2017-2018学年新人教版高中数学必修四全册导学案

2017-2018学年人教版高中数学
必修四全册导学案
目录
课题：任意角 ....................................... .......................................... 1
课题：1.1.2 弧度制 ................................. ...................................... 5
课题：任意角的三角函数 .................................. ........................... 10
课题：三角函数的诱导公式（1） ................................................ 13
课题：三角函数的诱导公式（2） ................................................ 17
课题: 正弦函数、余弦函数的图象 ................................................ 21
课题: 正弦函数、余弦函数的性质 ................................................ 25
课题: 正切函数的性质和图象 ............................ ........................... 29
课题: 函数y＝Asin(ωx ＋φ)的图象（1）...................................... 34
课题: 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2）...................... ................ 40
课题：同角三角函数的基本关系 .................................................. 46
课题：用单位圆中的线段表示三角函数值 .................................... 49
课题: 平面几何中的向量方法 ....................................... ................ 54
课题: 平面向量的实际背景及基本概念 ........................................ 56
课题: 向量的加法运算及其几何意义 ............................................ 59
课题: 向量的减法运算及其几何意义 ............................................ 63
课题: 向量数乘运算及其几何意义 ................................................ 67

课题: 平面向量的基本定理 ...................... .................................... 71
课题: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 .............................. 76
课题: 平面向量的数量积的物理背景及其含义 .............................. 78
课题: 二倍角的正弦、余弦和正切公式 ........................................ 80
课题: 两角差的余弦公式 ................................. ............................. 82
课题: 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ................................. 84
课题: 简单的三角恒等变换 ............................. ............................. 86

2018新人教A版高中数学必修4教案
课题：任意角
［课时安排］
［教学目标］
1课时
1．理解任意大小的角正角、负角和 零角，掌握终边相同的角、
象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.
2．从数形结合的角度认识角
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、< br>转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
［教学重点］
［教学难点］
［教学器材］
［教法学法］
理解概念，掌握终边相同角的表示法.
理解角的任意大小
多媒体设备
启发式教学
［教学过程］
【自主学习】
知识梳理：
1．角的有关概念：
（1）如图，
? AOB
可以看成平面内绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成
的图形．其中，
O为角的顶点，
OA
为角的始边，
OB
为角的终边。
（2）角的分类：
正角：按方向旋转形成的角；
零角：射线没有任何旋转形成的角；
负角：按方向旋转形成的角。
（3）象限角与坐标轴上的角：
使角
?
的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边落第几象限，则
1
备注

B
终边
O
顶点
始边
A

2018新人教A版高中数学必修4教案
称为；终边落在坐标轴上的角称为。
2. 与角
?
终边相同的角为
??k?360???k?z)
，连 同角
?
可构成一个集
合
S
，即
S?
，即任意一个 与角
?
终边相同的角，都可以表示成角
?
与整个周角的和。
?
终边相同的角不一定，但相等的角终边。
即学即练：
1.如图⑴、⑵中终边分别为
OB
1
、
、象限角。
OB
2
、OB
3
所对应的角分别属于第、
y
45°
B
1

x
60
o

y
30°
O
⑴
B
3

x
O
B

2
⑵

2.下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．
?
30° C．630° D．
?
630°
3. 把
?
1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ）
A．45
?
4×360° B．
?
45
?
4×360°
oo
C．
?
45
?
5×360° D．315
?
5×360°
oo
4.下列结论中正确的是( )
A. 小于90°的角是锐角 B. 第二象限的角是钝角
D. 终边相同的角一定相等 C. 相等的角终边一定相同
【课外拓展】
1.下列命题是真命题的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角
B．第一象限的角必是锐角
2

2018新人教A版高中数学必修4教案
C．不相等的角终边一定不同
D．
?
|
?
?k?360
?
?90
?< br>,k?Z
=
?
|
?
?k?180
?
?90< br>?
,k?Z

2. 若α是第一象限的角，则
????
?
是( )
2


B. 第一或第三象限的角
D. 第二或第四象限的角
A. 第一象限的角
C. 第二或第三象限的角
3. 下列各角中，与
330?
角的终边相同的角是 （ ）
A．
510?
B．
870?
C．
?150?
D．
?750?

4.（1）终边落在
y?
?
3
x
(x≥0)上的角的集合为。
3
（2）终边与角
?20
相同的角的集合为。
5. 若角
?
的终边与
60
角的终边相同，那么在
[0?, 360?)
内，与角
?
?
2
有相同
终边的角为。
6. 写出与角
?21
终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式
?
360≤β<360
0
?
0
的元素β写出来.



7. 已知角
?
的终边经过点
P(1,3)
，求角
?
。


8. （选做）如图，请终边落在阴影部分（含边界）的角的集合

第8


3

2018新人教A版高中数学必修4教案
【课堂检测】
1.
?
?300
，则
?
?
在（ ）
?
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 与－1000°终边相同的最小正角是__________
3. 在“①160°②480°③?
960°④1600°”这四个角中，属于第二象限的角是
________.
4. 终边落在x轴的非负半轴上，角的集合：________________________.
终边落在x轴的非正半轴上，角的集合：________________________.
【拓展探究】
探究1. 写出下列象限角的集合：(1)第一象限；(2)第二象限；(3)第三象限；
(4)第四象限.
探究2. 写出与角
?
?45
的终边相同的角的集合S，并写出S中适合不等 式
?
?360
?
?
?
?720
?
的元素β.

