人教版高中数学必修4课后习题答案详解65843

精品教育



























第二章 平面向量
2．1平面向量的实际背景及基本概念
练习（P77）
1、略. 2、
. 这两个向量的长度相等
但它们不等.
3、


.
4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.
习题2.1 A组（P77）
1、 （2）.
3、与相等的向量有：；与相等的向量有：；
与相等的向量有：.
4、与相等的向量有：；与相等的向量有：；
与相等的向量有：
-可编辑-

精品教育
5、. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.
习题2.1 B组（P78）
1、海拔和高度都不是向量.
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对
与反向的也有6对；与同向的共有3对
与反向的也有6对；模为的向量共有4对；模为2的向量有2对
2．2平面向量的线性运算
练习（P84）
1、图略. 2、图略. 3、（1）； （2）.
4、（1）； （2）； （3）； （4）.
练习（P87）
1、图略. 2、



. 3、图略.
练习（P90）
1、图略.
2、
.
说明：本题可先画一个示意图
根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向.
3、（1）； （2）； （3）； （4）.
4、（1）共线； （2）共线.
5、（1）； （2）； （3）. 6、图略.
习题2.2 A组（P91）
1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走km；
（4）向西南走km；（5）向西北走km；（6）向东南走km.
2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
3、解：如右图所示：表示船速
表示河水
的流速
以、为邻边作□
则
表示船实际航行的速度.
在Rt△ABC中



所以
因为
由计算器得
所以
实际航行的速度是
-可编辑-

精品教育
船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
4、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）.
5、略
6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则
让学生理解
若三个非零向量的和为零向量
且这三个向量不共线时
则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.
7、略. 8、（1）略； （2）当时

9、（1）； （2）； （3）； （4）.
10、

.
11、如图所示




.

12、






.
13、证明：在中
分别是的中点

所以且

即；
同理


所以.
习题2.2 B组（P92）
1、丙地在甲地的北偏东45°方向
距甲地1400 km.
2、不一定相等
可以验证在不共线时它们不相等.
-可编辑-

精品教育
3、证明：因为
而


所以.
4、（1）四边形为平行四边形
证略
（2）四边形为梯形.
证明：∵

∴且
∴四边形为梯形.
（3）四边形为菱形.
证明：∵

∴且
∴四边形为平行四边形
又
∴四边形为菱形.
5、（1）通过作图可以发现四边形为平行四边形.
证明：因为

而
所以
所以
即∥.
因此
四边形为平行四边形.
2．3平面向量的基本定理及坐标表示
练习（P100）
1、（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
.
2、
.
3、（1）
； （2）
；
（3）
； （4）

-可编辑-

精品教育
4、∥. 证明：

所以.所以∥.
5、（1）； （2）； （3）. 6、或
7、解：设
由点在线段的延长线上
且
得


∴ ∴
∴
所以点的坐标为.
习题2.3 A组（P101）
1、（1）； （2）；
说明：解题时可设
利用向量坐标的定义解题.
2、
3、解法一：

而
. 所以点的坐标为.
解法二：设
则


由可得

解得点的坐标为.
4、解：
.


.

所以
点的坐标为；

所以
点的坐标为；

所以
点的坐标为.
5、由向量共线得
3）.

-可编辑-
（

精品教育
所以
解得.
6、


所以与共线.
7、
所以点的坐标为；

所以点的坐标为； 故
习题2.3 B组（P101）
1、
.
当时

所以；
当时

所以；
当时

所以；
当时

所以.
2、（1）因为

所以
所以、、三点共线；
（2）因为

所以
所以、、三点共线；
（3）因为

所以
所以、、三点共线.
3、证明：假设
则由
得.
所以是共线向量
与已知是平面内的一组基底矛盾

因此假设错误
-可编辑-

精品教育
. 同理. 综上.
4、（1）. （2）对于任意向量
都是唯一确定的

所以向量的坐标表示的规定合理.
2．4平面向量的数量积
练习（P106）
1、.
2、当时
为钝角三角形；当时
为直角三角形.
3、投影分别为
0
. 图略
练习（P107）
1、

.
2、


.
3、


.
习题2.4 A组（P108）
1、

.
2、与的夹角为120°
.
3、
.
4、证法一：设与的夹角为.
（1）当时
等式显然成立；
（2）当时
与
与的夹角都为

所以

所以 ；
-可编辑-

精品教育
（3）当时
与
与的夹角都为

则


所以 ；
综上所述
等式成立.
证法二：设


那么


所以 ；
5、（1）直角三角形
为直角.
证明：∵

∴
∴
为直角
为直角三角形
（2）直角三角形
为直角
证明：∵

∴
∴
为直角
为直角三角形
（3）直角三角形
为直角
证明：∵

∴
∴
为直角
为直角三角形
6、.
7、.

