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高一数学人教版必修四复习资料

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 14:19
tags:高中数学必修4

高中数学成绩不好的原因-高中数学社团性质




.~
① 我们‖打〈败〉了敌人。
②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。

高一新课标人教版必修4公式总结
复习指南
1. 注重基础和通性通法
在平时的学习中,应立足教材,学好用好教材,深入地钻研教材, 挖掘教材的潜力,注意避免眼高手
低,偏重难题,搞题海战术,轻视基础知识和基本方法的不良倾向,当 然注重基础和通性通法的同时,应
注重一题多解的探索,经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析 问题、解决问题的能力。
2.注重思维的严谨性
平时学习过程中应避免只停留在“ 懂”上,因为听懂了不一定会,会了不一定对,对了不一定美。即
数学学习的五种境界:听——懂——会 ——对——美。
我们今后要在第五种境界上下功夫,每年的高考结束,结果下来都可以发现我们宿迁市 的考生与南方的差
距较大,这就是其中的一个原因。
另外我们的学生的解题的素养不 够,比如仅仅一点“规范答题”问题,我们老师也强调很多遍,但作
为学生的你们又有几人能够听进去!
希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观” :
1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观
3. 注重应用意识的培养
注重培养用数学的眼光 观察和分析实际问题,提高数学的兴趣,增强学好数学的信心,达到培养创新
精神和实践能力的目的。
4.培养学习与反思的整合
建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传 授给学生的,而只能由学生依据自身已有
的知识、经验,主动地加以建构。学习是一个创造的过程,一个 批判、选择、和存疑的过程,一个充满想
象、探索和体验的过程。你不想学,老师强行的逼迫是不容易的 或者说是作用不大,俗话说“强扭的瓜不
甜”嘛!数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆,积累和 模仿,而且还要动手实践,自主探索,并
且在获得知识的基础上进行反思和修正。(这也就是我们经常将 让大家一定要好好预习,养成自学的好习
惯。)记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义: 科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标
准的一门学问,仔细想来确实很有道理!
所以我们 在平时学习中要注意反思,只有这样才能使内容得到巩固,知识的得到拓展,能力得到提高,
思维得到优 化,创新能力得到真正的发展,希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯!
5.注重平时的听课效率
听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识,而且事半功倍,可以省 好多的时间。而有些同学则认为
上课时听不到什么,索性就不听,抓紧课堂上的每一点时间做题,多做几 道题心里就踏实。这种认识是不
科学的,想象如果上课没有用的话,国家还开办学校干嘛?只要印刷课本 就足够了,学生买了书就可以自
己学习到时候参加考试就行了。
想想好多东西还是在课堂上聆 听的,听听老师对问题的分析和解题技巧,老师是如何想到的,与自己
预习时的想法比较。课堂上记下比 较重要的东西,更重要的是跟着老师的思路,注重老师对题目的分析过
程。课后宁愿花时间去整理笔记, 因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造!回忆课堂上老师是怎
样讲的,自己在整理时有比较好的 想法,就记下来,抓住自己思维的火花,因为较为深刻的思维火花往往


是稍纵即逝的。
在这里我再一次强调听课要做到“五得”
? 听得懂 ? 想得通 ? 记得住 ? 说得出 ? 用得上
6. 注重思想方法的学习
学习数学重再学习数学思想方法,它是数 学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识发
生、发展和应用的过程中,也是历年来高考数学 命题的特点之一。不少学者认为:
“传授知识”是数学的一种境界,加上“能力培养”是稍高的境界, 再加上“方法渗透”是较高的境
界,而再加上“提高修养(指数学文化和非智力引力的介入)”则是最高 境界。作为学生一定要深刻理解数
学的思想方法,它是数学的精髓,只有运用数学思想方法,才能把数学 的知识和技能转化为分析问题和解
决问题的能力,才能体现数学的学科特点,才能形成数学素养。即使在 以后我们走上社会,在工作岗位上
我们的这种数学素养就会内化为自身的较深的修养,从而使得自己的气 质得以升华,它对于我们今后的做
人和处事有很大的指导意义,再加上我们的人文素养就可以造就自己哲 学修养。

真心希望我的这些忠告能够对你今后的学习有所帮助,果真如此,也就聊以欣慰了!
基本三角函数

?