【当堂训练】
1. 与405°角终边相同的角是（ ）
A. k·360°－45°
(k?Z)

C. k·360°+45°
(k?Z)



B. k·360°－405°
(k?Z)

D. k·180°+45°
(k?Z)

2. 下列各式中不正确的是（ ）
0
A. 终边在x轴上的角的集合是
?
|
?
?k?180 k?z

??
00
B. 终边在y轴上的角的集合是
?
|
?
?90?k?180 k?z

??
0
C. 终边在坐标轴上的角的集合是
?
|
?
?k?90 k?z

??
4

2018新人教A版高中数学必修4教案
D. 终边在直线y＝x上的角的集合是
?
?
|
?
?45
0
?k?360
0
k?z
?

3. 若角
?
满 足
0?
?
?360
，角
3
?
与
?
有相同始边且有相同终边，则角
?
??
＝
4. 已知
?
角是第一象限角，则
2
?
是第几象限角？
【小结与反馈】
1. 如果角的终边在坐标轴上，这个角不属于任何象限；
2． 判断一个角是第几象限角，只要把改写成
?
?
?k?360,k?z
，
?
?
就是第几象限角.若角
?
与角
?
适
0
?
?
?
?
?360
?
，那么
?
?
在第几象限，
合关系：
?
?
?
?(2k)?180
?，
k?z
，则
?
、
?
终边相同；若角
?
与
?
适合
关系：
?
?
?
=（2k?1)?180
，
k?z
，则
?
、
?
终边互为反向延长线；
3. 注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数个区间角组成的；
[教学反思]

课题：1.1.2 弧度制
［课时安排］
［教学目标］
1课时
1．掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建
立角的集合与实 数集
R
一一对应关系的概念
2．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分
析解决数学问题
3．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概
括和综合分析能力
［教学重点］

掌握换算
5

2018新人教A版高中数学必修4教案
［教学难点］
［教学器材］
［教法学法］
理解弧度意义
多媒体
启发式教学
［教学过程］ 备注

【自主学习】
知识梳理：
1. 长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的
单位制叫做， 换算关系： 1弧度记作；
2
?
rad?
；
1
?
?
rad?
rad
；
1rad?
?
______。
2. 正角的弧度数为，负角的弧度数为，零 角的弧度数为；“弧度”可用“rad”表示，
但通常略去不写。圆心角计算公式：（其中
l< br>是圆心角
?
所对弧的长，
r
是圆
的半径）；
3. 角度制下弧长与扇形的面积公式：
l?
，
S?
；
（其中半径为R，弧长为l, 扇形面积为S, 扇形的圆心角n为角度制）
4. 弧度制下弧长与扇形的面积公式
l?
；
S?
?
。
(其中半径为R，弧长为l, 扇形面积为S,扇形的圆心角
?
为弧度制)
即学即练：
1. 三角形的三内角之比1：1：4，则各角的度数分别为_，弧度数分别为：

2. 扇形的面积是1cm，半径为2cm，它的周长为__；
3. 半径为120mm的圆上，有一条弧的长度是144mm，则该弧所对的圆心角的弧
度数为_；
2
6

2018新人教A版高中数学必修4教案
4. 下列四个说法中，不正确的是 （ ）
A. 半圆所对的圆心角是π；
B. 周角的大小等于2π
C. 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D. 大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
【课外拓展】
1. 若圆的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则（ ）
A．扇形的圆心角变来原来的2倍 B．扇形的圆心角变来原来的4
倍
C．扇形的面积变为原来的2倍 D．扇形的面积变为原来的4倍
2. 终边在第三象限的角平分线上的角的集合为（ ）
A．
?
?
|
?
?2k
?
?
?
?
?
?
3
?< br>3
?
???
,k?Z
?
B．
??
|
?
?2k
?
?,k?Z
?

44
???
C．
?
?
|
?
?k
?
?< br>3
?
3
?
???
,k?Z
?
D．
?
?
|
?
?k
?
?,k?Z
?

44
???
3. 若一段圆弧等于其所在的圆的内接正三角形的边长，则其所对的圆心角的
弧度数为（ ）
A.
2

3
B.
2
?

3
C.
3
D.2
4. ①
18??
rad
； ②
315??
rad
； ③
?1110??
rad
；
④
?
6
?
度； ⑤
?
7
?
?
度； ⑥
2
?
度。
8
5. 已知中心角为
30?
的扇形，其弧长为
?
，则它所在圆的半径为。
6. 已知扇形
OAB
的圆心角
?
为
120?
，半径长为6。
7

2018新人教A版高中数学必修4教案
（1）求弧
AB
的弧长； （2）求弓形
DAB
的面积。

?
7. 把
?1480
写成
2k
?
?< br>?
(k?Z,
?
?[0,2
?
))
的形式；(2)若
?
?[?4
?
,0]
且
?
与(1)中
?< br>终边相同，求
?
。

8．（选做）自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当
大链轮转过
一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度?？

【课堂检测】
1.
2
弧度的角的终边所在的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四
象限
2. 已知扇形的半径为
R
，面积为
R
，那么这个扇形中心角的弧度数是 （ ）
A．1 B．
2
C．2 D．4
3．把
?
rad
化成度，即
?
rad?
_ _______
2
3
4
3
4
4. 用弧度表示终边在y轴上的角的集合是：______________________________
【拓展探究】
探究1.一钟表的分针长10 cm，经过35分钟，分针的端点所转过的弧长为 （
A．70 cm


B．
70
cm
6
C．(
35
?
25
?
cm
?43
)cm D．
?
?
8

2018新人教A版高中数学必修4教案
探究2. 如图，已知扇形
AOB
的周长是6cm，该扇形的中心角
弧度，求该扇形的面积.


