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高一数学必修四总复习试题和答案
高一数学必修四总复习试题及答案
第1题.已知
A
0)B(0,,3)C(cos<
br>?
,sin
?
)
,其中
,B,C
三点的坐标分别是<
br>A(3,,
(1)若
AC?BC
,求
?
的值;
π3π
.
?
?
?
22
2sin
2
?
?sin2
?
·BC??1
,求(2)若
AC
的值.
1?tan
?
解:(1)有
A(3,,0)B(0,,3)C(cos
?
,sin
?
)
.
AC?(cos
?
?3,s
in
?
)
,
BC?(cos
?
,sin
?
?3)
.
AC?BC
,
?(cos
?
?3)
2<
br>?sin
2
?
?cos
2
?
?(sin
?<
br>?3)
2
,
?cos
?
?sin
?
,?tan
?
?1
.
π3π
5π
,
?
?
?
.
?
?<
br>?
224
·BC?(cos
?
?3,sin
?
)(c
os
?
,sin
?
?3)
(2)由(1)知
AC
?(cos
?
?3)·cos
?
?sin
?
·(sin?
?3)
?cos
2
?
?3cos
?
?sin
2
?
?3sin
?
1?3(cos
?
?sin
?
)
,
AC·BC?
?1
,
?1?3(cos
?
?sin
?
)??1
,
2
?cos
?
?sin
?
?
.
3
5
平方,得
2sin
?
cos
?
??
,
9
2sin
2
?
?sin2
?
2sin
2
?
?2sin
?
cos
?
2sin
?
(sin<
br>?
?cos
?
)5
????2sin
?
cos
?
??
.
sin
?
cos
?
?sin
?
1?tan
?
9
1?
cos
?
cos
?
第2题.向量
e
1
,e
2
是夹角为
60
的两个单位向量,求向量
a?2e
1
?e
2
与
b?
?3e
1
?2e
2
的夹角.
7
·e
2
?
3e
1
·e
2
?2e
2
2
??4?e
1<
br>e
2
cos60??
, 解:
a·b?(2e
1
?e
2
·)(?3e
1
?2e
2
)
??6e
1
2
?4e
1
2
a?2e
1
?e
2
?(2e
1
?e
2
)
2
?4e
1
2
?e
2
2
?4e
1
·e
2
?5?4cos60?
7
,
b??3e
1
?2e
2
?(?3e
1
?2e
2
)
2
?9e
1
2
?4e
22
?12e
1
·e
2
?13?12cos60?7
.
7
a·b
2
??
1
. 夹角
?
满足
cos
?
??
ab2
7?7
?
?
向量
a
与
b
的夹角为
120
.
第3题.我们知道,函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等,请你选择
1
6
高一数学必修四总复习试题和答案
适当的顺序探究函数
f(x)
?1?sinx?1?sinx
的性质,并在此基础上,作出函数
f(x)
在
[?π,π]
上的图象.
?
1?sinx
≤
0,
解:①
?
1?s
inx
≥
0,
?
?f(x)
的定义域为
R
; ②
f(?x)?1?sin(?x)?1?sin(?x)
?1?sinx?1?sinx
?f(x)
,
?f(x)
为偶函数.
③
f(x?π)?f(x)
,
?f(x)
是周期为
π
的周期函数;
④
xx
?<
br>xx
?
xxxx
??
f(x)?
?
sin?cos<
br>?
?
?
sin?cos
?
?sin?cos?sin?cos
,
2
?
2
?
2222
?
2
?<
br>2
22
x
?
π
?
?
当
x?
?
0,
?
时,
f(x)?2cos
;
2
?
2
?
x
?
π
?
当
x?
?
,π
?
时,
f(x)?2sin
.
2
?
2?
?
π
?
?
当
x?
?
0,
?
时,
f(x)
单调递减,
?
2
?
?
π<
br>?
当
x?
?
,
π
?
时,
f(x)<
br>单调递增.
?
2
?
又
f(x)
是周期为
π
的偶函数,
π
??
?f(x)
在
?
k
π
,k
π
?
?
(
k?Z
)
上单调递减.
2
??
x
?
π
?
⑤当
x?
?
0,
?时,
f(x)?2cos?[2,2]
;
2
?