?

2
?
?

?
?

?
?

?
?

Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合:
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅰ、Ⅲ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
Ⅱ、Ⅳ
?
2
?
2
?
2
?
??
?
??
,
?
?z
?< br> ? 终边落在y轴上的角的集合:
????
?
?
?
???
??
?,
?
?z
?
? 终边落在坐标轴上的角的集合 :
?
??
?
?
,
?
?z
?

22
????
? 基本三角函数符号记
“一全,二正弦,三切,四
?

1?
180
弧度

忆:
11
2
S?l r?
?
r
余弦”
22
180
1 弧度?度

?
180
?
?
?
弧度
l?
?
r
?
360度?2
?
弧度
?
.

ta n
?
co
?
t?1
?
Csc
?
?1
正六边形对角线上对应的三角函数之积为1
?倒数关系:
Sin
Co
?
sSe
?
c?1


tan
2?
?1?Sec
2
?
平方关系:
Sin
2
?< br>?Cos
?
2
三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对
?1

边对应的三角函数的平方


1?Cot2
?
?Csc
2
?
乘积关系:
Sin
?
?tan
?
Cos
?
, 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Sin< br>?
?
?2k
?
?
?Sin
?
, k?z

Cos
?
?
?2k
?
?
?Cos
?
, k?z
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z
?

?
与角?
?
关于x轴对称

Si
?
n?
?
?
??Si
?
n

Co
?
s?
?
?
?Co
?
s
ta
?
n?
?
?
??tan
?
?

?
?
?
与角
?
关于y轴对称

?
?
?
?
?
?SinSin
?
Co
?< br>s
?
?
?
?
??Co
?
s
ta?
n
?
?
?
?
??tan
?




?

?
?
?
与角< br>?
关于原点对称
?
?
?
?
?
??SinSi n
?
Co
?
s
?
?
?
?
??Co
?
s
ta
?
n
?
?
?
?
?tan
?
?

?
2
?
?
与角
?
关于y?x对称
?
?
?
?
?
?
Sin?
?
?
?
?Cos
?
Sin?
?
s< br>Cos
Sin
??
?Co
?
?
2
?
tan
?
2
Cot
?
?
Sec
Csc

?
?
?
?
?
?< br>Cos
?
?
?
?
?Sin
?
Co
?
s?
?
?
??Si
?
n
?
2
?< br>?
2
?
?
?
?
tan
?
?
?
?
?cot
?
?
2
?
?
?
?< br>ta
?
n?
?
?
??co
?
t
?< br>2
?
上述的诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”
Ⅳ 周期问题
?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
y?ACo s
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b ?0 , T?
2
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
2
?

?
2
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b?0 , T?
?
?< br>?
?
??
y?Acot
?
x?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?

?
?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
Ⅴ 三角函数的性质
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?



性 质
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
y?Sin x

R
y?Cos x

R
?
?1,1
?

2
?

奇函数
?
?1,1
?

2
?

偶函数
??
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
,k?z,增函数
2k
?
?,2k
?
?,k?z,增函数

??
22
??
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
,k?z,减函数
?
3
?
??< br>2k
?
?,2k
?
?
??
,k?z,减函数
22
??

对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

x?k
?
?
?
??
?
k
?
?,0
?
,k ?z

2
??
x?k
?
,k?z

5
4
对称轴





?
2

,k?z

5
3
4
23
y
y
2
1
x
1
-8
-2π
-6
-3π 2
-4

-2
-π 2Oπ 2
2
π
4
3π 2
6

8
-π 2
-8
3π 2
O
-1
x
6
-1
-2π
-6
-3π 2
-4

-2
π 2
2
π
4

8
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5

-6



性 质
定义域


y?tan x

y?cot x

??
?
xx?
??
?,
?
?z
??

2
??
R
?

奇函数
?
xx?
??
,
?
?z
?