A
o
是1
B
变式：已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，
最大面积是多少？


【当堂训练】
7
?
?_________
1. 弧度化角度：
12
2
角度化弧度：－720°＝____________
2．某扇形的 面积为1
cm
，它的周长为4
cm
，那么该扇形圆心角的度数为
（ ）
A．2° B．2 C．4° D．4
3. 下列与
?
的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
9
4
A. 2kπ+45° B. k·360°+
?

9
4
C. k·360°－315°(k∈z)

【小结与反馈】
D. kπ+
?
(k∈z)
5
4
1. 用度为单位来度量角的单位制叫做 角度制，用弧度为单位来度量角的单位
制叫做弧度制.在表示角时，角度制与弧度制不能混用.
2．度与弧度的换算关系，由180°＝
?
rad进行转化，今后一般用弧度为单位
度量角.
9

2018新人教A版高中数学必修4教案
3．利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制
的优点.

[教学反思]


课题：任意角的三角函数
［课时安排］
［教学目标］
1课时
1． 知识与技能
掌握任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求
角α的各三角函数值
2． 过程与方法
掌握三角函数的符号，灵活运用诱导公式（一），把求任意角
的三角函数值转化为 求0°～360°间的三角函数值
3． 情感、态度与价值观
培养学生自主学习的能力
［教学重点］
［教学难点］
［教学器材］
［教法学法］
熟练求值，灵活运用诱导公式
对三角函数定义的理解
多媒体
启发式教学
10

2018新人教A版高中数学必修4教案
［教学过程］
【自主学习】
知识梳理：
1. 在直角坐标系中，点
P
(x,y )
为角
?
终边上的任意一点（除了原点），它
与原点的距离为
r，那么
r?
，
sin
?
?
；
cos
?
?
；
tan
?
?
；
sin
?
、
备注

cos
?
、
tan
?
分别叫做角
?
的： 、、。
这三个比值不以点
P(x,y)
在
?
的终边上的位置的改变 而改变，以上三
种函数
sin
?
、
cos
?
、< br>tan
?
统称为。
2．三角函数的定义域、值域
函 数
y?sin
?

y?cos
?

定 义 域 值 域

R



[?1,1]


y?tan
?

3．三角函数的符号规律：
①正弦值
y
对于第象限为正，对于第象限为负；
r
x
对于第象限为正，对于第象限为负；
r
y
对于第象限为正，对于第象限为负
x
②余弦值
③正切值
4 注意点：（1）三角函数的符号是个整体符号，如s in
?
不能认为是“sin”
与“α”的积；（2）在平面直角坐标系内研究角的问题 ，其顶点都在原点，
始边都与重合。
即学即练：
1. 若三角形的两内角α、β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为（ ）
11

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A.锐角三角形
上都有可能
2. 求值：
cos
B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以
3
?
?_____________

2
3. 判断下列式的符号：
(1)sin328°_______0；(2)cos
5
?
6
0
；(3)
tan
?
0
(填上>或<)
47
【课外拓展】
1. 若角α的终边过点
(1,?3)
，则
sin
?
等于（）
1133
A.B.－C.－D.－
2223
2. 已知
P(?3， y)
为角
?
的终边上的一点，若
tan
?
?2
，则
y
的值为
（ ）
Ａ．
?23

Ｄ．
?23

Ｂ．
?23
Ｃ．
?3

3. 已知
?
是第二象限角，
P(x,5)
为其终边上一点，若cos??
2
x
，则
4
sin
?
的值为（ ）
A.
?3
B.
3
C.
?3
D.
10

4
4. 已知角α的终边经过点
P(2,?3)
，则
sin
?
?cos
?
?

5. 已知
?< br>的终边过
(a?2,3a?9)
且
sin
?
?0,cos?
?0
，则
a
的取值范围
是。
6. 已知角
?
的终边经过
P(?4a,3a)(a?0)
，求
sin
?
,cos
?
,tan
?
的值.

12

2018新人教A版高中数学必修4教案
7．如果角
?
的顶 点在坐标原点，始边与
x
轴的正半轴重合，终边在函数
y??3x(x?0)
的图象上，求
?
的三角函数值。
8. 已知角
?
的终边上一点
P(?3,m)
，且
sin??
值。
[教学反思] 、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数
的关键。



2m
，求
cos
?
,tan
?
的
4
课题：三角函数的诱导公式（1）
[课时安排] 2课时
1、掌握诱导公式，并能熟练运用进行化简与求值
2、过程与方法：讨论、探究。
[教学目标]
3、情感、态度与价值观：通过学习进一步培养学生
思维的严谨性、敏锐性、深刻性。
[教学重点]
[教学难点]
[教学器材]
[教法学法]
应用诱导公式.
理解诱导公式推导.
多媒体
讲授与讨论相结合。
[教学过程] 备注
13

2018新人教A版高中数学必修4教案
【自主学习】
知识梳理：
1. 诱导公式：
公式二
公式一
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
(k?Z)
sin(
?
?
?)?_____

cos(
?
?2k
?
)?cos?
(k?Z)
cos(
?
?
?
)?_____
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
(k?Z)
ta n(
?
?
?
)?____
公式三
公式四
sin(?
?
)?____
sin(
?
?
?
)?____
cos(?
?
)?____
cos(
?
?
?
)?____
tan(?
?
)?____
tan(
?
?
?
)?____
2. 诱导公式的应用：
①运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：

任意负角的任意______
用公式三或一 用公式一





②三角函数的简化过程口诀：负化____，大化_______，直到化成__ _____，结果就
明了。
即学即练：
1. 求值：
sin225
=__________ ；
cos
?
_______的角
用公式二或四
_____三查表求
11
?
=___________
3
2.
cos(?
16
?
)
=___________ ；
sin(?420
?
)
=__________
3
3.化简：

sin(
?
?
?
)
?sin(
?
?2
?
)?cos(
?
?
?
)?cos
2
?
=__________
cos(
?
?
?
)
14

2018新人教A版高中数学必修4教案
【课外拓展】
1．在
?ABC
中，下列关系式中必定成立的是 （ ）
A．
sin(A?B)?sinC
B．
cos(A?B)?cosC

C．
tan(A?B)?tanC
D．
sin(A?B)??sinC

2．已知
tan12?a,
那么
sin1992??
（ ）
?
A．
?
a
1?a
2
B．
a
1?a
2
C．
1
1?a
2
D．
?
1
1?a
2

3．下列不等式不正确的是
（ ）
A．
sin
( )

5415
?
?
?sin
?

