当
2x??
?
，即
x?
时，
f(x)
的最小值为
?2
.
24444
8
f(x)
取最小值时
x
的集合为
{
3
?
8
}
.
11、
f(x)?2sin
2
x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x?2sin(2x?
?
4
) ?1

（1）最小正周期是
?
，最大值为
2?1
；
（2）
f(x)
在
[?
?
2
,
?2
]
上的图象如右图：
12、
f(x)?3sinx?cosx?a? 2sin(x?
?
6
)?a
.
（1）由
2?a?1
得
a??1
；
（2）
{x2k< br>?
≤x≤
2
?
3
?2k
?
,k?Z}
.
（第12（2）题）
13、如图，设
?ABD?
?
，则
?CAE?
?
，
E
C

AB?
h
2
h
sin
?
，
AC?
1
cos
?

h
1
l
1
A
所以
S
1hh
?
?ABC
?
2
?AB?AC?
12
sin2
?
，
(0?
?
?
2
)

h
2
当
2
?
?
?
?
2< br>，即
?
?
4
时，
S
?ABC
的最小值为h
1
h
2
.
D
?
B
l
2
复习参考题
（第13题）
B组（P147）
?
1、解法一：由
?
?
sin
?
?cos
?
?
1
5
，及
0≤
?
≤
?
，可解得
sin
4
?
?
?
，
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
5

cos
?
?sin
?
?
13247
5
?
5
，所以
sin2
?
?
25
，
cos2
?
??
25
，
sin(2
?
?
?
4
)?sin2
?
cos
??
312
4
?cos 2
?
sin
4
?
50
.
解法二：由
sin
?
?cos
?
?
1
得
(sin
?
?cos
?
)
2
12449
5
?
25
，
sin2
?
?
25
，所以
cos
2
2
?
?
625
.
又由
sin
?
?cos
?
?
1
5
，得
sin(
??
?
2
4
)?
10
.
因为
?
?[0,
?
]
，所以
?
?
??
3
?4
?[?
4
,
4
]
.
而当
?
?
??
?
4
?[?
4
,0]
时，
sin (
?
?
4
)≤0
；
当
?
?
?< br>4
?[
?
4
,
3
?
4
]
时 ，
sin(
?
?
?
2
4
)≥
2
?
2
10
.
所以
?
?
??
??
4
?(0,
4
)
，即
?
?(
4
,
2
)

47
第三章

所以
2
?
?(
?
2
,
?
)
，
cos2
?
??
7
25
.
sin(2
?
?
?
312
4
)?
50

2、把
cos
?
? cos
?
?
1
2
两边分别平方得
cos
2
?
?cos
2
?
?2cos
?
cos
?
?
1
4

把
sin
?
?sin
??
1
3
两边分别平方得
sin
2
?
?sin< br>2
?
?2sin
?
sin
?
?
1
9

把所得两式相加，得
2?2(cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
)?
13
36
， 即
2?2cos(
?
?
?
)?
13
36
，所以
cos(
?
?
?
)??
59
72

3、由
sin(
?
?
?
3
)?sin
?< br>??
4333
5
可得
2
sin
?
?2
cos
?
??
43
5
，
sin(
?
?
?
6
)??
4
5
.
又
?
?
2
?
?
?0
，所以
?
???
?
3
3
?
?
?
6
?
6
，于是cos(
?
?
6
)?
5
.
所以
cos
?
?cos[(
?
?
??
33?4
6)?
6
]?
10

4、
sin2x?2sin
2
x2sinxcosx?2sin
2
x2sinxcosx(cosx
1? tanx
?
?sinx)
1?
sinx
?
cosx?sin x

cosx
?sin2x
1?tanx
?
1?tanx< br>?sin2xtan(
4
?x)

由
17
?< br>12
?x?
7
?
4
得
5
?
3
?x?
?
?
3
4
?2
?
，又
cos(< br>4
?x)?
5
，
所以
sin(
?
4
4
?x)??
5
，
tan(
?
4
?x)? ?
4
3

所以
cosx?cos[(
?
4< br>?x)?
?????
2
4
]?cos(
4
?x)co s
4
?sin(
4
?x)sin
4
??
10
，
sinx??
72
7
sin2x?2sin
2
x10
，
sin2x?2sinxcosx?
25
, 所以
1?tanx
??
28
75
，
5、把已知代入
sin
2
?
?cos
2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
?2sin
?
cos
?
? 1
，得
(2sin
?
)
2
?2sin
2
?
?1
.
变形得
2(1?cos2
?
)?(1?co s2
?
)?1
，
2cos2
?
?cos2
?
，
4cos
2
2
?
?4cos
2
2
?< br>
本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含
?
的三角函数.
考 虑
sin
?
?cos
?
，
sin
?
cos
?
这两者又有什么关系？及得上解法.
5、6两题上述解法称为消去法
6 、
f(x)?3sin2x?1?cos2x?m?2sin(2x?
?
6
) ?m?1
.
由
x?[0,
?
2
]
得2x?
?
6
?[
?
6
,
7
?
6
]
，于是有
2?m?1?6
. 解得
m?3
.

f(x)?2sinx(?2
?
6
?)x?4(R
的最小值为
)
?2?4?2
，
此时
x
的取值集合由
2x?
?
6
?
3
?
2
?2k
?
(k?Z)
，求得为
x?
2
?
3
?k
?
(k?Z)

48

7、设
AP?x
，
AQ?y
，
?BCP?
?
，
?DCQ?
?
，则
tan?
?1?x
，
tan
?
?1?y

于是
tan(
?
?
?
)?
2?(x?y)
(x?y)? xy

又
?APQ
的周长为2，即
x?y?x
2?y
2
?2
，变形可得
xy?2(x?y)?2

于是
tan(
?
?
?
)?
2?(x?y)
(x?y )?[2(x?y)?2]
?1
.
又
0?
?
?
?
?
?
2
，所以
?
?
?
?
?4
，
?PCQ?
?
2
?(
?
?
?)?
?
4
.
?
8、（1）由
?
?
s in
?
?cos
?
?
1
5
，可得
25si n
2
?
?5sin
?
?12?0

?
?< br>sin
2
?
?cos
2
?
?1
解得
sin
?
?
43
5
或
sin
?
? ?
5
（由
?
?(0,
?
)
，舍去）
所以
cos
?
?
1
5
?sin
?
??3
5
，于是
tan
?
??
4
3

（2）根据所给条件，可求得仅由
sin
?
,cos
?
,tan
?
表示的三角函数式的值，
例如，
sin(
?
?
?
sin
?
?cos
?
sin
?
?cos
?
3
)
，
cos2
?
?2
，
2t an
?
，
3sin
?
?2cos
?
，等等.
49