-可编辑-

精品教育
于是可得


所以.
8、
.
9、证明：∵



∴

∴为顶点的四边形是矩形.
10、解：设

则
解得
或.
于是或.
11、解：设与垂直的单位向量

则
解得或.
于是或.
习题2.4 B组（P108）
1、证法一：
证法二：设

.
先证


由得
即
而
所以
再证
由得

即
因此
2、.
3、证明：构造向量
.
-可编辑-

精品教育

所以
∴
4、的值只与弦的长有关
与圆的半径无关.
证明：取的中点
连接

则

又
而
所以
5、（1）勾股定理：中

则
证明：∵
∴.
由
有
于是
∴
（2）菱形中
求证：
证明：∵

∴.
∵四边形为菱形
∴
所以
∴
所以
（3）长方形中
求证：
证明：∵ 四边形为长方形
所以
所以
∴.
∴
所以
所以
（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.
2．5平面向量应用举例
习题2.5 A组（P113）
-可编辑-

精品教育
1、解：设

则

由得
即
代入直线的方程得. 所以
点的轨迹方程为.
2、解：（1）易知
∽


所以.

（2）因为
所以
因此三点共线
而且
同理可知：
所以
3、解：（1）；
（2）在方向上的投影为.
4、解：设
的合力为
与的夹角为

则
；
与的夹角为150°.
习题2.5 B组（P113）
1、解：设在水平方向的速度大小为
竖直方向的速度的大小为

则
.
设在时刻时的上升高度为
抛掷距离为
则
所以
最大高度为
最大投掷距离为.
2、解：设与的夹角为
合速度为
与的夹角为
-可编辑-

精品教育
行驶距离为.
则
. ∴.
所以当
即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
3、（1）
解：设
则. .
将绕点沿顺时针方向旋转到
相当于沿逆时针方向旋转到

于是
所以
解得
（2）
解：设曲线上任一点的坐标为
绕逆时针旋转后
点的坐标为
则
即
又因为
所以
化简得
第二章 复习参考题A组（P118）
1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.
2、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；
3、

4、略解：







5、（1）
；
（2）
； （3）.
6、与共线.
证明：因为

所以. 所以与共线.
-可编辑-
6）.

（

精品教育
7、. 8、. 9、.
10、
11、证明：
所以.
12、. 13、
. 14、
第二章 复习参考题B组（P119）
1、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）.
2、证明：先证.

.
因为
所以
于是.
再证.
由于

由可得
于是
所以. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】
3、证明：先证

又
所以
所以
再证.
由得
即
所以 【几何意义为菱形的对角线互相垂直
如图所示】
4、

而

所以
5、证明：如图所示

由于

所以

所以
所以
同理可得
-可编辑-

精品教育
所以
同理可得

所以为正三角形.
6、连接.
由对称性可知
是的中位线
.
7、（1）实际前进速度大小为（千米／时）

沿与水流方向成60°的方向前进；
（2）实际前进速度大小为千米／时

沿与水流方向成的方向前进.
8、解：因为
所以
所以
同理


所以点是的垂心.
9、（1）； （2）垂直；
（3）当时
∥；当时


夹角的余弦；
（4）




第三章 三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习（P127）
1、.
.
2、解：由
得；
所以.
3、解：由
是第二象限角
得；
所以.
-可编辑-

精品教育
4、解：由
得；
又由
得.
所以.
练习（P131）
1、（1）； （2）； （3）； （4）.
2、解：由
得；
所以.
3、解：由
是第三象限角
得；
所以.
4、解：.
5、（1）1； （2）； （3）1；
（5）原式=；
（6）原式=.
6、（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=.
7、解：由已知得

即

所以. 又是第三象限角

于是.
因此.
练习（P135）
1、解：因为
所以
又由
得

所以


2、解：由
得
所以
所以
3、解：由且可得
4）；
-可编辑-
（

精品教育

又由
得
所以.
4、解：由
得. 所以
所以
5、（1）； （2）；
（3）原式=； （4）原式=.
习题3.1 A组（P137）
1、（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2、解：由
得