?
?tan(?)
B．
tan
7787
C．
sin(?
?
)?sin(?)

76
?
?< br>D．
cos(?
?
)?cos(?)

54
?
4．
tan(?2040)?
。
5．化简
cos
?
?
?
?
?
tan
?
360
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?< br>。

6．已知
f(x)?asin(πx?
?
)?bcos (πx?
?
)?1
（
a，b
均不为零），若
f(2000) ?2000
，
则
f(2001)
的值为。
7．求证：
t an(2π?
?
)sin(?2π?
?
)cos(6π?
?
)
=tanθ．
cos(
?
?π)sin(5π?
?
)< br>8、已知
sin(3
?
?
?
)?
1
， 2
求
cos(3
?
?
?
)cos(
?
?4
?
)
?
的值．
cos
?
[cos(
?
?
?
)?1]cos(
?
?2
?
)cos(3< br>?
?
?
)?cos(?
?
)
【课堂检测】
15

2018新人教A版高中数学必修4教案
1．sin（－
π
）的值是（ ）
6
B．－A．
1

2
1

2
C．
3

2
D．－
3

2
2．已知
cos(
??
?
)??,
13
?
?
?
?2
?，则
sin(2
?
?
?
)
的值为（ ）
22
A．
1
333
B．C．
?
D．
?

2
222
2
3. 化简
sin(3
?
?
?
)?cos(?
?
?
?
)cos(
?
?2
?
)
.

【拓展探究】
探究1. 化简：
sin
?
?
?
?180
?
?cos
?
?180?
?
?
??
cos
?
180
?
?
?
?
?sin
?
?
?360
?
?
.
探究
2. 已知tan(
?
?
?
)?3,
求：

【当堂训练】
1．
cos(?1290?)?
（ ）
2c os(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)< br>
的值。
4cos(?
?
)?sin(2
?
?
?
)
Ａ．
3

2
Ｂ．
?
3

2
Ｃ．
1

2
Ｄ．
?
1

2
2. 设
tan(5
?
?
?
)?2
，则
sin(
?
?3π)?cos(π?
?
)
的值为（ ）
sin(?
?
)?cos(π?
?
)
Ａ．
3
Ｂ．
?3
Ｃ．
?1
Ｄ．1
3．若α是第三象限角 ，则
1?2sin(π?
?
)cos(π?
?
)
=____ ____．

【小结与反馈】
1．灵活应用公式一至公式四，使任意角的三角函数
?
任意正角的三角函数
?
【0
－2π】的三角函数
?
锐角三角函数，体现了由未知转化为已知的化归思想.
16

2018新人教A版高中数学必修4教案
2．公式中的
?
是任意角，我们只是在记忆公式时才把它看成是锐

[教学反思]

课题：三角函数的诱导公式（2）
[课时安排] 2课时
1．掌握诱导公式五、六；
2、过程与方法：讨论、探究
能灵活运用六组诱导公式，解决三角函数的求值、化
[教学目标] 简和证明问题；
3、情感、态度与价值观：进一步领悟把未知问题化
归为已知问题的数学思想，提高分析问题和解决< br>问题的能力。
[教学重点]
[教学难点]
[教学器材]
[教法学法]
应用诱导公式.
理解诱导公式推导.
多媒体
讲授与讨论相结合。
[教学过程] 备注
17

2018新人教A版高中数学必修4教案
【自主学习】
知识梳理：
1.
公式五:sin(
?
2
2
?
?
)? _________;cos(
+
?
)?______;cos(
?
2
?
?
)?_________
；
公式六:sin(
??
2
+
?
)?______
。
2. 诱导公式规律：（以上公式中
?
可以是任意角）。
即学即练:
1.
cos(
3
?
3
?
?
?
)? _________
；
sin(?
?
)?_________
；
22
cos(< br>3
?
3
?
?
?
)?_________
；
sin(?
?
)?_________
。
22
2. 将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中的横线上
（1）
cos
13
?
?_________
； （2）
sin(1?
?
)?_________
。
9
?

（3）
sin(?104)?_________
； （4）
cos(?
16
?
)?_________
。
9< br>?
??
cos
?
?
?
?
2
??3．化简：
?sin(
?
?2
?
)?cos(2
??
?
);

?
5
?
?
sin
?
?
?
?
?
2
?
4.如果
|cosx|? cos(?x?
?
).
则
x
的取值范围是



【课外拓展】
A．
[?
C．
[
（ ）
?
2
?2k
?
,
?
2
?2k
?< br>](k?Z)
B．
(
?
?2k
?
,
3?
?2k
?
)(k?Z)

22
?
3
?2k
?
,
?
?2k
?
](k?Z)
D．
(?
?
?2k
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)

22
1．sin（－
19π
）的值是（ ）
6
18

2018新人教A版高中数学必修4教案
A．
1

2
B．－
1

2
C．
3

2
D．－
3

2
2．下列三角函数：
①
sin
4
?
?
?
?
?
?
；②
cos
；③
sin(2n
?
?),n?N
；④
cos(2n
?
?),n?N
．其
3
3
66
中函数值与
sin
?
的值相同的是（）
3
B．②④ C．②③ D．①③ A．①②
3．已知
f(cos x)?cos2x
，则
f(sin75?)
的值为
A．
11
33
B．
?
C． D．
?

