高一数学必修4知识点及习题

必修4第一章 三角函数
与角终边相同的角的集合
?
?
|
?
?
?
，
300
0
315
0
330
0
360
0

特殊角的弧度与角度换算
角
度
弧
度

弧长公式： 、扇形面积公式：
三角函数值在各象限的符号 （画出坐标图表示、写出口诀）
正弦： 余弦： 正切：



同角三角函数的关系式
平方关系： 2. 商数关系：
诱导公式——口诀：

正弦
余弦
正切
必做题：
























0 30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
210
0
225
0
240
0
270
0







?
1、
tan(?600)?
，
sin225?
?
。2、
?
的终边与
6
的 终边关于直线
y?x
对称，则
?
＝_____。
3、已知扇形AOB的周长是6cm，该圆心角是1弧度，则扇形的面积= 。
4、设a<0,角α的终边经过点P（－3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于 。
5、函数
y?2cosx?1
的定义域是_____。 6、化简
1?sin
2
150?
的结果是 。
1

必做题：
?
|kπ?
1、集合{ππ
?
?
?kπ?
42
，
k?
Z}中的角所表 示的范围（阴影部分）是（ ）

yyyy
（A）
o

x

o
（B）
x

o
（C）
x

o

x
（D）
2、已知
sin
?
?0,tan
??0
，那么
?
是 。
?
3.已知
?
是第二象限角，那么
2
是 （ ）
A．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角
1
4、若
cos
?
?0,tan
?
?0
，化简cos
2
?
?1
。




cos(
?
2
?
?
)sin(?
?
?
?
)
11
5、已知角
?
终边上一点P（－4，3），求：
co s(
?
2
?
?
)sin(
9
?
2
?
?
)





sin
??
1
,
?
是第二象限角，求cos
?
?tan
?
的值。
6、已知
3






D．第一或第三象限角
2

?
?
sin
?
?
+
?
?
?
?
sin
?
?
-
?
?
?
?
?< br>cos
?
?
+
?
?
?
?
?
?
sin2
?
cos
?
?
-
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
cos2
?< br>?
?
tan
?
?
+
?
?
?
?
=
?
?
?
?
=
?
?
tan?
?
-
?
?
?

?
?
tan2
?
?

必做题： cos
?
?
12
13
,
?
?(
3?
2
,2
?
)
cos(
?
?
?
)?
1、已知，则
4
。
sin
?
?
25
2、若均
?
,
?
为锐角，
5,sin(
?
?
?
)?
3
5
,则cos
?
?
。
(cos
?
? sin
?
)(cos
?
?
?
3、化简
121212
sin
12
)?




tan(< br>?
?
?
)?
1
?
1
2
,tan(< br>?
?
4
)??
3
tan(
?
?
?< br>4、已知，求
4
)
的值。




?
、
?
?(?
??< br>5、已知
tan
?
、tan
?
是方程
x
2< br>?33x?4?0
的两根，且
2
,
2
)
，求
?
?
?
的值。





3

三角函数图像和性质：
y=sinx
-4?
-7
?
-3
?
2
-5
?
2
-2
?
-3
?
-
?
2
-5
?
2< br>?
-
-
?
2
-2
?
-3
?
2
y
?
-
2

y
1
-1
y
1
-1
o
3
?
2
?
2
?
2?
5
?3
?
2
3
?
2
2
?5
?
2
7
?
2
4
?
y=tanx
x


y=cosx
-3
?
-4
?
-7
?
2
o
?
?
2
3
?
7?
2
-
3
?
2
-
?
-
?2
o
?
2
?
3
?
2
x
4?
x
y?tanx

y?

无最值
解析式
y=sinx y=cosx
y?

值域和
最值
当
x?
，
y取最大值1

周期性
奇偶性
单调性
y?

1
当
x?
，
y取最小值－1
当
x?
，
y取最小值－
当
x?
，
y取最大值1

T?


T?


T?


在 增函数 在 增函数 在 增函数
在 减函数 在 减函数
对称中心：
对称性
对称轴：
必做题：
1、下列函数中,周期为
?
的偶函数是（ ）
对称轴方程：
对称中心： 对称中心：
或者对称中心：
y?sin(2x?)
y? sin2x
y?tanx
y?cosx
2
A. B. C. D.
2、 已知函数
f(x)?xsinx
，则
f(x)
( )
A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
y?1?2sin
2
(x?)
4
是（ ） 3、函数
?
?
??
A．T=
?
的偶函数 B. T=
?
的奇函数 C. T=
2
的偶函数 D. T=
2
的奇函数
4. 若向量
a?(cos
?
,1)< br>，
b?(?2,sin
?
)
，


4

?
?(
?
,
3
?
?
)tan(
?
?)
2
，且
a?b
．
4
值．（1）求< br>sin
?
值；（2）求

图象的基本变换：

y?sinx?y?sin(x?
?
)
：

y?sin(x?
?
)?y?sin(
?
x?
?
)
：

y?sin(
?
x?
?
)?y?Asin(
?< br>x?
?
)
：
求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的解析式： A由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。
y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为
必做题：
?
y?3sin(2x?)
3
的图象（ ） 1、 函数
y?3sin2x
的图象可以看成是将函数
????
（A）向左平移个< br>6
单位 （B）向右平移个
6
单位（C）向左平移个
3
单位 （D）向右平移个
3
单位
2、求函数
y?sinx?cosx
的最大值。




3、求函数y=cos2x –3cosx+2的最小值。




2
f(x)?3sinxcosx?cosx
． 4、设函数
x?[0,]
f(x)
2
时，求函数
f(x)
的最大值和最小值． （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）当




5

?

