高中数学必修4知识点总结：第一章_三角函数

庚景教育
第一章 三角函数
一、基础知识点总结

?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方 向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?
为第几象限角．
?
?
k?360?
?
?k?360 ?90,k??
?

第二象限角的集合为
?
?
k?360? 90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?< br>k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?3 60,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
? ?
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为< br>?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
???
????
????
????
?
??
?
?
4、长度等于半径长 的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
l
?
．
r
?
180
?
?
?
6 、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1?
，1?
?
?57.3
?
．
?
180
?
?
?
7、若扇形的圆心角为
?
?
?
?
?
为 弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
C?2r?l
，?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离是
y
P
T
O
系：
M
A
x
11
S?lr?
?
r
2
．
22
8、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
yxy
rr?x
2
?y
2?0
，则
sin
?
?
，
cos
?
?< br>，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：
sin
????
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
11、角三角函数的基本关
?
?

1

庚景教育
?
1
?
sin
2
??cos
2
?
?1
?
2
?
sin
?< br>?
sin
?
?1?cos
?
,cos
?
?1 ?sin
?
?
2222
；
sin
?
?
?t an
?
?
．
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
cos
?
tan?
??
12、函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan?
?
k??
?
．
?
2
?
sin?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos< br>?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?< br>3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?s in
?
，
cos
?
?
?
?
?
?? cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
? ?tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
，．，
5 sin?
?
?cos
?
6sin?
?
?cos
?< br>cos?
?
?
??sin
?
．
cos?
?
?sin
?
??
?
??
????
??
?< br>2
??
2
??
2
?
?
2
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
二 、三角函数伸缩平移变换
，
?
，
?
，k
来相互转 函数
y?Asin(< br>?
x?
?
)?k
的图象与函数
y?sinx
的图象之 间可以通过变化
A
，
?
影响图象的形状，
?
，k
影 响图象与
x
轴交点的位置．由
A
引起的变换称振幅变换，由
?
引起的变化．
A
换称周期变换，它们都是伸缩变换；由
?
引起的变换称相位 变换，由
k
引起的变换称上下平移变换，它们都
是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．
变换方法如下：先平移后伸缩
?

?
得
y?sin(x?
?
)
的图象< br>?????????

y?sinx
的图象
???????
1
平移
?
个单位长度
到原来的(纵坐标不变)
向左(
?>0)或向右(
?
?0)
横坐标伸长(0<
?
<1)或缩短(< br>?
>1)
?
?
得
y?sin(
?
x??
)
的图象
?????????
为原来的A倍(横坐标不变)
纵 坐标伸长(A?1)或缩短(0?
得
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
???????
平移k个单位长度
得
y?Asin(x?
?
)?k
的图象．
先伸缩后平移
纵坐标伸长(A?1)或缩短(0?A?1)
?

?
得
y? Asinx
的图象
?????????
y?sinx
的图象
???? ?????
1
为原来的A倍(横坐标不变)
到原来的(纵坐标不变)
向上(k ?0)或向下(k?0)
横坐标伸长(0?
?
?1)或缩短(
?
?1 )
?
向左(
?
?0)或向右(
?
?0)
????? ???

?
得
y?Asin(
?
x)
的图象
平移
?
个单位
?
得
y?Asin(
?
x?
?
)?k
的图象． 得
y?Asinx(
?
x?
?
)
的图象
???????
平移k个单位长度

2
向上(k?0)或向下(k?0)

庚景教育
π
??
4
??
π
?
π
?
解：（方法一）①把
y?sinx
的图象沿
x
轴向左平移个单位长度，得
y?sin
?
x?< br>?
的图象；②将所得
4
?
4
?
π
?
1
?
图象的横坐标缩小到原来的，得
y?sin
?
2x?
?
的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得
4
?
2
?π
?
π
???
y?2sin
?
2x?
?
的图象；④最后把所得图象沿
y
轴向上平移1个单位长度得到
y?2sin
?
2x?
?
?1
的图象．
44
????
例1 将
y?sinx
的图象怎样变换得到函数
y?2sin
?
2x?
?
?1
的图象．

（方法二）①把
y?sinx
的图象 的纵坐标伸长到原来的2倍，得
y?2sinx
的图象；②将所得图象的横
π
?
π
?
x
的图象；③将所得图象沿
x
轴向左平移个单位长度 得
y?2sin2
?
x?
?
8
?
8
?π
??
的图象；④最后把图象沿
y
轴向上平移1个单位长度得到
y?2sin
?
2x?
?
?1
的图象．
4
??< br>π
说明：无论哪种变换都是针对字母
x
而言的．由
y?sin2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图
8
π
?
π
?
π
?
1
???
象的解析式是
y?sin2
?
x??
而不是
y?sin
?
2x?
?
，把
y?si n
?
x?
?
的图象的横坐标缩小到原来的，
8
?
8
?
4
?
2
???
π
?
π
???< br>得到的函数图象的解析式是
y?sin
?
2x?
?
而不是y?sin2
?
x?
?
．
4
?
4
???
对于复杂的变换，可引进参数求解．
π
??
例2 将
y?sin2x
的图象怎样变换得到函数
y ?cos
?
2x?
?
的图象．
4
??
分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．
π
??
π
??
解：
y?sin2x?cos
?
?2x
?
?cos
?
2x?
?
，
2
??
2
??< br>π
?
π
?
π
????
在
y?cos
?
2x?
?
中以
x?a
代
x
，有
y?co s
?
2(x?a)?
?
?cos
?
2x?2a?
?
．
2
?
2
?
2
????
πππ
根据题意，有
2x?2a??2x?
，得
a??
．
248
π
?
π
?
所以将
y?sin2x
的图象向左平移个单位长度 可得到函数
y?cos
?
2x?
?
的图象．
4
?
8
?
坐标缩小到原来的
1
2is
，得
y?n
2
练习
1、要得到函数y=2cos（x+
象（ ）
A、向左平移
C、向右平移
个单位 B、向右平移
D、向左平移
个单位
个单位
平移得到图象F
2，若图象F
2
关于直
）sin（﹣x）﹣1的图象，只需将函数y=sin2x+ cos2x的图
个单位
2、将函数y=3sin（2x+θ）的图象F
1
按向量
线对称，则θ的一个可能取值是（ ）