22
22
4．化简：
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)? sin(
?
?
?
)sin(?
?
)
=______ _______
22
?
5．若
cos
?
??sin
2
?
，且
?
?(0,
?
)
，则
?
?
_______________
7
13
,
?
??
?2
?
，则
sin(3
?
?
?
)?
______________
22
6．
cos(
?
?< br>?
)??
7．已知
tan
?
?3
，求
2co s(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)的值。
4cos(?
?
)?sin(2
?
?
?
)

8．（选做）化简：
sin[(k?1)
?
?
?
]?cos [(k?1)
?
?
?
]
，
k?Z
．
si n(k
?
?
?
)?cos(k
?
?
?
)< br>【课堂检测】
1．若
cos(
?
?
?
)??
π
?
10
，且
?
?(?,0)
，则
sin(?< br>?
)?
（ ）
22
5
C．－A．－
1010
B．
55
1515
D．
55
19

2018新人教A版高中数学必修4教案
2. 已知
cos(
?
2
?
?
)?
2
?
，且
?
?( ?,0)
，那么
tan
?
?
( )
3
2
A．
?
3553
B． C．
?
D．
2222
3
?
3
?x)?,x?(?
?
,
?
)
，则
x?
.
22
3．若
sin(
【拓展探究】
探究1．求
sin1?sin2?sin3?????sin89
的值.

探究2.已知
cos
?
是方程
5x?7x?6?0
的一个根 ，且
?
在第二象限，试求
2
2
?
2
?
2< br>?
2
?
sin(
?
?)sin(
?
?)co s(?
?
)
222
的值.
3
?
3
??< br>cos(?
?
)cos(?
?
)sin(?
?
)222

【当堂训练】
1．如果
cos
?
?
?A
?
??
???
1
?
?
?
，那么
sin
?
?A
?
?
（ ）
2
?
2
?
1
3
Ｃ．
?

2
2
Ｄ．Ａ．
?
1

2
Ｂ．
3

2
2．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）
A．
cos(A?B)?cosC
B．
cos
A?BC
?cos

22
A?BC
?cos

22
C．
tan(A?B)?tanC
D．
sin
3．若
sin110??m
，则
cos20??
.

【小结与反馈】
20

2018新人教A版高中数学必修4教案
1. 熟练掌握诱导公式五、六；
2. 诱导公式的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限；
3. 运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数.
[教学反思]
课题: 正弦函数、余弦函数的图象
［课时安排］
［教学目标］
1课时
1．知识与技能 熟练把握正弦、余弦函数图象的形状特征.
2．过程与方法: 数形结合
3．情感、态度与价值观: 让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想
到一般性的结果，而且可 以启发我们发现一般性问题的解决方法。
［教学重点］
［教学难点］
［教学器材］
［教法学法］
正弦、余弦函数的图象作法及其形状特征
正弦函数图象的作法、正弦函数和余弦函数图象间的关系
多媒体
启发式教学
［教学过程］
【自主学习】
知识梳理：
1. 图象作法：
备注

2
?
?
内的图象，再通过平移①几何法：即利用来 作出正弦函数和余弦函数在
?
0，
21

2018新人教A版高中数学必修4教案
得到
y?sinx和y?cosx
的图象；
②“五点法”：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五点，再
用
把这五点连接起来就得到正弦曲线和余弦曲线在一个内的图象。
③函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的五个点的坐标分别是：
；
在函数y＝cosx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的五个点的坐标分
别是：
。
2.正弦曲线、余弦曲线
①定义：正弦函数y＝sinx(x∈R)，和余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象分别叫做和；
②图象，



③借助正弦线作出y= sinx,
x?
?
0,2
?
?
的图象后，因为终边相同的角有相同的三
角函 数，所以函数y= sinx,
x?
?
2k
?
,2k
??
?
?
，
k?z且k?0
的图象，与函数y=
sin x,
x?
?
0,2
?
?
的图象的形状。因此，我们只要将函 数y= sinx,
x?
?
0,2
?
?
的
图象向左、向右平行移动（每次移动
2
?
个单位长度），就得到。
?
?
?
④?
y?cosx?sin
?
?x
?,?y?cosx
图象可以由
y?sinx
向
平移
个单位而得< br>?
2
?
到。
即学即练：
1. 函数y＝2+sinx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的五个点的坐标分别
22

2018新人教A版高中数学必修4教案
是：______________ _______________________________________ 。
2. 函 数
y??cosx
，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的五个点的坐标分
别是 ：_________________________________________________ ___。
3．函数y＝2+sinx，x∈［0，2π］的图象可由函数y＝sinx，x∈［0，2 π］的图象
向___平移_____个单位而得的。
4. 函数
y??cosx，x∈［0，2π］的图象可由
y?cosx
，x∈［0，2π］的图象关
于
_____对称变换而得到。
【课外拓展】
1．
函数y=sinx的一个单调增区间是：
??

?
? ?
??
?
3
?
A.
?
?,
?
B.
?
,
?
42
??
44
?
?
C.< br>?
?
3
?
??
3
?
?
?
, D.,2
?
????