R
?

奇函数
值 域
周期性
奇偶性
单调性
??
??
?
k
?
?,k
?
?
?< br>,k?z,增函数

22
??
?
k
?
,k< br>?
?
?
?
,k?z,增函数

?
??

?
k
?
?,0
?
,k? z
2
??
对称中心
对称轴
?
k
?
,0
?
,k?z

无 无







10
y


y
8
6
4
2
x
-15-10-5
-3π 2-π -π 2Oπ 2π 3π 2
51015
-2
0
x
-4
-6
-8
-10

?
怎样由y?Sin 变化为xy?ASi
?
?
nx?
?
?
?k

振幅变化:
y?Sinx

y?ASinx
左右伸缩变化:

y?ASin
?
x
左右平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)

上下平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)?k

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量
a,a?0,b,如果有
??
一个实数
?
,使得b?
?
a,a?0,则b与a是共线向量 ;反之如果b与a是共线向量

那么又且只有一个实数
?
,使得b?
?
a.

Ⅶ 线段的定比分点

P
分有向线段
P
1P
2
所成的比的定义式
P
1
P?
?
PP
2

.
线段定比分点坐标公式

线段定比分点向量公式
?



x
1
?
?
x
2
x?


陲陲

??
1?
?
OP
1
?
?
O P
2

y

1

?

?

y

2

.
OP?


y?
1?
?

1?
?










?

?
?1

?

?
?1

线段中点坐标公式


x
1
?x
2


x?
2











线段中点向量公式



OP
1
?OP
2
.

OP?


y?y
2

2
y?
1
2




Ⅷ 向量的一个定理的类似推广


向量共线定理:
b?
?
a a?0
??


?
推广
?
平面向量基本定理:
a?
?
e ?
?
e ,
?
?
其中e1
,e
2
为该平面内的两个
?
1122
??
?
不共线的向量
?

?
推广
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?
?
3
e
3
,
空间向量基本定理:
??

其中e,e,e为该空间内的三个
123
??
?不共面的向量
?
??
Ⅸ一般地,设向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0,如果a

b那么x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

反过来,如果
x
1y
2
?x
2
y
1
?0,则a

b.
Ⅹ 一般地,对于两个非零向量
a,b

a?b?abCos
?
,其中θ为两向量的夹角。
Cos< br>?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?
y
12
x
2
2
?
y
2
2

特别的,
a?a?a?a 或者 a?

2
2
a?a


如果 a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0 , 则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
特别的 , a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

若正n边形A
1
A
2
???A
n
的中心为O , 则OA
1
?OA
2
?????OA
n
?0

三角形中的三角问题
A?B
?
C
?
A?B?C?
?
,
A?B?C
?
?
, ? -
22222
?
A?B
??
C
?
Sin
?
A?B
?
?Sin
?
C
?
Cos
?
A?B
?
??Cos
?
C
?
Sin
??
?Cos
??

?
2
??
2
?

?
A?B
??< br>C
?
Cos
??
?Sin
??
?
2
??
2
?
? 正弦定理:
abca?b?c
???2R?

SinASinBSinCSinA?SinB?SinC
余弦定理:
a
2< br>?b
2
?c
2
?2bcCosA , b
2
?a
2
?c
2
?2acCosB
c?a?b?2abCosC
222


b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2CosA ? , CosB ?
2bc2ac
变形:
222
a?b?c
CosC ?
2ab
?
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC

三角公式以及恒等变换
? 两角的和与差公式:
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)

Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
??
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
Cos
?
?
??
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)

tan
?
?tan
?
, T< br>(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
? 二倍角公式:
Sin2
?
? 2Sin
?
Cos
?
2
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?< br>tan
?
?
变形:
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?
其中
?
,
?
,
?
为三角形的三个内角
Cos2< br>?
?2Cos
?
?1?1?2Sin
?
?Cos
?< br>?Sin
?
2tan
?
tan2
?
?
1?t an
2
?
222

? 半角公式:
Sin
?< br>2
??
1?Cos
?
2
tan
?
2
??
1?Cos
?
Cos??
22
2
?
1?Cos
?
Sin
?
1?Cos
?