3

庚景教育
A、
3、将函数
象，则f（x）=（ ）
A、
C、
4、把函数y=
以是（ ）
A、沿x轴方向向右平移
C、沿x轴方向向右平移
5、为了得到函数y=
A、向右平移
C、向左平移
个单位长度
个单位长度


B、沿x轴方向向左平移
D、沿x轴方向向左平移




B、

B、 C、
的图象按向量
D、
平移，得到y=f（x）的图
D、sin（2x）+3
（cos3x﹣sin3x）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的 图象，这个变化可
的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
B、向右平移
D、向左平移
个单位长度
个单位长度
6、把函数 y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），然后把图象向左
平移
A、
C、
个单位，则所得到图象对应的函数解析式为（ ）




B、
D、


1、D 2、A 3、D． 4、D． 5、A． 6、D
14、函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
2
?
①振幅：
?
；②周期：
??
；④ 相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
函数
?
；③频率：
f?
1
?
?
；
?2
?
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当< br>x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
1
?
y
max
?y
min
?
，
??
1
?
y
max
?y
min
?
，
?
?x2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
．
222
??





4

庚景教育


15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性
质

函
数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象

定义
域

R

R

?
?
?
?
xx?k?
?,k??
?
2
??

值域
当
?
?1,1
?

x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
R

?
2
?
k??
?
时，
?
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小值 最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

2

?
k??
?
时，
y
min
? ?1
．
y
max
?1
；当
x?2k
?
?< br>?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
周期
性
奇偶
性
在
2
?

奇函数
?

奇函数
??
??

2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
单调
性
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是增函数；在
?
3
?
??

2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
在
?
k
?
?上是增函数；在
?
?
??
?
,k
?
?
?

22
?
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对
对称
性
称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称
对称中心
对称中心
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
?
轴
?
?
?
k
?
?
?
2
,0
?
?k??
?

??
无对称轴

5

庚景教育
x?k
?
?
?
2
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?


补充知识点：三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
；⑷
sin
?
?
?
?
??sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
⑹
tan
?
?
?
?
?< br>?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

?
（
tan
?
?tan
??tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
?1?s in2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?2 sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?si n
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2?

?
升幂公式
1?cos
?
?2cos
2< br>?
,1?cos
?
?2sin
2
?
22
< br>?
降幂公式
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
1?cos2
?
2
，
sin
?
?
2

⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?


















6

庚景教育




第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
?
?
?
?
?
?
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b．
?
??
?
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
； ?
??
??
?
?
??
?
?
②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
．
????
C

?
?
?
?
⑸坐标运算 ：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
a

?
b

?
?
?
?
?
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2,y
1
?y
2
?
．
????
??
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
??
?
x
1
x
2
y,
1
?y2

?
．
?

?????
?
?
???????
a?b??C?????C

19、向量数乘运算：
?
?
⑴实数
?
与向量
a< br>的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
??
?
??
?
?
?
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?a?0
．
?
?
?
?
?????
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?< br>?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b< br>．
??
⑶坐标运算：设
a?
??
?
?
?< br>x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
?
x,y
?
，则
?
a
??
?
??
?
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当 且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??< br>?
?
?
?
?
??
?
b?0
b?x, y
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，，则 当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
? 0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
?
22
?
，其中
??
?????
?
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任意向量
a
，

7

庚景教育
????? ?????
?
有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e< br>2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平 面内所有向量的一组基
底）
????????
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
?< br>1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
．
时，就为中点公式。）
,
?
（当
?
?1
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积：
?
?
?
?
?
?
??
??
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
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?
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⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则 ①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a? b?ab
；当
a
与
b
反
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?
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???
2
?
2
?
?
?
?
?
??
a?a?a?a
a?b??aba
向时，；或
a?a?a
．③
?b?ab
．
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
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⑶运算律：①a?b?b?a
；②
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?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
??????
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?
?
?
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
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x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
?
?
2
?< br>??
22
22
若
a?
?
x,y
?
， 则
a?x?y
，或
a?x?y
． 设
a?
?
x1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
, y
2
?
，则
?
?
a?b?
1
x
2
x?
1
．
y
2
0y?
?
?
?< br>?
?
?
设
a
、
b
都是非零向量，
a ?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与< br>b
的夹角，则
?
?
xx?yy
a?b
cos
?
?
?
?
?
2
12
2
1
2
2
2
．
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2





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