高中数学必修4综合测试题含答案

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高中数学必修4综合测试题
一、选择题
（50分）

1．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是
A．
（ ）
?

3
B．－
?

3
C．
?

6
D．－
?

63m
?
，
?
m?0
?
，则
2sin
?
?cos
?
的值是（ ） 2．已知角
?
的终边过点
P
?
?4m，
A．1或－1 B．
2222
或
?
C．1或
?
D．－1或
5555
3、若点
P(sin
?
?cos
?< br>,tan
?
)
在第一象限,则在
[0,2
?
)
内
?
的取值范围是（ ）
??
5
?
5
?
)
B.
(,)U(
?
,)

424
244
?
3
?
5
?
3
?
?
3
?
3
?
C.
(,)
U
(,)
D.
(,)U(,
?
)

2442244
A.
(< br>?
3
?
,)U(
?
,
4. 若|
a|?2
，
|b|?2
且（
a?b
）⊥
a
，则
a
与
b
的夹角是 （ ）
（A）
5
???
（B） （C） （D）
?

643
12
5.已知函数y?Asin(
?
x?
?
)?B
的一部分图象如右图
所 示，如果
A?0,
?
?0,|
?
|?
A.
A?4

6．已知
x?(?
（ ）
A．
7

24
?
2
，则（ ）
B.
?
?1
C.
?
?
?
6
D.
B?4

?
2
,0),cosx?
4
,则t an2x?
5
C．
24

7
B．
?
7

24
D．
?
24

7
πππ
7. 同时具 有以下性质：“①最小正周期实π；②图象关于直线x＝对称；③在[－，]上是增函数”
363
的一个函数是 （ ）
x
π
A. y＝sin(＋)
26
πππ
B. y＝cos(2x＋) C. y＝sin(2x－) D. y＝cos(2x－)
366
8. 设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki－4j,若a⊥b，则实数k的值为（ ）
A．－6 B．－3 C．3 D．6
9. 函数
y?3sin(
A．
2
?

3
?
?3x)?3cos(?3x)
的最小正周期为
44
B．
?

3
?
（ ）
D．4 C．8
.

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10. 2002年8月， 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与
中间的小正方形拼成的一大 正方形，若直角三角形中较小的锐角为
?
，大正方形的面积是1，小
正方形的面积是< br> A．1
1
,则sin
2
?
?cos
2
?
的值等于（ ）
25
2477
B．
?
C． D．－
252525
二、填空题
（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11. 已知
sin
?
2
?cos
?
2
?
23
，那么
sin
?
的值为 ，
cos2
?
的值为
3
12
，则a·b= .
5
12. 已知|a|=3,|b|=5, 且向量a在向量b方向上的投影为

13. 已知向量
OP?(2,1),OA?(1,7),OB?(5,1),设X是直线OP
上的一点（O为坐标原点），那么
XA?XB
的最小值是_____________ ______
14．给出下列6种图像变换方法：
1
；②图像上所有点的纵坐标不 变，横坐
2
2
?
??
标伸长到原来的2倍；③图像向右平移个单位； ④图像向左平移个单位；⑤图像向右平移
3
33
2
?
个单位；⑥图像 向左平移个单位。请写出用上述变换将函数y = sinx的图像变换到函数y = sin
3x
?
(+)的图像的一个变换______________．(按变换顺序写上序号即可 )
23
①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
三、解答题
（本 大题共6小题，共80分，解答应有证明或演算步骤）
15．（12分）
已知
tan x?2
,求
2sin(
?
?x)cos(
?
?x)?cos (
?
?x)
的值

1?sin
2
x?sin(?
?x)?cos
2
(
?
?x)







.

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16、（12分）已知cos(α
－









?
?
??
?
?
?
1
2
)=
?
,sin(
?
?
)=,且α ∈(,π),β∈(0,),求cos的值.
22222
9
3
17. （1 2分）（2011广东卷理）已知向量
a?(sin
?
,?2)
与
b ?(1,cos
?
)
互相垂直，其中
?
（1）求
sin?
和
cos
?
的值；
?
?(0,)
．
2
（2）若
sin(
?
?
?
)?