22
????
?
π
?
2．下列函数，在
?
，
π
?
上是增函数的是（ ）
?
2
?
Ａ．
y?sinx

3 ．已知
sinx?
Ｂ．
y?cosx

Ｃ．
y?sinx?1

Ｄ．
y??cosx

1
,且
x?
?
0,2
?
?
，则
x
的 取值范围是（ ）
2
A．
?
?
?
5
?
??
?
5
?
,
?
B．
?
,
?66
??
66
??
?
2
?
??
?2
?
,
C． C．
??
,
??
??
3 3
??
33
?
?

?
4.
y?3?2sinx
的值域为
__________

5. 方程x
2
=cosx的实根个数有______个.

6. 利用正弦函数的图象，求满足
sinx?
1
的x的集合。
2
7． 用五点法作函数
y?2cos(x?
?
3
),x?[0,2
?
]
的简图.
23

2018新人教A版高中数学必修4教案
【课堂检测】
1、
用五点法作y?2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是
A.0,
?
2
,
?
,
3
?
??
3
?
???
2
?
,2
?
B.0,,,,
?
C.0,
?
,2
?
,3
?
,4
?
B.0,,,,

24246323
2.下列函数图象相同的序号是______.
①
y?cosx
与
y?cos(
?
?x)
；②y?sin(
?
?x)
与
y?sin(
?
2
? x)
；③
y?sinx
与
y?sin(?x)
；④
y?si n(2
?
?x)
与
y?sinx

3. 用五点法画出
y??sinx?1在区间[0,2
?
]
上的简图.

【拓展探究】
探究1．画出下列函数的图象：
(1)y=1+sin
x
，
x
∈[0，2π]； (2)y=
?
cos
x
，
x
∈[0，2π]，
?
?
?
5
?
?
y?sin(x?),(x?,
?)
的图象, 并指出探究2. 利用“五点法”作出函数
?
2
?
22
?
画出的
图象与函数：
y??cosx,x?
?

【当堂训练】
?
?
5
?
?
,
?
的图象有什么关系. < br>?
22
?
2
?
?
内，使sinx?cosx成立的x 的取值范围是
?
1.
在区间
?
0，
?
???
B.
?
?
,
?
?
C.
?
?
,
5
?
?
?
?
??
5
?
3
?
?
A.
?
,
?
?
??
D.< br>?
,
?
?
?
?
,
?

?< br>?
42
?
?
4
?
?
44
?
?
4
??
42
?
?

2. 若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，
求这个封闭图形的面积.
24

2018新人教A版高中数学必修4教案

3. 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足
cosx?
1
的x的集合：
2
【小结与反馈】
掌握用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，能用正弦函数和余弦函数的图象解
最简单的三角
[教学反思]


课题: 正弦函数、余弦函数的性质
［课时安排］
［教学目标］
课时: 2
1．知识与技能: 掌握正弦函 数、余弦函数的周期性、奇偶性和
最大值、最小值，会求形如
y?Asin(
?
x?
?
),x?R
（或
y?Acos(
?
x?
?
),x?R
）的函数的最小正周期，并会利用正弦、
余弦函数的最大值、最小值求相关 函数的值域
2．
3．情感、态度与价值观: 感受社会生活中大量随机现象都存在
着数量规律，培养辨证唯物主义世界观．
［教学重点］ 正弦函数、余弦函数的性质（包括周期性、奇偶性和最大
值、最小值）
［教学难点］ 正弦函数、余弦函数性质的应用
25

2018新人教A版高中数学必修4教案
［教学器材］
［教法学法］


备
［教学过程］
注
【自主学习】
知识梳理：
正弦函数y＝sinx,
x?R
的性质


1. 定义域为。
2. 值域：y＝sinx（
x?R
）的值域为。
3. 最值：（1） 当且仅当x＝,k?Z时，y
max
＝1 ；当且仅当时x＝，k?Z时 y
min
＝
－1。
（2） 当 (k?Z)时 y＝sinx＞0；
当 (k?Z)时 y＝sinx＜0。
4．周期性：
（1）规律是：每隔2? 图像重复出现一次；
（2）这个规律由诱导公式可以证明。结论：y＝sinx的最小正周期为 ；
（3）函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期是：
5. 奇偶性： sin(－x)＝ (x∈R)
6. 单调性：
y＝sinx (x∈R)是函数
26

2018新人教A版高中数学必修4教案
x
?
?

?
(?,0)

22
0
0
(0,
?

)
2
?

2
(
?
2
,
?
)

π
0
(
?
,
3
?

)
2
3
?
2

sinx
－1
1

－1
y＝sinx,
x?R
的递增区间为:（k∈Z），其y值从－1增至1；
递减区间为（k∈Z），其y值从1减至－1。
7. 正弦函数图象的对称中心是（k∈Z），对称轴为
?
k?z
?

即学即练：
1
?
1 函数：
y?2sin(x?)
的周期是______________________。
26
2. 函数y=
?
9sinx+1最大值是_____________ ，这时x的集合是
________________________ 。
3. 写出满足 ：
sinx?0
的
x
集合：______________________ _______ 。
4．函数
f(x)?3sin2x,x?R
的所有对 称轴方程是：____________________ ；
所有对称中心的坐标是：____________________。
【课外拓展】
1 ．函数
y?sin(2x?
A．
?
5
)
的最小正周期是（ ）
?
2
B．
?
C．2
?
D．4
?

1 ．若
0?
?
?2
?
,2sin
?
?3
，则
?
的取值范围是 （ ）
A．
?
?
? ?
??
?
2
?
,
?
B．
?< br>,
?
32
??
33
??
?
4
? C．
??
,
??
33
??
?
3
?
D．
??
,
??
32
?
?