选做题：
5、已知函数
f
?
x
?
?Asin
?
?
x?
?
?
,x?R< br>A?0,
?
?0,?
(其中
?
2
?
?
?
?
2
),其部分图象如图所示.
?
?
?
??
0,
?
g(x)?f(x?)?f(x?)
?
f
?
x
?
44
在区间
?
2
?
上的最大值及相应的
x
值. (I)求的解析式;(II)求函数













6、 已知向量
a?(sinx, cosx)
，
b?(cosx,sinx?2cosx)
，
0?x?
?
2
.
（Ⅰ）若
a∥b
，求
x
； （Ⅱ）设
f(x)?a?b，（1）求
f(x)
的单调增区间；（2）函数
f(x)
经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？








6

必修4第二章 平面向量
向量：既有大小又有方向的量。记作： 或 。
向量的模：向量的大小（或长度），记作： 或 。
单位向量：长度为1的向量。若
e
是单位向量，则
|e|?
。
零向量：长度为0的向量。记作： 。【
0
方向是任意的，且与任意向量平行】
平行向量（共线向量）：方向 或 的向量。
相等向量： 和 都相同的向量。
相反向量： 相等， 相反的向量。。
三角形法则（首尾相接）：
AB?BC?
；
AB?BC?CD?DE?
；
AB?AC?
。
平行四边形法则：
以
a,b
为临边的平行四边形的两条对角线分别为 和 。
共线定理：
a?
?
b?ab
。当 时，
a与b
同向；当 时，
a与b
反向。
向量的模：若
a?(x,y)
，则
|a|?
。
数量积与夹角公式：
a?b?
；
cos
?
?

平行与垂直：
?x
1
y
2
?x
2
y
1
；
a?b?a?b?0?
。
必做题：
判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（ ）
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（ ）
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （ ）
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是
AB?CD
。（ ）
（5）若
AB?CD
，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（ ）
（6）若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线。 （ ）
（7）若
ma?mb
，则
a?b
。（ ）
（8）若
ma?na
，则
m?n
。 （ ）
（9 ）若
a
与
b
不共线，则
a
与
b
都不是零向 量。（ ）
（10）若
a?b?|a|?|b|
，则
ab
。（ ）
（11）若
|a?b|?|a?b|
，则
a?b
。（ ）

7

必做题：
1.设
a
表示“向东走8km”,
b
表示“向北走6km”,则
|a?b|?
。
2.化简
(AB?MB)?(BO?BC)?OM?
。 3.已知
|OA|?5
,
|OB|?3
,则
|AB|
的 最大值和最小值分别为 、 。
4.
2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?

5.已知a?(1,?4),b?(?3,8)
，则
3a?
1
2
b? 。
6.在平行四边形
ABCD
中，已知
AC ?a,BD?b
，求
AB和AD
。
7.已知
AB?(4,5)，
A(2,3)
，则点
B
的坐标是 。
8.已知
AB?(2,3)
，
BC?(m,n)
，
CD?(?1, 4)
，则
DA?
。
9.已知
| a|?3,|b|?4
，且
a
与
b
的夹角为
60
， 求（1）
a?b
， （2）
(a?
1
2
b)?b
，


10.已知
|a|?8,|b|?3
，
a?b?12
，求
a与
b
的夹角。


11.已知
a?(3,1),b? (?23,2)
，求
a
与
b
的夹角。




12.已知
|a|?3,|b|?4
，且
a
与
b
的夹角为
60
，求（1）
|a?b|
，（2）
| 2a?3b|
。




13.已知
a?(2, ?6),b?(?8,10)
，求（1）
|a|,|b|
，（5）
|a?b|
，（6）
|a?
1
2
b|
。






8

选做题：
1.已知
a?(1,2)
，
b?(?3,2)
，
（1）
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b
垂直 ？（2）
k
为何值时向量
ka?b
与
a?3b
平行？




2.已知
A(0,?2)
，
B( 2,2)
，
C(3,4)
，求证：
A,B,C
三点共线。




3.设
AB?
2
2
(a?5b), BC??2a?8b,CD?3(a?b)
，求证：
A、B、D
三点共线。






4.已知
A(?2,1)
，< br>B(6,?3)
，
C(0,5)
，求证：
?ABC
是直角三角 形。






5.在平面直角坐标系内，< br>OA?(?1,8),OB?(?4,1),OC?(1,3)
,求证：
?ABC
是等腰直角三角形。


9