2
?<
br>x
?
π
?
当
x?
?
,
π
?
时,
f(x)?2sin?[2,2]
,
2
2
??
2]
;
?f(x)
的值域为
[
2,
由以上性质可得
f(x)
在
[?π,π]
上的图象如图所示.
y
2
?π
π
?
2
O
π
2
π
x
2 6
高一数学必修四总复习试题和答案
π
?
3
π3π
?
第4题.已知
cos
?
?
?
?
?
,
≤
?
?
,则
cos
??
.
45
22
??
答案:
?
2
10
第5题.给出下列命题:①存在实数
x
,使
sinx?cosx?
π
;②若
?
,
?
是锐角
△
ABC
的内
3
7π
?
π
?
2
角,则
sin
?
?cos
?
;③函数
y?sin
?
x?
?
是偶函数;④函数
y?sin2x
的图象向右平
2
?2
?
3
移
π
?
π
?
个单位长度,得到
y?sin
?
2x?
?
的图象.
4
?
4
?
其中正确命题的序号是 .
答案:①②③
第6题.
tan29?tan31?3tan29·tan31?
.
答案:
3
第7题.函数
y?
?
4
?
答案:
?
?,0
?
3
??
π
??
1
第8题.要由函数
y?sin
?
x??
的图象得到函数
y?sinx
的图象,下列变换正确的是
6
?
?
2
( )
cosx?1
的值域是 .
sinx?2
A.向左平移
B.向左平移
C.向右平移
D.向右平移
π
个
单位长度,再将各点横坐标变为2倍
6
π
1
个单位长度,再将各点横坐标变为
62
π
个单位长度,再将各点横坐标变为2倍
3
π
1
个单位长度,再将各点横坐标变为
32
答案:D
第9题.已知函数
f(x)?a(sinx?cosx)?b
,若
a?0
,且
x?[0,π]
时,
f(x)
的值域是
[3,4
]
,
则
a,b
的值分别是( )
5?2
A.
?1?2,
2?2
C.
?1?2,
5?2
B.
1?2,
2?2
D.
1?2,
答案:B
3 6
高一数学必修四总复习试题和答案
第10题.定义在
R<
br>上的函数
f(x)
,既是偶函数又是周期函数,若
f(x)
的最小正周
期是
π
,
?
π
?
且当
x?
?
0,
?
时,
f(x)?sinx
,则
?
2
?
?
5π
?
f
??
的值为( )
?
3
?
1
A.
?
2
答案:B
B.
3
2
C.
?
3
2
D.
1
2
132tan131?cos50
sin6,b?,c?
第11题.设
a?cos6?
,则有( )
221?tan
2
132
A.
a?b?c
B.
a?b?c
C.
b?c?a
D.
a?c?b
答案:D
第12题.在平面上,已知点
A(21),,B(0,,2)C(?21),,O(0,0)
,给出下面的结论:①
AB?
CA?BC
;②
OA?OC?OB
;③
AC?OB?2OA
.其中正
确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
答案:B
第13题.2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图1所
示,它
是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角
三角形中较小
的锐角为
?
,大正方形的面积是1,小正方形的面积是
sin
2
?<
br>?cos
2
?
的值等于( )
24
A.1
B.
?
25
1
,则
25
C.
7
25
D.
?
7
25
答案:D
sin75)
,
b
?(cos1
5,sin15)
,则
a?b
的值为( )
第14题.已知向量
a
?(cos75,
1
2
答案:D
A.B.
2
2
C.
3
2
D.1
1
第15题.若
?
为三角形的内角,且
sin
?
?cos
?
??
,则
tan2
?
等于( )
5
24
7
答案:B
A.B.
?
24
7
C.
?
24
7
D.
7
24
1
第16题.已知
M(3,?2),N(?5,?1)
,且
MP?MN
,则
P
点坐标为( )
2
4 6
高一数学必修四总复习试题和答案
A.
(?81),
答案:B
3
??
B.
?
?1,?
?
2
??
?
3
?
C.
?
1,
?
?
2
?
D.
(8,?1)
第17题.已知a?1
,
b?2
,
a
与
b
的夹角为
6
0
,
c?3a?b
,
d?