?
3．下列函数是偶函数的是 （ ）
A. f(x)=cosx+2 B. f(x)=cosx
?
sinx C.
f(x)?sinx+
2 D.
f(x)?sin3x

4．利用三角函数的单调性比较大小：
（1）
sin(?
54
?
63
?
)sin(?)
； (2)
sin515
?
sin530
?
。
78
27

2018新人教A版高中数学必修4教案
5. 函数
y?sin(2x?
?
6
)(x?[0,
?
])
的增区间为
?
3
)
的最小正周期
T
满足
1? T?2
,则自然数
k
的值为6.若函数
f(x)?2sin(2kx?
______.
7．函数
y?ksinx?b
的最大值为2, 最小值为－4，求
k,b
的值
8．已知函数
f(x)?3sin(
?
x?
?
4
),
?
?
?0
?
的周 期为
?
，求函数
f(x)
的最大值和最
小值，并求相应的
x
的集合.

【课堂检测】
1.已知函数
y?4sinx,x?< br>?
?
?
,
?
?
，下列叙述正确的是：（ ）
A.在
?
?
?
,0
?
上是增函数，在
?
0,
?
?
上是减函数
B. 在
?
?
?
??
?
??
??
??
,
?
上是增函数， 在
?
?
?
,?
?
及
?
,
?
?
上是减函数
2
??
2
??
22
??
C. 在
?
0,
?
?
上是增函数，在
?
?
?
,0
?
上是减函数
D. 在
?
?
??
?
???
??
?
,
?
?
及
??
?
,?
?
上是增函数，在
?
?,
?
上是减函数
2
??
2
???
22
?
2.
x?[0,2
?
)
内，则
sin2x?0
的
x
的 范围是__________________________
3．若函数
f(x)
的周期为
?
?
17
?
，且
f()?1
，则
f()?
_________
6
3
2
【拓展探究】
探究1. 求使下列函数取得最大值时自变量x的集合，并说出最大值是什么
（1）y＝si n2
x
，
x?R
；（2）y=sin(3
x
+
00
?
)－1，
x?R
.
4
00
探究2. 比较大小 （1）
sin110,sin150
；（2）
sin220,sin200
.

【当堂训练】
28

2018新人教A版高中数学必修4教案
1. 下列四个函数中是以
?
为周期的偶函数的是（ ）.
A.
y?sin3x
B.
y?sin2x
C.
y?cosx
D.
y?sin(
?
2
?2x)

2. 利用三角函数的单调性比较大小：
（1）
sin250
___________
sin260
(2 )
sin
??
15
?
14
?
__________ ___
sin

89
3. 求函数
y?(sinx?)?3
最大值和最小值.

【小结与反馈】
1. 理解周期函数的定义；
2．求三角函数的值域或最值问题，主要是利用正、余弦函数单调性质.
[教学反思]




1
2
2
课题: 正切函数的性质和图象
［课时安排］
［教学目标］
课时
1．知识与技能: 掌握正切函数的性质，学会画正切函数的
图象，深化研究函数性质的思想方法
2．过程与方法:
3．情感、态度与价值观: 经历由实际问题建立数学模型的
过程，体会其基本方法．
29

2018新人教A版高中数学必修4教案
［教学重点］
［教学难点］
［教学器材］
［教法学法］


正切函数的性质和图象
正切函数性质的应用
［教学过程］
【自主学习】
知识梳理：
正切函数
y?tanx
性质
1. 定义域： ；
2. 值域：，函数无最大值、最小值；
观察：当
x
从小于
k
?
?
当
x
从大于
3. 周期:函数
备注

?
2
?
?

?
k?z
?
，
x???k??
时，
tanx??
2
?
2
??
? k
?
?
k?z
?
，
x?
?
2
?k
?
时，
tanx???
。
的周期
T?
．正切函数
y?Atan
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0
?
y?tanx,

x?(k
?
?
?
2
,k
?
?
?
2
)
是周期函数，周期是
4. 奇偶性：∵
tan(?x)?tanx
，∴正切函数是，正切曲线关于对称．
5. 单调性：在每一个开区间k∈z内均为增函数，但不能说函数在其定义域内
是单调增函数；
6. 正切函数的图象：正切曲线是由被相互平行的直线：所隔开的无穷多支曲
线组成的。
即学即练：
?
?
的定义域. 1．求函数
y?tan
?
x?
??
4
??
30

2018新人教A版高中数学必修4教案
2.求满足
tanx?0< br>的
x
的范围是__________
，
满足
tanx?0
的
x
的范围是________
3．函 数
?
??
?
y?tanx,x?
?
?,
?
?
34
?
的值域是
（ ）
A．
?
??,1
?

4．函
B．
?3,1

数
?
?
C．
?
??,??
?
D．
?3,??

的周期是
??
y?tan2x,x?
?
4
?
k
?
(k?Z)
2
（ ）
A．
?
B．
2
?
C．
?

2
D．
?

4
【课外拓展】
1.若
?< br>4
?
?
?
?
2
,
则（ ） A.
sin
?
?cos
?
?tan
?
B.cos
?
?tan
?
?sin
?