１8. （14分）已知 函数
f(x)?asinx?cosx?3acosx?
(1)写出函数的单调递减区间； < br>(2)设
x?[0，]
，
f(x)
的最小值是
?2
， 最大值是
3
，求实数
a,b
的值．
2
10
?,0?
?
?
，求
cos
?
的值．


102
3
a?b(a?0)

2
?
2









.

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19.（14分） 已知电流
I
与时间
t
的关系式为
I?Asin(
?
t?
?
)
.
（1）下图是
I?Asin(
?
t?
?
)
(
?
?0,
?
?
?
2
)
在一个周期内的图象，根据图中数据求
I
300
I?Asin(< br>?
t?
?
)
的解析式；
（2）如果
t
在任意一段
1
秒的时间内，电流
150
O
1

1

900
180
t

I?Asin(
?
t ?
?
)
都能取得最大值和最小值，
?
那么
?
的最小正整数值是多少？











-300

20、 （本题满分14分）设
a
、
b
是两个不共线的非零向量（
t?R）
（1）记
OA?a,OB?tb,OC?
1
(a?b),
那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
3
（2）若
|a|?|b|?1且a 与b夹角为120
?
，那么实数x为何值时
|a?xb|
的值最小？















.

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高中数学必修4综合测试题参考答案
一、选择题。
1. D 2．B
3、B
4、B
5、C
6、
D
7、C. 8、D 9、A 10、D
二、填空题。１1、
1
7
， 12、
12
13．－8 14． ④②或②⑥
3
9
15.解：
2sinxcosx?cosxco sx(2sinx?1)cosx
??
……………… 6分
22< br>1?sinx?sinx?cosx
sinx(2sinx?1)sinx
sinx1< br>?2
得：原式= ………………………………………… 12分
cosx2
13a3
asin2x?(1?cos2x)?a?b

222
由
tanx?

１8解：
f(x)?

?
a3a
?
sin2x?cos2x?b?asin(2x?)?b

223
（1）
2k
?
?
?
235
?
11
?

?[k
?
?,k
?
?],k?Z
为所求
1212
（2）
0?x?
?2x?
?
?2 k
?
?
3
?
5
?
11
?

,k
?
??x?k
?
?
21212
?
2
,?
?
3
?2x?
?
3
?
2
?
3
?
,??sin(2x?)?1

323
< br>f(x)
min
??
3
a?b??2,f(x)
max
?a?b?3,

2
?
3
?
a?2
a?b??2
??
?
?
?

?
2

?
?
b??2?3
?
a?b?3
?

11
，
t
2
?
， ……………………（2分）
900180
111
?)?
则周期
T?2(t
2
?t
1
)?2(
， …………………………（4分）
18090075
2
?
?150
?
. ………………………………………………………（6分） ∴
?
?
T
11
?
)?
?
]?0
，
sin(
?< br>?)?0
.
t??
时，
I?0
，即< br>sin[150
?
?(?
9009006
19 解：（1）由图可知
A?300
，设
t
1
??
.

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而
?
?
?
2
， ∴
?
?
?
6
.
故所求的解析式为
I?300sin(150
?
t?
（2）依题意，周期
T?
?
6
)
. ……………………………（8分）
12
?
1
，即，
(
?
?0)
， …………………（10分）
?
150
?
150
*
∴
?
?300
?
?942
，又
?
?N
，故 最小正整数
?
?943
. ……………（13分）


20、解：（1）A、B、C三点共线知存在实数
?
,使OC?
?
OA?(1 ?
?
)OB





即
(a? b)?
?
a?(1?
?
)tb
，………………………………………… ………4分
1
3
11
,实数t?
……………………………………… ………………………6分
32
1
?
（2）
a?b?|a|?|b| cos120??,

2
则
?
?
?|a?xb|
2
?a?x
2
?b?2x?a?b?x
2
?x?1,
………… …………………9分
当
x??时,|a?xb|取最小值
22

1
2
3
…………………………………………12分
2
.