??
1?Co s
?
1?Cos
?
Sin
?
? 降幂扩角公式:
Cos
2
?
?
1?Cos2
?
, Sin
2
?
?
1?Cos2
?

2
1
?
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?
2
1
? 积化和差公式:
Cos
?
Sin
?
?
?
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?< br>?

2
1
Cos
?
Cos
?
??
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
??
?
?
?
?
2
1
Sin
?
S in
?
??
?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
?
?
?
?
?
2
Sin
?
Cos
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
Sin
?
?Sin
?
?2S in
??
Cos
??
?
2
??
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
Sin
?
?Sin
?
?2Cos
??
Sin
??
? 和差化积公式:
22
????

?
?
?
?< br>??
?
?
?
?
Cos
?
?Cos
?
?2Cos
??
Cos
??
?
2
??
2< br>?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
Cos
?
?Cos
?
??2Sin
??
Sin??
?
2
??
2
?
S?S?2SC
S?S?2 CS

C?C?2CC
C?C??2SS


2tan
Sin
?
?
?
2
1?tan
2
?
2
? 万能公式:
1?tan
2
Cos
?
?
1? tan
2
?
?
2
2
(
S?T?C??
)
tan
?
?
2tan
?
2

1?tan< br>2
?
2
3
3
3tan
?
?tan
?

? 三倍角公式:
Sin3
?
?3Sin
?
?4 Sin
?

tan3
?
?
2
1?3tan?
Cos3
?
?4Cos
3
?
?3Cos
?< br>“三四立,四立三,中间横个小扁担”
?
1. y?aSin
?
?bCos
?
?
b
a
a
2. y?aCos
?
?bSin
?
?a
2
?b
2
Sin?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
b
? a
2
?b< br>2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
b
3. y? aSin
?
?bCos
?
?a
2
?b
2
S in
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
a
??a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
4. y?aCos
??bSin
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?

a

b
b
?a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以
??a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它
的就可以直接写出.
一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一
项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.
tan
?
?tan
?
, T
(
?
?
?
)
? 补充: 1. 由公式 < br>1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
? , T
(
?
?
?
)
1?tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?

可以推导 :

?
?
?
?
??
?
在有些题目中应用广泛。
?
4
时,
?
?z ,
?
1?tan
?
??
1?tan
?
?
?2

2.
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
?
tan
?
tan
?
?tan?
?
?
?
?

3. 柯西不等式
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.


22222



??????????????????????????????????????????????
补充
1.常见三角不等式:(1)若
x?(0,
(2) 若
x?( 0,
?
2
)
,则
sinx?x?tanx
.
?
2
2.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
)
,则
1?sinx?cosx?2
. (3)
|sinx|?|cosx|?1
.
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
? sin
2
?
.
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
b
定 ,
tan
?
?
).
a
3. 三倍角公式 :
s in3
?
?3sin
?
?4sin
?
?4sin
?
sin(
3
?
?
?
)sin(?
?
).
33
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?< br>?
)
.
33
??
3tan
?
?tan
3
???
tan3
?
??tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
.
1?3tan
2
?
33
4.三角形面积定理:(1)
S?
111
ah
a
?bh
b
?ch
c

h
a
、h
b
、h< br>c
分别表示a、b、c边
222
上的高).
(2)
S?
111
absinC?bcsinA?casinB
.
222
1
(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2< br>. (3)
S
?OAB
?
2
C
?
A?B??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
k
?
?
5.三角形内角和定理 在△ABC中,有< br>A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
?
2
6. 正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的 对称轴为
x?
?
?
?
(k?Z)
;对称中心
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
;类似可得余弦函数型的 对称轴和对称中心;
?
〈三〉易错点提示:
1. 在解三角问题时,你注意到正切 函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函
数、余弦函数的有界性了吗?


2. 在三角中,你知道1等于什么吗?(
这些统称为1的代换) 常数 “1”
的种种代换有着广泛的应用.
3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出
现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次)
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?()

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