C.
sin
?
?tan
?
?cos
?
D.
tan
?
?sin
?
?cos
?

2. 函数
y?tanx
的对称中心为（ ）
A．
(
k
?
,0),k?Z

2
k
?
,0),k?Z

4
B．
(k
?
,0),k?Z

C．
(
D．
(
?
2
?k
?
,0),k?Z

3． 已知函数
y?tan
?
x
在
(?,
??
)
内是减函数，则 （ ）
22
A．0 <
?
≤1 B．－1≤
?
<0 C．
?
≥1 D．
?
≤－1
4 已知
ta n
?
??
3
,
?
为三角形一个内角，则
?
?
_______
3
31

2018新人教A版高中数学必修4教案
5．不等式
tanx?
3
的解集是
3
6．
tan 3
、
tan4
、
tan5
的大小顺序是_____________ _____________(用“
?
”
连结)
7．求函数
f?
x
?
?tan(2x?
?
3
)
的定义域、周 期和单调区间。
8. (选做) 已知
f
?
x
?
?asi nx?btanx?17
满足
f()?7
，求
f(
?
599
?
)
的
5
值。
【课堂检测】
1．函数
f(x)?cos2
?
x(
?
?0)
的周期与函数
g(x)?tan
x
的周期相等，则
?
2
等于（ ）
A．2
2．函数
B．1 C．
f
?
x
?
?tan(x?)
4
1

2
调增区
D．
1

4
为
?
的单间
（ ）
A．
(k
?
?
?
,k
?
?),k?Z
B．
22
?
?
k
?
,
?
k?1
?
?
?< br>,k?Z

C．
(k
?
?
3
?
,k
?
?
?
),k?Z
D．
(k?
?
?
,k
?
?
3
?
),k?Z
44
44
3．若
0?
?
?
?
2,sin
?
?3cos
?
，则
?
的取值范围是
【拓展探究】
探究1. 求函数
y?tan(3x?
?
3
)
的定义域、值域、周期和单调区间.
探究2．比较大小：
32

2018新人教A版高中数学必修4教案
（1）
tan167
?
与
tan173
?
；（ 2）
tan(?
11
?
13
?
)
与
tan (?)

45

【当堂训练】
1．与函数
y?tan?
2x?
?
?
?
?
?
的图象不相交的一条直线 是（ ）
4
?
A.
x?
?
2
B.
x??
?
2
C.
x?
?
4
D.
x?
?
8

2．函数
?
??
y?tan< br>2
x?tanx?1
?
x?k
?
?,k?Z
?
的值域是
2
??
____________________．
3. 求函数
y?

【小结与反馈】
正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
1. 定义域：
?
x|x?
tanx?3
的定义域.
?
?
?
?
?k
?
,k?z
?
；
2
?
?
2
?
?
k?z
?
，
x???k??
2
2. 值域：R 观察：当
x
从小于
k
?
?
时，
tanx?????

?
?
x????k
?
时，
x
当从大于
?k
?
?
k?z
?
，
2
2
tanx?????
.
3. 周期性：
T?
?
；
4. 奇偶性：由
tan
?
?x
?
??tanx
知，正切函数是奇 函数；
33

2018新人教A版高中数学必修4教案
?
?
?
?
5. 单调性：在开区间
?
??k
?
,?k
?
?
k?z
内，函数单调递增.
2
?
2
?
[教学反思]


课题: 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（1）
［课时安排］
［教学目标］
2课时
1．知识与技能: 掌握五点作图法的实质，会用“五点法”画
函数
y
=
A
sin(ω
x
+?)的简图，掌握它们与
y
＝sinx
的转换
关系
2．过程与方法: 启发式教学,引导学生思路
3．情感、态度与价值观: 经历由实际问题建立数学模型的
过程，体会其基本方法．
［教学重点］
［教学难点］
［教学器材］
［教法学法］


［教学过程］ 备注
掌握五点法作图及变换关系
理解变换关系
34

2018新人教A版高中数学必修4教案
【自主学习】
知识梳理：
1. 函数图象的左右平移变换
一般地，函数
y?sin(x ?
?
)(
?
?0)
的图象，可以看作是把
y?sinx的图
象上所有的点向______(当
?
?0
时）或向（当
?< br>?0
时）平行移动个单位而得
到的。
2. 函数图象的纵向伸缩变换
对于函数
y?Asinx
（A>0且A≠1）的图象，可以看作是把
y?sinx< br>的图象上
所有点的纵坐标（当A>1时）或（当0到的，
y?Asinx,x?R
的值域为［－A，A］，最大值为A，最小值为－A。
3. 函数图象的横向伸缩变换

x
?
?0且
?
?1）
一般地，函数
y?Asin
?
（
的图象，可以看作是把
y?sinx
的图象上所有点的横坐标（当
?
?1
时）或（当
0?
?
?1
时）到原
来的倍
（纵坐标不变）而得到的。
4. 函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象画法
（1）“五点法”作图 用“五点法”作
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图的方法：设
z?
?
x?
?
，由z取< br>0,
?
2
,
?
,
3
?
,2
?
，来求出相应的x，通过列表，计算
2
得出五点坐标，描点后得出图象。
（2）图象变换法：由函数
y?sinx
的图象通过变换得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 。
法一：先平移后伸缩
(
?
?0)或向右(
?
?0)< br>y?sinx?
向左
????????y?sin(x?
?
)
平移|
?
|个单位

35

2018新人教A版高中数学必修4教案
?
?????????纵坐标不变
横坐标变为原来的
1
倍
y?sin(
?
x?
?
)

A倍
?
纵坐标变为原来的
???????? y?Asin(
?
x?
?
)
横坐标不变

法二：先伸缩后平移
?
??y?sinx???????
纵坐标不变
1
横坐标变为原来的倍


A倍
?
纵坐标变为原来的????????y?Asin(
?
x?
?
)
横坐标不变

即学即练：
1. 将函数
y?sinx
的图象向左平移
?个单位，再向上平移2个单位，得到的
4
图象的函数解析式是：
2.把
y?sinx
的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的
1
倍（横坐标不变）得
2
到图象的函数
解析式是：
3. 把
y?sinx
的图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而
得到图象的函
数解析式是： 。
4. 将函数
y?sin2x
的图象向左平移
?
个单位后得到的函数是（ ）
2
A.
y?sin(2x?
?
?
)
B.
y?sin(2x?)
C.
y?cos2x
D.
2
2
y??sin2x

36