苏教版高中数学必修4知识梳理

高中数学必修 4

第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转 形成的角

?
?
零角:不作任何旋转形成的角
2、角
?的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几象限角．
第一象限角的集合为
?
k?360
?
?< br>?
?k?360
?
?90
?
,k??

第二象限角的集合为
?
k?360?90?k?360?180,k??
< br>第三象限角的集合为
?
k?360?180?
?
?k?360?270 ,k??

第四象限角的集合为
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??

终边在
x
轴上的角的集合为
??
?k?180,k??
< br>终边在
y
轴上的角的集合为
??
?k?180?90,k??

终边在坐标轴上的角的集合为
??
?k?90,k??


??
?
????
?
?
????
?
?
??? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?

?
2

?
?
Ⅰ
?
?
Ⅱ
?
?
Ⅲ
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅰ、Ⅲ
?
2
?
2
?
Ⅱ、Ⅳ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
?
Ⅳ

?
2
3、与角
?
终边 相同的角的集合为
??
?k?360?
?
,k??

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数 的绝对值是
?
?
?
?
?
?
?
l
r
．
?
180
?
?
?57.3
6、弧度制与角度制 的换算公式：
2
?
?360
，
1?
，
1?
?
．
?
180
?
?
?
?
?

1

7、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C< br>，面积为
S
，则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?
1
2
lr?
1
2
?
r
． < br>2
8、设
?
是一个任意大小的角，它与原点的距离是
rr?
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，
则
sin
?
?
y
r
?
x?y
22
?0
，
?
，
cos
?
?
x
r
，
tan
?
?
y
x
?
x?0
?
．
y
P
T
OM
A
x
9、三角函数在各象限的符号：第 一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函 数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
11、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
2
?
?
2
?
sin
?
?cos
?
?1
2
?
sin
2
?
?1?cos
?
,cos
?
?1?sin
?
22 2
?
；
sin
?
??
?tan
?
?
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
?
．
cos
?
tan
?
??
12、函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?< br>?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
?? sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
? ?cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
??
?cos
?
，
tan
?
?
?
???tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin
???
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
?
6
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
??
2
?
?
2
?
?
?
口诀：正弦与余弦互 换，符号看象限．
13、①将函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右）平移?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再
将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象 上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
y ?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?si n
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原 来的
?
倍（横
坐标不变），得到函数
y??sin
?
?x?
?
?
的图象．
②数
y?sinx
的图象上所有点 的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
?
?
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数

2

y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图 象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横
坐标不变），得到函数
y ??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
14、函数< br>y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?< br>?0
?
的性质：
①振幅：
?
；②周期：
??
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
?
?
2
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当< br>x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
??
1
2
?
y
max
?y
?
min
??1
2
，
?
y
max
?y
min
??
，
2
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
．
15 周期问题
y?ASin
y ?ACos
y?
y?
y?
y?
ASin
ACos
A Sin
ACos
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
2
?
?
2
?
?
?
?
x
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
?
?
2
?

?
?
x
?
?
x
?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b ?0 , T?
?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b?0 , T?
?
?
x
?
2
?
?
y?Atan
?
?
x?
??
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?

y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性
质

函



数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象

定义域
R


R


?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??

3

值域
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
2
?
?1,1
?

R

?
k? ?
?
时，
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
?
2
最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
周期性
奇偶性
在
?
2k
?
?
?
?
??1
．
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

2
?

?

奇函数 奇函数
?
2
,2k
?
?
偶函数
?
?
2
?
?

在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上 是
?
?
?
k??
?
上是增函数；在
单调性
?
3
?
??

2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
增函数；在
?
2k
?,2k
?
?
?
?

在
?
k
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x ?k
?
?
?
2
对称中心
?
k
?
?
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?
2
?
对称中心
?
无对称轴
?
k
?
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
,0
?
?
k??
?

?
2
?


第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
??
??
?
?
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
?
??
?
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
； ?
??
?
??
?
??
??
②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
．
????
C

?
?
?
?
⑸坐标运算 ：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?．

4
?
a

?
b

?

?

?????
?
?
???????
a?b??C?????C

18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
?
?
?
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y< br>2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
????
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
?
?
⑴实数
?
与向量
a< br>的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
?
?
?
?
?
?
②当
?
?0
时，
?
a
的 方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0< br>．
?
?????
?
?
?
⑵运算律：①
?< br>?
?
a
?
?
?
??
?
a
； ②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
． < br>??
??
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
， 则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?< br>x,
?
y
?
．
20、向量共线定理：向量
a
?
a?0
?
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
?
?
?
??
?
?
?
设
a?
?
x
1
,y
1?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
， 其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
??
?
??
??
?
??
?????
?21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面 内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，有
?????
?? ???
?
且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所 有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分 别是
?
x
1
,y
1
?
点
?
的坐标 是
?
?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?
,
y
1
?
?
y
2
?
（当
?
?1时，就为中点公式。）
?
．
1?
?
?
????????
，
?
x
2
,y
2
?，当
?
1
??
?
??
2
时，

23、平面向量的数量积：
?
?
?
?
?
?
?
?
??
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
????
??
?
?
⑵性质：设
a
和
b
都是 非零向量，则①
a?b?a?b?0
．
??
???
2
?< br>2
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>??
②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?
??
a?a
．
③
a?b?ab
．
?
?
?
?
?
??
?
???
??
?
??
?
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b；③
a?b?c?a?c?b?c
．
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x2
?y
1
y
2
．
?
?
若
a ?
?
x,y
?
，则
a
2
?
?x?y
，或
a?
22
?
?
?
?
b?
?
x
2
,y
2
?
， 设
a?
?
x
1
,y
1
?
，则
a?b?xx
x?y
．
22
12
?yy
12
?

0
．

5

?
?
?
?
?
a?b
?< br>?
?
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x2
,y
2
?
，则
cos
?
?
?
?
?
?
是
a
与
b
的夹角，
ab
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2< br>1
2
1
x?y
2
2
2
2
．


6