?
a?b
,若
c
?d
,则
实数
?
的值为( )
7
2
答案:C
A.
7
B.
?
2
C.
7
4
7
D.
?
4
sin2x?2sin
2
x
7π
?
π
?
3
17π
第18题.若
cos
?
?x
?
?
,,求的值.
?x?
1?tanx<
br>124
?
4
?
5
2sinxcosx?2sin
2<
br>x1?tanx
?
π
?
解:原式
??sin2x·?sin2
x·tan
?
?x
?
,
1?tanx1?tanx
?4
?
17π7π5ππ
,
???x?2π
.
?x?<
br>12434
?
π
?
3
又
cos
?
?
x
?
?
,
?
4
?
5
44
?π
??
π
?
?sin
?
?x
?
??<
br>,
tan
?
?x
?
??
,
53
?
4
??
4
?
?
π
??
π
?
7
,
sin2x??cos
?
?2x
?
?1?2cos
2
?
?x
?
?
2425
????
故原式<
br>?
7
?
4
?
28
?
?
?
?
??
.
25
?
3
?
75
第1
9题.某船以6kmh的速度向东航行,船上有人测得风自北方来;若船速加倍,则测得
风自东北来,求
风速大小.
解:分别取正东、正北方向为
x
轴,
y
轴,建立直角坐
标系,令
x
轴,
y
轴正方向上的单位
向量分别为
i,j,并设表示风速的向量为
x
i?
y
j
,起初船速为
6i
,船上的人测得的风速
为
?p
j
(p?0)
,则
x
i?
y
j
?6i
??p
j
,可解得
x?6
.
后来船上的人测得风速为
?q
(i?j)
(q?0)
,
?
x
i?
y
j
?12i
??q
(i?j)
,
于是
x?12?y??q??6
,
?
表示风速的向量为
6i?6j
,
风速大小为
6i?6j?62
kmh.
即所求风速为
62
kmh.
1
??
3
第20题.已知
f(
?
)??cos2
?
?4asincos?a<
br>2
?2a?
,若
f(
?
)
的最小值为
g(a
)
.
2222
(1)求
g(a)
的表达式;
(2)当
g(a)?2
时,求
a
的值.
5 6
高一数学必修四总复习试题和答案
解:(1)
f(
?
)?
1?cos2
?
?2asin
?
?a
2
?2
a?1
2
?sin
2
?
?2asin
?
?a
2
?2a?1?(sin
?
?a)
2
?2a?1
,
若
?1
≤
a
≤
1
,则当
sin?
?a
时,
g(a)?2a?1
;
若
a?1
,则当
sin
?
?1
时,
g(a)?a
2
?2;
若
a??1
,则当
sin
?
??1
时,<
br>g(a)?a
2
?4a?2
,
?
a
2
?4a?2,a??1,
?
?g(a)?
?
2a?1,
?1
≤
a
≤
1,
?
2
a?1.
?
a?2,
(2)当
a??1
时,令
a
2
?4a?2?2
,得
a??4
或
a?0
(舍去). 1
当
?1
≤
a
≤
1
时,令
2a?1?
2
,得
a?
;
2
当
a?1
时,令
a2
?2?2
,得
a?0
(舍去).
1
综上所述,当<
br>g(a)?2
时,
a??4
或
a?
.
2
?
π
?
第21题.已知函数
f(x)?x·sinx
,则<
br>f
?
?
?
,
f(1)
及
?
4
?
?
π
?
A.
f
?
?
?
?f(
1)?
?
4
?
?
π
?
C.
f
??
?f(1)?f
?
3
?
?
π
?
f
??
?
3
?
?
π
?
?
?
?
?
4
?
?
π
?
f
??
的大小关系
为( )
?
3
?
?
π
??
π
?
B.
f(1)?f
??
?f
?
?
?
?
3
??
4
?
?
π
??
π
?
D.
f
??
?f
?
?
?
?f(1)
?
3
??
4
?
答案:C
第22题.<
br>△ABC
中
D
为
BC
边的中点,已知
AB?
a
,
AC?
b
,则在下列向量中与
AD
同
向的向量
是( )
a?bab
A. B.
?
a?bab
答案:A
ab
?
ab
C. D.
ba?ab
6 6