所以.
3、解：由
得

又由
得

所以.
4、解：由
是锐角
得
因为是锐角
所以

又因为
所以
所以

5、解：由
得
又由
得
所以

6、（1）； （2）；
7、解：由
得.
3）.
-可编辑-

（

精品教育
又由
是第三象限角
得.
所以





8、解：∵且为的内角
∴

当时



不合题意
舍去
∴
∴

9、解：由
得.
∴.
∴.
.
10、解：∵是的两个实数根.
∴
.
∴.
11、解：∵
∴

12、解：∵
∴
∴
又∵
∴
13、（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）；
14、解：由
得
∴

9）； （10）.
-可编辑-


（

精品教育
15、解：由
得
∴


16、解：设
且
所以.
∴


17、解：
.
18、解：
即
又
所以
∴

∴
19、（1）； （2）； （3）； （4）.
习题3.1 B组（P138）
1、略.
2、解：∵是的方程
即的两个实根
∴

∴
由于
所以.
3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）
（证明略）
本题是开放型问题
反映一般规律的等式的表述形式还可以是：



其中
等等
思考过程要求从角
三角函数种类
式子结构形式三个方面寻找共同特点
从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助
证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.
-可编辑-

精品教育
4、因为
则
即
所以
3．2简单的三角恒等变换
练习（P142）
1、略. 2、略. 3、略.
4、（1）. 最小正周期为
递增区间为
最大值为；
（2）. 最小正周期为
递增区间为
最大值为3；
（3）. 最小正周期为
递增区间为
最大值为2.
习题3.2 A组（ P143）
1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；
（4）提示：用代替1
用代替；
（5）略； （6）提示：用代替；
（7）提示：用代替
用代替； （8）略.
2、由已知可有......①
......②
（1）②×3－①×2可得
（2）把（1）所得的两边同除以得
注意：这里隐含与①、②之中
3、由已知可解得. 于是

∴
4、由已知可解得

于是.
5、
最小正周期是
递减区间为.
习题3.2 B组（P143）
1、略.
2、由于
所以
即
得
3、设存在锐角使
-可编辑-
3）略； （

精品教育
所以


又
又因为

所以
由此可解得

所以.
经检验
是符合题意的两锐角.
4、线段的中点的坐标为. 过作垂直于轴
交轴于
.
在中
.
在中


.
于是有


5、当时
；
当时


此时有；
当时


此时有；
由此猜想
当时

6、（1）
其中
所以
的最大值为5
最小值为﹣5；
（2）
其中
-可编辑-

精品教育
所以
的最大值为
最小值为；
第三章 复习参考题A组（P146）
1、. 提示：
2、. 提示：
3、1.
4、（1）提示：把公式变形；
（2）； （3）2； （4）. 提示：利用（1）的恒等式.
5、（1）原式=；
（2）原式=
=；
（3）原式=
=；
（4）原式=

6、（1）； （2）；
（3）. 提示：；
（4）.
7、由已知可求得

于是.
8、（1）左边=
=右边
（2）左边=
=右边
（3）左边=
=右边
（4）左边=
=右边
9、（1）
递减区间为
（2）最大值为
最小值为.
10、
（1）最小正周期是；
（2）由得
所以当
即时
的最小值为. 取最小值时的集合为.
11、
（1）最小正周期是
最大值为；
（2）在上的图象如右图：
-可编辑-

精品教育
12、.
（1）由得；
（2）.
13、如图
设
则



所以

当
即时
的最小值为.
第三章 复习参考题B组（P147）
1、解法一：由
及
可解得


所以


.
解法二：由 得

所以.
又由
得.
因为
所以.
而当时
；
当时
.
所以
即
所以
.
2、把两边分别平方得
把两边分别平方得
把所得两式相加
得

-可编辑-

精品教育
即
所以
3、由 可得
.
又
所以
于是.
所以
4、

由得
又

所以

所以



所以

5、把已知代入
得.
变形得


本题从对比已知条件和所证等式开始
可发现应消去已知条件中含的三角函数.
考虑
这两者又有什么关系？及得上解法.
5、6两题上述解法称为消去法
6、.
由 得
于是有. 解得.
的最小值为

此时的取值集合由
求得为
7、设



则

-可编辑-

精品教育
于是
又的周长为2
即
变形可得
于是.
又
所以
.
8、（1）由
可得
解得或（由
舍去）
所以
于是
（2）根据所给条件
可求得仅由表示的三角函数式的值

例如




等等.
??

??

??

??

数学必修四答案详解







与其到头来收拾残局,甚至做成蚀本生意,倒不如当时理智克制一些.
-可编辑-